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Preuves par induction dans le calcul des séquents modulo / Proof by induction in sequent calculus modulo

Nahon, Fabrice 26 October 2007 (has links)
Nous présentons une méthode originale de recherche de preuve par récurrence utilisant la surréduction. Elle a la particularité d'être fondée sur la déduction modulo et d'utiliser la surréduction pour sélectionner à la fois les variables de récurrence et les schémas d'instanciation. Elle donne également la possibilité de traduire directement toute dérivation effectuée avec succès en une preuve dans le calcul des séquents modulo. La correction et la complétude réfutationnelle de la méthode sont démontrées en théorie de la preuve. Nous étendons ensuite cette première approche aux théories de réécriture équationnelles constituées d'un système de réécriture R et d'un ensemble E d'égalités. A partir du moment où le système de réécriture équationnel (R,E) possède de bonnes propriétés de terminaison et de complétude suffisante, et si on suppose également que E préserve les constructeurs, la surréduction au niveau des positions les plus profondes où apparaît un symbole défini s'effectue uniquement à l'aide d'unificateurs qui sont également des substitutions constructeurs. Ceci est particulièrement intéressant dans le cas des théories associatives, ou associatives commutatives, pour lesquelles notre système de recherche de preuve a été raffiné. / We are presenting an original narrowing-based proof search method for inductive theorems. It has the specificity to be grounded on deduction modulo and to rely on narrowing to provide both induction variables and instantiation schemes. It also yields a direct translation from a successful proof search derivation to a proof in the sequent calculus. The method is shown to be correct and refutationally complete in a proof theoretical way. We are extending this first approach to equational rewrite theories given by a rewrite system R and a set E of equalities. Whenever the equational rewrite system (R,E) has good properties of termination, sufficient completeness, and whenever E is constructor preserving, narrowing at defined-innermost positions is performed with unifiers which are constructor substitutions. This is especially interesting for associative and associative-commutative theories for which the general proof search system is refined.
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Certification des raisonnements formels portant sur des systèmes d'information critiques / Certifying formal reasoning about critical information systems

