Cette thèse est une étude de base qui traite de la transformation de la dualité géométrique entre un point et un hyperplan d'un espace affine. Une étape indispensable est alors d'établir une définition rigoureuse de la dualité géométrique ainsi que ses propriétés et caractéristiques. Cette notion de dualité peut se généraliser pour toute forme géométrique décrite à l'aide d'une famille de points ou d'hyperplans. Ainsi une courbe duale d'une courbe paramétrique plane est définie comme enveloppe d'une famille de droites. Ces courbes duales sont ensuite analysées pour trouver des relations de correspondances entre une courbe paramétrique et son image duale. En effet, des correspondances d'interpolation et de convexité sont établies et des exemples de courbes de Bézier duales sont illustrés. On fait ensuite une étude complète des correspondances de singularités entre courbes primales et duales. Enfin, une généralisation de la dualité géométrique à l'aide d'une matrice symétrique inversible a permis d'associer à une courbe paramétrique quelconque une famille de courbes duales dépendant de la matrice symétrique considérée.

Dans cette étude, nous traitons un problème d'interpolation de données dans le plan ou dans l'espace. Ce problème se distingue des autres problèmes existants par le fait que les points sont obtenus progressivement, c'est-à-dire à un instant donné, seules sont connues les données jusqu'à cet instant. Les méthodes utilisées sont basées sur l'utilisation de splines récurrentes, i.e., chaque morceau de la spline à l'étape i (correspondant à l'information i) est calculé en fonction des morceaux précédents par un raccordement paramétrique ou géométrique. L'algorithme ainsi construit est régi par une relation de récurrence dont nous étudions la stabilité numérique. Les données ont été interpolées de deux manières différentes: ― par une fonction spline vectorielle: dans ce cas la stabilité est démontrée au moyen des paramètres de forme issus du raccordement géométrique entre les sections de la spline. Ainsi, nous avons donné un nouveau rôle aux paramètres de forme qui consiste à absorber les oscillations provenant du calcul itératif. ― par une représentation scalaire des données: chaque morceau de la spline appartient à un espace de dimension n, engendré par une famille de fonctions ayant certaines propriétés. On démontre que la stabilité est en fait obtenue par le choix même des fonctions de base de l'espace

Cette thèse est consacrée à la définition d'une surface géométriquement lisse interpolant un ensemble triangulé de points de R^3. Une telle triangulation, que nous appelons "réseau surfacique", doit définir une sous-variété de dimension 2, et peut représenter des surfaces de n'importe quel genre topologique. Il fournit l'information topologique, par l'intermédiaire d'une structure de données contenant les informations d'adjacence entre les sommets, les arêtes et les faces. Nous avons développé deux méthodes pour l'interpolation des sommets du réseau surfacique. Elles sont strictement locales et produisent des surfaces polynomiales par morceaux de degré 5 et de continuité G^1. De nombreux paramètres libres sont disponibles et ajustés soit interactivement soit automatiquement afin de lisser la surface. Dans le contexte interactif, plusieurs outils de design sont développés, basés sur l'interprétation géométrique des paramètres libres. La forme voulue peut être obtenue par une modélisation temps réel, grâce à la localité des algorithmes. Dans le cas du design automatique, de nombreux algorithmes ont été developpés satisfaisant un certain nombre de caractéristiques de forme. Un grand nombre de règles heuristiques et d'optimisations locales sont utilisées pour définir les valeurs des paramètres de forme dans le but d'obtenir des formes satisfaisantes ainsi qu'un contrôle optimal de la surface.

Les travaux présentés dans ce mémoire d'habilitation portent sur deux aspects <br />de la modélisation géométrique de surfaces lisses. <br /><br />L'ambition des recherches menées sur le thème de l'interpolation de triangulations <br />polygonales quelconques par des surfaces polynomiales a été de revenir à la source du <br />problème en introduisant un autre découpage, régulier en quatre cette fois ci, des <br />triangles données en entrée. Nous présentons de nouvelles approches en insistant sur <br />la résolution du problème de raccordement lisse de patchs triangulaires en un sommet <br />commun ainsi que sur le choix optimal des paramètres de forme permettant de contrôler <br />la qualité esthétique de la surface. De plus, l'invariance par subdivision d'un des <br />schémas permet une hiérarchisation des procédés d'interpolation. Il devient alors<br />possible d'avoir un modèle de surface multirésolution paramétrique, et permettant <br />de décrire de topologies quelconques, applicable dans des domaines aussi divers que <br />la CAO, la réalité virtuelle ou la médecine.<br /><br />Le deuxième thème concerne le lissage de surfaces B-splines. Deux types de méthodes, <br />basées sur la diminution de la variation de courbures, sont présentés. Les premières <br />utilisent des stratégies de recherche heuristiques ou systématiques. Les secondes <br />reposent sur la convolution du réseau des points de contrôle de la surface par des <br />filtres discrets.

Les travaux présentés dans ce mémoire portent sur deux aspects de la modélisation géométrique de surfaces lisses. L'ambition des recherches menées sur le thème de l'interpolation de triangulations polygonales quelconques par des surfaces polynomiales a été de revenir à la source du problème en introduisant un autre découpage, régulier en quatre cette fois ci, des triangles données en entrée. Nous présentons de nouvelles approches en insistant sur la résolution du problème de raccordement lisse de patchs triangulaires en un sommet commun ainsi que sur le choix optimal des paramètres de forme permettant de contrôler la qualité esthétique de la surface. De plus, l'invariance par subdivision d'un des schémas permet une hiérarchisation des procédés d'interpolation. Il devient alors possible d'avoir un modèle de surface multirésolution paramétrique, et permettant de décrire de topologies quelconques, applicable dans des domaines aussi divers que la CAO, la réalité virtuelle ou la médecine. Le deuxième thème concerne le lissage de surfaces B-splines. Deux types de méthodes, basées sur la diminution de la variation de courbures, sont présentés. Les premières utilisent des stratégies de recherche heuristiques ou systématiques. Les secondes reposent sur la convolution du réseau des points de contrôle de la surface par des filtres discrets.