Un graphe arête-colorié Gc est un graphe dont les arêtes sont coloriées par un ensemble de couleurs données. Un sous-graphe de Gc est dit proprement colorié s'il ne contient pas d'arêtes adjacentes de même couleur. Un graphe ou multigraphe c-arête-colorié Gc, est dit k-lié (respectivement k-arête-lié) si et seulement si quelque soient 2k sommets distincts de V(Gc), notés, x1 y1 , x2 y2 , ..., xk yk , il existe k chaînes élémentaires sommet-disjointes (respectivement arête-disjointes) proprement arête-coloriées, reliant x1 à y1 , x2 à y2 , ... , xk à yk .Un arbre couvrant propre d'un graphe Gc est un sous-graphe de Gc qui est un arbre couvrant proprement colorié.Un arbre couvrant faiblement colorié est une arborescence telle qu'il existe une chaîne proprement coloriée entre la racine et chaque sommet du graphe.Dans la première partie de cette thèse, nous donnons des conditions suffisantes pour qu'un graphe arête-colorié soit k-lié. C'est un problème classique en théorie des graphes, avec des applications multiples. Ainsi, nous avons établi entre autres les résultats suivants.A) Tout multigraphe 2-arête-colorié d'ordre n ≥ 242k tel que dc(Gc) ≥ n/2+k -1, est k-lié. B) Tout multigraphe c-arête-colorié d'ordre n ≥ 2k et de taille m≥ cn(n-1)/2 - c(n-2k +1)+1 est k-lié.C) Tout multigraphe c-arête-colorié d'ordre n ≥ 2k tel que dc(x) ≥ n/2 pour tout sommet x, est k-arête-lié.D) Tout multigraphe 2-arête-colorié d'ordre n ≥ 2k ≥ 10 et de taille m ≥ n2 -5n + 11 tel que dc(x) ≥ 1 pour tout sommet x, est k-arête-lié.Dans la seconde partie de cette thèse, deux autres problèmes classiques en théorie des graphes sont traités dans la version arête-coloriée. Il s'agit des arbres couvrants et des chaînes hamiltoniennes. Nous donnons ci-dessous quelques résultats.E) Tout graphe simple c-arête-colorié k-connexe d'ordre n ≥ C²k+1 + k + 2 avec c ≥ C²n-k-1 + k +1, a un arbre couvrant propre.F) Tout graphe Gc connexe c-arête-colorié de degré rainbow rd(Gc)=k et d'ordre n ≥ C²k+1 + k + 2 avec c ≥ C²n-k-1 + k +1, possède un arbre couvrant propre.G) Tout graphe simple c-arête-colorié k-connexe d'ordre n ≥ ((k + j)2 + 3(k + j) - 2)/2 avec c ≥ ((n - k - j)(n - k - j - 1))/2 + 2 , où j(j -1)=k , possède un arbre couvrant faiblement colorié.H) Tout multigraphe Gc d'ordre n ≥ 14 et de taille m ≥ (n - 3)(n - 4) + 3n - 2 tel que rd(Gc) = 2, possède une chaîne hamiltonienne propre. I) Tout multigraphe c-arête-colorié d'ordre n ≠ 5, 7 et de taille m ≥ n2 - 3n + 4, possède une chaîne hamiltonienne propre.La plupart des résultats exposés, sont les meilleurs possibles relativement aux propriétés sur les conditions suffisantes.