Henaien, Amira 11 March 2015 (has links)
Les preuves par récurrence sont parfaitement adaptées au raisonnement sur des structures de données non-bornées, comme par exemple les entiers et les listes, ou, de manière plus générale, sur des ensembles d’éléments non vides munis d’ordres noethériens. Leur domaine d’application est très vaste, une utilité particulière portant sur la validation des propriétés d’applications industrielles dans des domaines critiques tels que les télécommunications et les cartes à puces. Le principe de récurrence noethérienne est à la base d’un ensemble de techniques de preuve par récurrence modernes, dont celles basées sur la récurrence implicite. Dans cette thèse, nous nous intéresserons à l’intégration du raisonnement par récurrence implicite tel qu’il est implémenté dans le démonstrateur Spike en utilisant l’environnement de preuve certifié Coq. Basé sur la récurrence implicite, Spike est capable de raisonner automatiquement sur des théories conditionnelles de premier ordre. L’implémentation de Spike n’est pas encore certifiée, même si les fondements théoriques sous-jacents ont été approuvés à plusieurs reprises par la communauté scientifique. Une alternative convenable serait de certifier seulement les preuves générées par Spike. Dans ce cas, le processus de certification doit être automatique car les scripts de preuves de Spike sont souvent longs. Des travaux précédents ont montré la possibilité de certifier automatiquement des preuves par récurrence implicite générées par Spike à l’aide de l’environnement certifié de l’assistant de preuve Coq. Nous proposerons des nouvelles tactiques Coq qui seront capables de prouver automatiquement des théorèmes par récurrence implicite. Deux approches seront étudiées. La première approche consiste à utiliser Spike comme un outil externe. Elle est limitée au traitement des spécifications Coq qui peuvent être traduites dans des spécifications conditionnelles, ainsi qu’à des théorèmes convertibles dans des équations conditionnelles. Les traces de preuves générées par Spike sont ensuite traduites dans des scripts Coq qui sont finalement validés par son noyau. Une autre limitation est due à la traduction des applications d’un sous-ensemble de règles d’inférence de Spike. La deuxième approche est l’utilisation des stratégies à la Spike pour construire automatiquement des preuves par récurrence implicite dans Coq. Cette approche se base sur des tactiques Coq qui simulent des règles d’inférence de Spike pour générer de nouveaux sous-buts. Par rapport à la première approche, ces tactiques peuvent utiliser des techniques de raisonnement de Coq qui ne sont pas présentes dans Spike et ouvre la possibilité de mélanger des étapes de preuves automatiques et manuelles. Ces deux approches ont été mises en œuvre et testées sur différents exemples dont des lemmes utilisés dans la preuve de validité de l’algorithme de conformité du protocole de télécommunication ABR / Proofs by induction are perfectly adequate to reasoning on unbounded data structures, for example naturals, lists and more generally on non-empty sets of elements provided with noetherian orders. They are largely used on different fields, particularly for the validation of properties of industrial applications in critical areas such as telecommunications and smart cards. The principle of noetherian induction is the basis of a set of modern techniques of proof by induction, including those based on implicit induction. In this thesis, we will focus on the integration of implicit induction reasoning like it is implemented by spike using the certified proof environnement Coq. Spike is an automatic theorem prover based on implicit induction that is capable of reasoning on conditional first-order theories. The implementation of Spike is not yet certified, even if the underlying theoretical foundations have been approved repeatedly by the scientific community. A suitable alternative is to certify only the proofs produced by Spike. In this case, the certification process must be automatic because scripts of Spike’s proofs are often long. Previous work has shown the possibility of certifying automatically some proofs by implicit induction generated by Spike using the certified environment provided by the Coq proof-assistant. We will propose new Coq tactics that are able to prove automatically theorems by implicit induction. Two approaches will be studied. The first approach consists on using Spike as an external tool. It is limited to process Coq specifications which can be translated in conditional specifications, as well as theorems convertible in conditional equations. Proofs generated by Spike are then translated into Coq scripts finally validated by its kernel. Another limitation is due to the translation of the application of a subset of the Spike inference rules. The second approche is to use strategies à la Spike to automatically build implicit induction proofs in Coq. This approach consists on creating tactics that perform like Spike inference rules to generate new subgoals in Coq. Comparing to the first approach, these tactics permit the use of Coq reasoning techniques which are not present in Spike and opens the possibility of mixing automatic and manual proof steps. Both approaches have been implemented and tested on several examples including lemmas used in the proof of validity of the conformity algorithm for the ABR telecommunications protocol
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Preuve par induction dans le calcul des séquents modulo

Nahon, Fabrice 25 October 2007 (has links) (PDF)
Nous présentons une méthode originale de recherche de preuve par récurrence utilisant la surréduction. Elle a la particularité d'être fondée sur la déduction modulo et d'utiliser la surréduction pour sélectionner à la fois les variables de récurrence et les schémas d'instanciation. Elle donne également la possibilité de traduire directement toute dérivation effectuée avec succès en une preuve dans le calcul des séquents modulo. La correction et la complétude réfutationnelle de la méthode sont démontrées en théorie de la preuve. Nous étendons ensuite cette première approche aux théories de réécriture équationnelles constituées d'un système de réécriture R et d'un ensemble E d'égalités. A partir du moment où le système de réécriture équationnel (R,E) possède de bonnes propriétés de terminaison et de complétude suffisante, et si on suppose également que E préserve les constructeurs, la surréduction au niveau des positions les plus profondes où apparaît un symbole défini s'effectue uniquement à l'aide d'unificateurs qui sont également des substitutions constructeurs. Ceci est particulièrement intéressant dans le cas des théories associatives, ou associatives commutatives, pour lesquelles notre système de recherche de preuve a été raffiné.
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Association entre sévérité d'une blessure aux membres chez les enfants et les adolescents et risque de blessures subséquentes

Keays, Glenn January 2004 (has links)
Mémoire numérisé par la Direction des bibliothèques de l'Université de Montréal.
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Extreme Values and Recurrence for Deterministic and Stochastic Dynamics / Propriétés statistiques de systèmes dynamiques stochastiques et déterministes

Aytaç, Hale 25 June 2013 (has links)
Dans ce travail, nous étudions les propriétés statistiques de certains systèmes dynamiques déterministes et stochastiques. Nous nous intéressons particulièrement aux valeurs extrêmes et à la récurrence. Nous montrons l’existence de Lois pour les Valeurs Extrêmes(LVE) et pour les Statistiques des Temps d’Entrée (STE) et des Temps de Retour (STR) pour des systèmes avec décroissance des corrélations rapide. Nous étudions aussi la convergence du Processus Ponctuel d’Evènements Rares (PPER).Dans la première partie, nous nous intéressons aux systèmes dynamiques déterministes, et nous caractérisons complètement les propriétés précédentes dans le cas des systèmes dilatants. Nous montrons l’existence d’un Indice Extrême (IE) strictement plus petit que 1 autour des points périodiques, et qui vaut 1 dans le cas non-périodique, mettant ainsi en évidence une dichotomie dans la dynamique caractérisée par l’indice extrême. Dans un contexte plus général, nous montrons que le PPER converge soit vers une distribution de Poisson pour des points non-périodiques, soit vers une distribution de Poisson mélangée avec une distribution multiple de type géométrique pour des points périodiques. De plus, nous déterminons explicitement la limite des PPER autour des points de discontinuité et nous obtenons des distributions de Poisson mélangées avec des distributions multiples différentes de la distribution géométrique habituelle. Dans la deuxième partie, nous considérons des systèmes dynamiques stochastiques obtenus en perturbant de manière aléatoire un système déterministe donné. Nous élaborons deux méthodes nous permettant d’obtenir des lois pour les Valeurs Extrêmes et les statistiques de la récurrence en présence de bruits aléatoires. La première approche est de nature probabiliste tandis que la seconde nécessite des outils d’analyse spectrale. Indépendamment du point choisi, nous montrons que l’IE est constamment égal à 1 et que le PPER converge vers la distribution de Poisson standard. / In this work, we study the statistical properties of deterministic and stochastic dynamical systems. We are particularly interested in extreme values and recurrence. We prove the existence of Extreme Value Laws (EVLs) and Hitting Time Statistics (HTS)/ ReturnTime Statistics (RTS) for systems with decay of correlations against L1 observables. We also carry out the study of the convergence of Rare Event Point Processes (REPP). In the first part, we investigate the problem for deterministic dynamics and completely characterise the extremal behaviour of expanding systems by giving a dichotomy relying on the existence of an Extremal Index (EI). Namely, we show that the EI is strictly less than 1 for periodic centres and is equal to 1 for non-periodic ones. In a more general setting, we prove that the REPP converges to a standard Poisson if the centre is non-periodic, and to a compound Poisson with a geometric multiplicity distribution for the periodic case. Moreover, we perform an analysis of the convergence of the REPP at discontinuity points which gives the convergence to a compound Poisson with a multiplicity distribution different than the usual geometric one.In the second part, we consider stochastic dynamics by randomly perturbing a deterministic system with additive noise. We present two complementary methods which allow us to obtain EVLs and statistics of recurrence in the presence of noise. The first approach is more probabilistically oriented while the second one uses spectral theory. We conclude that, regardless of the centre chosen, the EI is always equal to 1 and the REPP converges to the standard Poisson. / Neste trabalho, estudamos as propriedades estatısticas de sistemas dinâmicos deterministicos e estocasticos. Estamos particularmente interessados em valores extremos e recorrência. Provamos a existência de Leis de Valores Extremos (LVE) e Estatısticas doTempo de Entrada (ETE) / Estatısticas de Tempo de Retorno (ETR) para sistemas comdecaimento de correlaçoes contra observaveis em L1. Também realizamos o estudo daconvergência dos Processos Pontuais de Acontecimentos Raros (PPAR). Na primeira parte, investigamos o problema para dinâmica determinıstica e caracterizamos completamente o comportamento extremal de sistemas expansores. Mostramos que ha uma dicotomia quanto 00E0 existência de um Indice de Extrema (IE). Nomeadamente, provamos que o IE é estritamente menor do que 1 em torno de pontos periodicos e é igual a 1 para pontos aperiodicos. Num contexto mais geral, mostramos que os PPAR convergem para um processo de Poisson simples ou um processo de Poisson composto, em que a distribuiçao de multiplicidade é geométrica, dependendo se o centro é um ponto aperiodico ou periodico, respectivamente. Além disso, realizamos uma analise da convergência dos PPAR em pontos de descontinuidade, o que conduziu à descoberta de convergência para um processo de Poisson composto com uma distribuiçao de multiplicidade diferente da usual distribuiçao geométrica. Na segunda parte, consideramos dinâmica estocastica obtida por perturbaçao aleatoria de um sistema determinıstico por inclusao de um ruıdo aditivo. Apresentamos duas técnicas complementares que nos permitem obter LVE e as ETE na presen¸ca deste tipo de ruıdo. A primeira abordagem é mais probabilıstica enquanto que a outra usa sobretudo teoria espectral. Conclui-se que, independentemente do centro escolhido, o IE é sempre igual a 1 e os PPAR convergem para o processo de Poisson simples.
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Fonctions de Lyapunov : une approche KAM faible