Un graphe arête-colorié Gc est un graphe dont les arêtes sont coloriées par un ensemble de couleurs données. Un sous-graphe de Gc est dit proprement colorié s'il ne contient pas d'arêtes adjacentes de même couleur. Un graphe ou multigraphe c-arête-colorié Gc, est dit k-lié (respectivement k-arête-lié) si et seulement si quelque soient 2k sommets distincts de V(Gc), notés, x1 y1 , x2 y2 , ..., xk yk , il existe k chaînes élémentaires sommet-disjointes (respectivement arête-disjointes) proprement arête-coloriées, reliant x1 à y1 , x2 à y2 , ... , xk à yk .Un arbre couvrant propre d'un graphe Gc est un sous-graphe de Gc qui est un arbre couvrant proprement colorié.Un arbre couvrant faiblement colorié est une arborescence telle qu'il existe une chaîne proprement coloriée entre la racine et chaque sommet du graphe.Dans la première partie de cette thèse, nous donnons des conditions suffisantes pour qu'un graphe arête-colorié soit k-lié. C'est un problème classique en théorie des graphes, avec des applications multiples. Ainsi, nous avons établi entre autres les résultats suivants.A) Tout multigraphe 2-arête-colorié d'ordre n ≥ 242k tel que dc(Gc) ≥ n/2+k –1, est k-lié. B) Tout multigraphe c-arête-colorié d'ordre n ≥ 2k et de taille m≥ cn(n–1)/2 – c(n–2k +1)+1 est k-lié.C) Tout multigraphe c-arête-colorié d'ordre n ≥ 2k tel que dc(x) ≥ n/2 pour tout sommet x, est k-arête-lié.D) Tout multigraphe 2-arête-colorié d'ordre n ≥ 2k ≥ 10 et de taille m ≥ n2 –5n + 11 tel que dc(x) ≥ 1 pour tout sommet x, est k-arête-lié.Dans la seconde partie de cette thèse, deux autres problèmes classiques en théorie des graphes sont traités dans la version arête-coloriée. Il s'agit des arbres couvrants et des chaînes hamiltoniennes. Nous donnons ci-dessous quelques résultats.E) Tout graphe simple c-arête-colorié k-connexe d'ordre n ≥ C²k+1 + k + 2 avec c ≥ C²n–k–1 + k +1, a un arbre couvrant propre.F) Tout graphe Gc connexe c-arête-colorié de degré rainbow rd(Gc)=k et d'ordre n ≥ C²k+1 + k + 2 avec c ≥ C²n–k–1 + k +1, possède un arbre couvrant propre.G) Tout graphe simple c-arête-colorié k-connexe d'ordre n ≥ ((k + j)2 + 3(k + j) – 2)/2 avec c ≥ ((n – k – j)(n – k – j – 1))/2 + 2 , où j(j –1)=k , possède un arbre couvrant faiblement colorié.H) Tout multigraphe Gc d'ordre n ≥ 14 et de taille m ≥ (n – 3)(n – 4) + 3n – 2 tel que rd(Gc) = 2, possède une chaîne hamiltonienne propre. I) Tout multigraphe c-arête-colorié d'ordre n ≠ 5, 7 et de taille m ≥ n2 – 3n + 4, possède une chaîne hamiltonienne propre.La plupart des résultats exposés, sont les meilleurs possibles relativement aux propriétés sur les conditions suffisantes. / A c-edge-colored graph Gc is a graph whose edges are colored by a given set of colors. A subgraph of Gc is proper if no two adjacent edges have the same color.A c-edge-colored graph or multigraph Gc is k-linked (respectively k-edge-linked) if for any 2k distinct vertices, say x1 y1 , x2 y2 , ..., xk yk , there exist k vertex-disjoint (respectively edge-disjoint) proper paths joining x1 to y1 , x2 to y2 , ... , xk to yk .A proper spanning tree of a graph Gc is a spanning tree such that any two adjacent edges differ in colors.A weak spanning tree is a spanning rooted tree such that there exists a proper path between the root and every vertex of the graph.In the first part of this thesis, we provide conditions which are sufficient for an edge-colored graph to be k-linked. It is a classic problem in graph theory , with many applications. So, we established among others the following results.A) Every 2-edge-colored multigraph of order n ≥ 242k such that dc(Gc) ≥ n/2+k –1, is k-linked.B) Every c-edge-colored multigraph of order n ≥ 2k and size m≥ cn(n–1)/2 – c(n–2k +1)+1 is k-linked.C) Every c-edge-colored multigraph of order n ≥ 2k is k-edge-linked if for each vertex x, dc(x) ≥ n/2.D) Every 2-edge-colored multigraph of order n ≥ 2k ≥ 10 and size m ≥ n2 – 5n + 11 is k-edge-linked if for each vertex x, dc(x) ≥ 1.In the second part of this thesis, two other classic problems in graph theory are treated in edge-colored version: spanning