Pageault, Pierre 17 November 2011 (has links) (PDF)
Cette thèse est divisée en trois parties. Dans une première partie, on donne une description nouvelle des points récurrents par chaînes d'un système dynamique comme ensemble d'Aubry projeté d'une barrière ultramétrique. Cette approche permet de munir l'ensemble des composantes transitives par chaînes d'une structure d'espace ultramétrique expliquant leur topologie totalement discontinue, et de retrouver un théorème célèbre de Charles Conley concernant l'existence de fonctions de Lyapunov décroissant strictement le long des orbites non-récurrentes par chaînes. Dans une deuxième partie, on développe une théorie d'Aubry-Mather pour les homéomorphismes d'un espace métrique compact. On introduit dans ce cadre un ensemble d'Aubry métrique, puis topologique, ainsi qu'un ensemble de Mañé. Ces notions, plus fines que la récurrence par chaînes, permettent de mieux comprendre les fonctions de Lyapunov d'un tel système dynamique. Dans une dernière partie, on montre un résultat général de densité de certains contre-exemples au théorème de Sard pour lesquels l'ensemble des points critiques est un arc topologique et on donne des applications dynamiques de ce résultat. Celles-ci sont liées à des problèmes d'unicité, à constantes près, des solutions KAM faibles (ou solutions de viscosité) de certaines équations d'Hamilton-Jacobi.
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Cinématique et mécanique des failles décrochantes à l'échelle de temps du cycle sismique : apports d'un modèle expérimental / Kinematics and mechanics of strike-slip faults at the seismic cycle time-scale : Insights from an experimental model.