trees and hamiltonian paths. We give below some results.E) Every c-edge-colored simple k-connected graph of order n ≥ C²k+1 + k + 2 with c ≥ C²n–k–1 + k +1, has a proper spanning tree.F) Every c-edge-colored connected graph Gc of rainbow degree rd(Gc)=k and order n ≥ C²k+1 + k + 2 with c ≥ C²n–k–1 + k +1, has a proper spanning tree. G) Every c-edge-colored simple k-connected graph of order n ≥ ((k + j)2 + 3(k + j) – 2)/2 and c ≥ ((n – k – j)(n – k – j – 1))/2 + 2 , with j(j –1)=k , has a weak spanning tree.H) Every c-edge-colored multigraph Gc of order n ≥ 14 and size m ≥ (n – 3)(n – 4) + 3n – 2 such that rd(Gc) = 2, has a proper hamiltonian path.I) Every c-edge-colored multigraph of order n ≠ 5, 7 and size m ≥ n2 – 3n + 4, has a proper hamiltonian path.Most of the given results are the best possible with regard to the properties on the sufficient conditions.

Cette thèse s’inscrit dans le cadre de l’évolution des Systèmes d’Informations Géographiques (SIG) et de leur capacité à répondre à des problématiques environnementales qui s’expriment de manière globale et transversale. Dans un contexte ou l’information géographique est en plein essor et où la quantité de données disponible ne cesse de croitre, le besoin en terme d’outil d’aide a la décision n’a jamais été aussi fort. Cette étude s’attache tout particulièrement au cadre de la résolution de problématiques liées à l’eau et l’environnement lorsque les données deviennent trop volumineuses pour être traitées par des moyens de calculs séquentiels classiques. Nous proposons une plateforme de calculs répartis sur une grappe d’ordinateurs qui parallélise le calcul de la délimitation des bassins versants des grands fleuves et la détermination des flots d’accumulation. A cette fin nous introduisons une technique de calcul parallèle d’une forêt d’arbres couvrants minimums représentant le parcours de l’eau de chaque point du Modèle Numérique de Terrain (MNT) vers la mer. Cette technique débute par une délimitation des cuvettes (ensemble de points allant vers le même minimum local) contenues dans le MNT. Ensuite une hiérarchie de déversement des cuvettes les unes dans les autres est construite jusqu'à obtenir les bassins versants des fleuves. L’étude se poursuit par la description d’un algorithme parallèle pour le calcul très couteux des flots d’accumulation en chaque point du MNT. Enfin cette thèse présente une version ≪out-of-core≫ de nos algorithmes parallèles afin d’étendre la portée de nos travaux a des grappes de dimensions modestes qui ne peuvent pas charger en mémoire la totalité du MNT traite. / My thesis is part of the development of Geographic Information Systems (GIS) and their ability to respond to environmental challenges that are expressed in a global and transversal way. We consider a context in which geographical information is growing, in addition the amount of data available continues to grow. Therefore, the need a tool for decision support has never been stronger. This study aim to solve problems related to water and the environment when the data become too large for sequential computing. The main objective of the thesis proposes a platform for distributed computing on a cluster of computers that parallelizes the watershed computing of major rivers and the determination of the flow accumulation. The idea is based on the construction of a minimal spanning tree, via a hierarchy of graphs, modeling the water route on the DEM toward the ocean. The technique begins from computing catchment basins that are set of pixels for which a drop of water will end the same local minimum. After that, a hierarchy of basins is computed in order to give the catchment basins of the rivers in the DEM. The study continues with a description of a parallel algorithm for computing the global flow accumulation for automatic drainage network extraction in large digital elevation models. Finally, the thesis presents a version ≪out-of-core≫ of our parallel algorithms to extend the scope of our work in clusters of size small that cannot load into memory the entire treated DEM.