Caniven, Yannick 09 December 2014 (has links)
Le cycle sismique s'étend de la centaine à quelques milliers d'années mais les mesures géodésiques et sismologiques s'étendent sur moins d'un siècle. Cette courte échelle de temps d'observation rend difficile la mise en évidence du rôle des paramètres sismotectoniques clefs qui contrôlent la dynamique des failles actives. Pour pallier ce problème d'échelle temporelle, j'ai développé un nouveau modèle expérimental qui reproduit des microséismes le long d'une faille décrochante sur plusieurs centaines de cycles sismiques. Il est constitué de deux plaques de polyuréthane latéralement en contact, reposant sur une couche basale de silicone, simulant le comportement mécanique d'une croûte supérieure élastoplastique couplée avec une croûte inférieure ductile, respectivement. Pour chaque expérience, environ 4000 mesures du champ de vitesses horizontales sont enregistrées. L'analyse des déplacements de surface au cours des phases intersismiques, cosismiques et postsismiques et leur comparaison aux failles sismogéniques montrent que le modèle reproduit correctement les déformations proches de la faille et en champ lointain. J'ai aussi effectué des inversions du champ de vitesses en surface pour évaluer la distribution spatiale du glissement en profondeur le long du plan de faille. Pour comparer les expériences, j'ai développé plusieurs algorithmes permettant d'étudier l'évolution spatio-temporelle des principaux paramètres physiques et les processus de déformation de surface qui caractérisent le cycle sismique. Mes premiers résultats suggèrent que la vitesse de chargement tectonique imposée en champ lointain joue un rôle sur le cycle sismique en influençant la magnitude des séismes, leur temps de récurrence, ainsi que la capacité de la faille à générer des séismes caractéristiques. Une vitesse de chargement lente favorise l'occurrence de forts évènements caractéristiques et une vitesse rapide de nombreux microséismes de magnitude faible à modérée plus distribués le long de la faille. Ma première hypothèse est que ce comportement est contrôlé par le couplage fragile/ductile à la base des plaques de polyuréthane. Pour une vitesse rapide, les forces visqueuses dans la couche basale augmentent de même que ce couplage. Ce processus contraint la base de la faille à glisser à une vitesse proche de sa vitesse long-terme et induit un champ de contrainte plus hétérogène le long de son plan qui favorise les microséismes de magnitude faible à modérée. Pour une vitesse lente, le silicone se comporte comme un fluide newtonien et les forces visqueuses diminuent considérablement, permettant à la faille de rester bloquée sur une plus longue période et d'accumuler plus de déformation élastique. Les contraintes sont ensuite relaxées par de plus larges évènements sismiques. Enfin, j'ai étudié le rôle joué par les variations de contrainte normale le long de la faille sur le glissement cosismique et le comportement long terme du système. Les résultats montrent que la distribution spatiale du glissement cosismique est fortement contrôlée par les variations de résistance de la faille et de l'accumulation des contraintes cisaillantes qui en résultent. Les évènements majeurs se produisent préférentiellement dans les zones d'aspérité de contrainte cisaillante et leur distribution spatiale du glissement suit une tendance similaire à celle de la variation de contrainte normale le long de la faille. L'analyse révèle aussi que l'hétérogénéité de l'état de contrainte initial influence la régularité du cycle sismique et le comportement long terme du modèle. Les résultats de cette étude paramétrique conforte ainsi l'hypothèse selon laquelle la distribution du glissement cosismique le long des ruptures peut fournir des informations pertinentes sur l'état de contrainte initial et pourrait améliorer notre compréhension de l'aléa sismique. Notre approche expérimentale apparaît donc, comme une méthode complémentaire et efficace pour étudier la dynamique des séismes. / Average seismic cycle duration extends from hundred to a few thousands years but available geodetic measurements, including trilateration, GPS, Insar and seismological data extend over less than one century. This short time observation scale renders difficult, then, to constrain the role of key parameters such as fault friction and geometry, crust rheology, stress and strain rate that control the kinematics and mechanics of active faults.To solve this time scale issue, I have developed a new experimental set-up that reproduces scaled micro-earthquakes along a strike-slip fault during several hundreds of seismic cycles. The model is constituted by two polyurethane foam plates laterally in contact, lying on a basal silicone layer, which simulate the mechanical behaviour of an elastoplastic upper crust coupled with a ductile lower crust, respectively. For each experience about 4000 horizontal-velocity field measurements are recorded. The analysis of model-interseismic, coseismic and postseismic surface displacements and their comparison to seismogenic natural faults demonstrate that our analog model reproduces correctly both near and far-field surface strains. I also performed surface-velocity field inversions to assess the spatial distribution of slip and stress at depth along the fault plane. To compare the experiences, we have developed several algorithms that allow studying the spatial and temporal evolution of the main physical parameters and surface deformation processes that characterise the seismic cycle (magnitudes, stress, strain, friction coefficients, interseismic locking depth, recurrence time, ...). My first results suggest that far-field boundary-velocity conditions play a key role on the seismic cycle by influencing earthquake magnitudes and recurrence time, as well as the capability of the fault to generate characteristic earthquakes. We observed that low loading rate favors rare but large strong characteristic events and high loading rate numerous low to moderate magnitude more distributed microquakes. My first hypothesis is that this behaviour may be controlled by the brittle/ductile coupling at the base of foam plates. For a high loading rate, viscous forces in the silicone layer increase as well as coupling at the base of the foam plates. These features force the base of the fault to slip at a velocity close to the far field velocity and induce a more heterogeneous stress field along the fault favoring low to moderate microquakes. For a low loading rate, silicone almost behaves as a newtonian fluid and viscous forces strongly decrease, allowing the fault to remain locked for a longer period and to accumulate more elastic strain. Stresses are then relaxed by larger seismic events.Finally, I investigate experimentally the role played by along fault initial normal stress variations on coseismic slip and long term fault behavior. Results show that coseismic slip patterns are strongly controlled by variations in fault strength and subsequent accumulated shear stress along fault strike. Major microquake events occur preferentially into zone of major shear stress asperities and coseismic slip distributions follow similar trends than initial normal stress variations along the fault. Moreover, our experiment suggest that the heterogeneity of initial stress state along the fault influence the regularity of the seismic cycle and, consequently, long term fault slip behavior. Results of this parametric study comfort, then, the hypothesis that coseismic slip distribution along earthquake ruptures may provide relevant informations on unknown initial stress state and could thus improve our understanding of seismic hazard.Our experimental approach appears then, as an efficient complementary method to investigate earthquake dynamics.
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Récurrence sur les espaces homogènes / Recurrence on homogeneous spaces