Le modèle du tas de sable est un modèle de diffusion discret et isotrope introduit par les physiciens Bak, Tang et Wiesenfeld comme illustration de la criticalité auto-organisée. Pour tout graphe, souvent supposé fini, Dhar a formalisé de nombreuses propriétés simplifiant son analyse. Cette thèse propose des études de ce modèle sur la grille bidimensionnelle usuelle et certains de ses sous-graphes également infinis que sont les bandes bi-infinies de hauteur finie. Des approximations du comportement de la pile de sable peuvent se rapprocher de certains modèles de bootstrap percolation avec un support de stabilisation rectangulaire. Les lois sur son demi-périmètre peuvent se décrire à l’aide de statistiques sur les permutations. Un sous-produit de ce travail fait apparaître une différence de deux séries génératrices comptant des permutations selon deux statistiques mahoniennes classiques dont est extrait un polynôme à coefficients entiers et surtout positifs. La suite de cette thèse revisite dans le cadre de ces graphes infinis, des structures jusque-là bien définies uniquement dans le cas des graphes finis, notamment la récurrence. Dans le modèle sur une bande de hauteur finie H, l’existence donnée par Járai et Lyons d’automates finis reconnaissant les configurations récurrentes lues colonne par colonne est étendu par une construction explicite d’automates avec un nombre moindre d’états, se rapprochant de la conjecture de Gamlin. Dans une seconde approche, l’étude se concentre sur les configurations sur la grille entière qui sont périodiques dans les deux directions. Le puits, un sommet du graphe garantissant la terminaison de la stabilisation, est placé à l’infini dans une direction de pente rationnelle. Ceci permet à la fois de préserver la bipériodicité et de proposer une forme affaiblie du critère de Dhar caractérisant ainsi par un algorithme effectif les configurations récurrentes. Ces configurations récurrentes bipériodiques sont des candidates naturelles pour être les éléments de sous-groupes finis de l’éventuel groupe du tas de sable sur la grille. Des éléments de construction de cette loi de groupe donnent expérimentalement quelques sous-groupes finis. / The sandpile model is a discrete model for diffusion of grains on a graph introduced by physicists Bak, Tang and Wiesenfeld as an illustration for self-organised criticality. For any finite graph, Dhar identified many of its numerous structures which simplify its analysis. This thesis focus on the usual square lattice and its subgraphs which are strips of height H, both notions of infinite graphs. Approximations on the behaviour of the stabilisation of a large stack of grains at the origin of the square lattice lead to some random distribution of grains, which stabilisation is connected to some models of bootstrap percolation where modified vertices by this stabilisation forms a rectangle. The laws of the half-perimeter of this rectangle are described by statistics on permutations. As a byproduct, the difference between the generating functions over some permutations of two classical mahonian statistics on permutations appears to mainly be a polynomial with coefficients which are integers and especially positive. Then, this thesis visits in the case of the studied infinite graphs some well-defined structures on finite graphs, in particular the recurrence. In the model on an horizontal strip of height H, we extend the existence of finite automata recognizing recurrent configurations read column by column presented by Járai and Lyons to new automata with significantly less states and these numbers are closer to a conjecture due to Gamlin. An implementation leads to explicit automata for heights 3 and 4 while up to now only the case 2 was obtained by hand. In a second approach, we consider the configurations on the twodimensional square lattice which are periodic in two directions. We suggest to place the sink ensuring that the stabilisation ends at infinity in a direction of rational slope which allows to preserve biperiodicity and a weaker form of Dhar criterion for recurrent configurations. Hence we obtain an effective algorithm defining recurrent configurations among the biperiodic and stable configurations. These biperiodic and recurrent configurations are natural candidates for being the elements of finite subgroups of the hypothetical group on configurations of the sandpile model on the square lattice. We discuss some notions allowing the definition of the law of such a group and experimentally provide some finite subgroups.