Bruère, Caroline 19 May 2017 (has links)
On choisit un groupe algébrique G, un sous-groupe algébrique H de G ; on choisit une mesure de probabilité borélienne μ sur G. On considère alors la chaîne de Markov sur l’espace homogène X = G/H de probabilité de transition Px = μ * δx pour x ε X. Dans cette thèse, on étudie les propriétés de récurrence de ces marches aléatoires.On s’intéresse à deux types de récurrence : la récurrence presque-sûre (toute trajectoire revient presque-sûrement infiniment souvent dans un compact) et la récurrence en loi (il existe une mesure de probabilité μ stationnaire sur X .On s’intéresse également aux éventuelles propriétés de transience presque-sûre (toute trajectoire quitte presque-sûrement définitivement tout compact).On construira d’abord un exemple où on n’a ni récurrence presque-sûre en tout point, ni transience presque-sûre en tout point. On montrera ensuite un critère de récurrence presque-sûre dans le cas où G est un groupe de Lie semi-simple ; on a en fait dans ce cas une dichotomie : soit tous les points sont récurrents,soit tous les points sont transients.Dans le cas où G est le groupe affine GL(d,ℝ) α ℝd,on donnera un critère de récurrence en loi sur les Grassmanniennes affines, et, dans un dernier chapitre, on donnera quelques résultats partiels d'un projet en cours,permettant de donner des résultats pour le groupe SO(p, p+1) α ℝ2p+1. / Choose an algebraic group G, and an algebraic subgroup H. Choose a Borel probability measure μ on G. Consider the Markov chain on the G-space X = G/H with transition probability Px = μ * δx for x ε X.The point of this dissertation is the study of the recurrence properties of such a random walk.We consider two types of recurrence : almost-certain recurrence (i.e. almost-every trajectory enters some compact set infinitely often) and the associated almost-certain transience (where almost-every trajectory eventually leaves every compact set) and recurrence in law (i.e. there exists a μ stationary probability measure on X).First, we show that, in general, there is no dichotomy between almost-certain recurrence and transience by constructing an example with both almost-certainly recurrent and almost-certainly transient points.We then prove a criterion for almost-certain recurrence when G is a semi-simple Lie group and X is a G-space. In fact, in this case, we have a dichotomy where either every point of X is almost-certainly recurrent, or every point of X is almost certainly transient.When G is the affine group GL(d,ℝ) α ℝd, we give a criterion for recurrence in law on the affine Grassmannians.In the final chapter, we give some partial results from an ongoing project,which give a criterion for recurrence in law the group SO(p,p+1)α ℝ2p+1.
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Construction d'ensembles de points basée sur des récurrences linéaires dans un corps fini de caractéristique 2 pour la simulation Monte Carlo et l'intégration quasi-Monte Carlo

Panneton, François January 2004 (has links)
Thèse numérisée par la Direction des bibliothèques de l'Université de Montréal.
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Algorithmes progressifs stables pour l'approximation de courbes et surfaces

Nigro, Abdelmalek 25 October 1995 (has links) (PDF)
Dans cette étude, nous traitons un problème d'interpolation de données dans le plan ou dans l'espace. Ce problème se distingue des autres problèmes existants par le fait que les points sont obtenus progressivement, c'est-à-dire à un instant donné, seules sont connues les données jusqu'à cet instant. Les méthodes utilisées sont basées sur l'utilisation de splines récurrentes, i.e., chaque morceau de la spline à l'étape i (correspondant à l'information i) est calculé en fonction des morceaux précédents par un raccordement paramétrique ou géométrique. L'algorithme ainsi construit est régi par une relation de récurrence dont nous étudions la stabilité numérique. Les données ont été interpolées de deux manières différentes: ― par une fonction spline vectorielle: dans ce cas la stabilité est démontrée au moyen des paramètres de forme issus du raccordement géométrique entre les sections de la spline. Ainsi, nous avons donné un nouveau rôle aux paramètres de forme qui consiste à absorber les oscillations provenant du calcul itératif. ― par une représentation scalaire des données: chaque morceau de la spline appartient à un espace de dimension n, engendré par une famille de fonctions ayant certaines propriétés. On démontre que la stabilité est en fait obtenue par le choix même des fonctions de base de l'espace

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