De nos jours la protection des données numériques est un problème très important. Que ce soit pour des applications de confidentialité, de communication, de traçabilité ou d'identification par exemple, il est nécessaire de développer des techniques adaptées. Dans le cadre de cette thèse en collaboration avec la société STRATEGIES S.A., la méthode choisie pour la protection de maillages 3D est l'insertion de données cachées, également appelée tatouage numérique. Pour des données 3D, un des problèmes les plus importants est la phase de synchronisation qui intervient dans les algorithmes d'insertion et d'extraction des données. Cette phase permet de repérer, de sélectionner et d'ordonner les « zones » qui sont privilégiées pour la dissimulation d'information. Nous avons choisi d'orienter le manuscrit sur cette phase. Ainsi, nous proposons une classification des méthodes de tatouages en fonction de leur méthode de synchronisation. Puis en se basant sur des techniques de synchronisation par des structures de données, telle que les arbres couvrants de poids minimum, nous proposons une analyse théorique de cette structure. Dans un premier temps nous expliquons les raisons de la sensibilité des arbres à la mobilité des points. Puis connaissant ses faiblesses, nous proposons une autre technique de synchronisation toujours basée sur les arbres couvrants de poids minimum. / Data security is one of the main issue in computer science. We need to develop solutions for confidentiality, communication, fingerprinting or identification applications for exemple. In this thesis made with STRATEGIES S.A., the chosen method to protect 3D meshes is watermarking.Watermarking is divided in two steps, the embedding and the extraction. In both of them a synchronization phase is needed. It is one of the most important step for 3D mesh because it permits to look for areas available to embed information, and order them. All the thesis is devoted to the synchronization step. First of all, we propose a classification of watermarking techniques based on the type of synchronization method instead of evaluation criterions such as robustness or capacity.Then, from methods based on Euclidean minimum spanning tree, we propose a theoritical analysis of the mobility of the vertices in that kind of structure. First, we explain the reasons of the sensibility of the structure. Secondly, we propose another scheme based on the Euclidean minimum spanning tree knowing its fragility.

Un système réparti est un système constitué d'un ensemble d'unités de calcul autonomes dotées de capacités de communication afin de résoudre une tâche globale. Ce modèle est suffisament général pour décrire tout type de réseau physique (réseau local, réseau de capteurs, ...). Lorsque la taille d'un système réparti devient importante ou lorsque ce système est déployé dans un environnement non contrôlé, la probabilité que certains éléments du système subissent des fautes (panne, corruption de mémoire, piratage, ...) devient non négligeable. Ces fautes peuvent être classifiées en fonction de leur durée, de leur étendue et de leur nature. Dans cette thèse, nous nous intéressons aux systèmes répartis capables de tolérer simultanément plusieurs types de fautes à travers l'étude de trois problèmes fondamentaux. Nous présentons ainsi un protocole réparti simulant un registre atomique mono-écrivan multi-lecteurs en présence de fautes transitoires et de fautes permanentes de type crash. Ce protocole repose sur deux outils ré-utilisables : un protocole de communication et un système d'estampillage borné. Ensuite, nous proposons une étude de la synchronisation faible d'horloges logiques en présence de fautes transitoires et de fautes intermittentes Byzantines. Nous prouvons de nombreux résultats d'impossibilité et nous fournissons un protocole optimal dans les cas non couverts par ces résultats. Finalement, nous définissons trois nouveaux concepts de tolérance pour les systèmes répartis sujets à des fautes transitoires et des fautes intermittentes Byzantines. Nous donnons un protocole de construction d'une vaste classe d'arbres couvrants optimal selon ces trois concepts.

Cette thèse s'inscrit dans le cadre de l'évolution des Systèmes d'Informations Géographiques (SIG) et de leur capacité à répondre à des problématiques environnementales qui s'expriment de manière globale et transversale. Dans un contexte ou l'information géographique est en plein essor et où la quantité de données disponible ne cesse de croitre, le besoin en terme d'outil d'aide a la décision n'a jamais été aussi fort. Cette étude s'attache tout particulièrement au cadre de la résolution de problématiques liées à l'eau et l'environnement lorsque les données deviennent trop volumineuses pour être traitées par des moyens de calculs séquentiels classiques. Nous proposons une plateforme de calculs répartis sur une grappe d'ordinateurs qui parallélise le calcul de la délimitation des bassins versants des grands fleuves et la détermination des flots d'accumulation. A cette fin nous introduisons une technique de calcul parallèle d'une forêt d'arbres couvrants minimums représentant le parcours de l'eau de chaque point du Modèle Numérique de Terrain (MNT) vers la mer. Cette technique débute par une délimitation des cuvettes (ensemble de points allant vers le même minimum local) contenues dans le MNT. Ensuite une hiérarchie de déversement des cuvettes les unes dans les autres est construite jusqu'à obtenir les bassins versants des fleuves. L'étude se poursuit par la description d'un algorithme parallèle pour le calcul très couteux des flots d'accumulation en chaque point du MNT. Enfin cette thèse présente une version ≪out-of-core≫ de nos algorithmes parallèles afin d'étendre la portée de nos travaux a des grappes de dimensions modestes qui ne peuvent pas charger en mémoire la totalité du MNT traite.

Cette thèse porte sur l'inférence de réseaux. Le cadre statistique naturel à ce genre de problèmes est celui des modèles graphiques, dans lesquels les relations de dépendance et d'indépendance conditionnelles vérifiées par une distribution multivariée sont représentées à l'aide d'un graphe. Il s'agit alors d'apprendre la structure du modèle à partir d'observations portant sur les sommets. Nous considérons le problème d'un point de vue bayésien. Nous avons également décidé de nous concentrer sur un sous-ensemble de graphes permettant d'effectuer l'inférence de manière exacte et efficace, à savoir celui des arbres couvrants. Il est en effet possible d'intégrer une fonction définie sur les arbres couvrants en un temps cubique par rapport au nombre de variables à la condition que cette fonction factorise selon les arêtes, et ce malgré le cardinal super-exponentiel de cet ensemble. En choisissant les distributions a priori sur la structure et les paramètres du modèle de manière appropriée, il est possible de tirer parti de ce résultat pour l'inférence de modèles graphiques arborescents. Nous proposons un cadre formel complet pour cette approche.Nous nous intéressons également au cas où les observations sont organisées en série temporelle. En faisant l'hypothèse que la structure du modèle graphique latent subit un certain nombre de brusques changements, le but est alors de retrouver le nombre et la position de ces points de rupture. Il s'agit donc d'un problème de segmentation. Sous certaines hypothèses de factorisation, l'exploration exhaustive de l'ensemble des segmentations est permise et, combinée aux résultats sur les arbres couvrants, permet d'obtenir, entre autres, la distribution a posteriori des points de ruptures en un temps polynomial à la fois par rapport au nombre de variables et à la longueur de la série. / In this dissertation we investigate the problem of network inference. The statistical frame- work tailored to this task is that of graphical models, in which the (in)dependence relation- ships satis ed by a multivariate distribution are represented through a graph. We consider the problem from a Bayesian perspective and focus on a subset of graphs making structure inference possible in an exact and e cient manner, namely spanning trees. Indeed, the integration of a function de ned on spanning trees can be performed with cubic complexity with respect to number of variables under some factorisation assumption on the edges, in spite of the super-exponential cardinality of this set. A careful choice of prior distributions on both graphs and distribution parameters allows to use this result for network inference in tree-structured graphical models, for which we provide a complete and formal framework.We also consider the situation in which observations are organised in a multivariate time- series. We assume that the underlying graph describing the dependence structure of the distribution is a ected by an unknown number of abrupt changes throughout time. Our goal is then to retrieve the number and locations of these change-points, therefore dealing with a segmentation problem. Using spanning trees and assuming that segments are inde- pendent from one another, we show that this can be achieved with polynomial complexity with respect to both the number of variables and the length of the series.