L'objet de ce mémoire est de montrer que désormais l'informatique permet de réaliser un vieux rève : se débarasser du carcan du plomb et créer de nouveaux caractères adaptés à de nouvelles technologies.<br /><br />Ce mémoire comprend deux parties. La première est une courte synthèse sur la typographie. Nous rappelons ce qu'est un caractère et comment on les fabriquait autrefois puis comment on les manipule aujourd'hui, c'est-à-dire ce qu'est une fonte numérique et comment, depuis peu, on arrive à atteindre les exigences du passé.<br /><br />La seconde partie montre les recherches auxquelles nous avons participé : nous montrons d'abord une possibilité fondamentale en matière de créativité : on peut désormais calculer la forme d'un caractère lorsque l'on l'utilise et non plus avant, une fois pour toutes. Nous donnons comme première application celui du dessin des symboles mathématiques. Nous montrons ensuite comment ce concept de fonte dynamique permet de créer de nouveaux caractères en fonction du contexte.<br /><br />En guise de conclusion, nous indiquons plusieurs voies de recherche.

Cette thèse est une étude de base qui traite de la transformation de la dualité géométrique entre un point et un hyperplan d'un espace affine. Une étape indispensable est alors d'établir une définition rigoureuse de la dualité géométrique ainsi que ses propriétés et caractéristiques. Cette notion de dualité peut se généraliser pour toute forme géométrique décrite à l'aide d'une famille de points ou d'hyperplans. Ainsi une courbe duale d'une courbe paramétrique plane est définie comme enveloppe d'une famille de droites. Ces courbes duales sont ensuite analysées pour trouver des relations de correspondances entre une courbe paramétrique et son image duale. En effet, des correspondances d'interpolation et de convexité sont établies et des exemples de courbes de Bézier duales sont illustrés. On fait ensuite une étude complète des correspondances de singularités entre courbes primales et duales. Enfin, une généralisation de la dualité géométrique à l'aide d'une matrice symétrique inversible a permis d'associer à une courbe paramétrique quelconque une famille de courbes duales dépendant de la matrice symétrique considérée.

Le travail présenté ici avait pour but le développement d'un schéma de type Galerkin discontinu (GD) d'ordre élevé pour la résolution des équations de la dynamique des gaz écrites dans un formalisme Lagrangien total, sur des maillages bi-dimensionnels totalement déstructurés. À cette fin, une méthode progressive a été utilisée afin d'étudier étape par étape les difficultés numériques inhérentes à la discrétisation Galerkin discontinue ainsi qu'aux équations de la dynamique des gaz Lagrangienne. Par conséquent, nous avons développé dans un premier temps des schémas de type Galerkin discontinu jusqu'à l'ordre trois pour la résolution des lois de conservation scalaires mono-dimensionnelles et bi-dimensionnelles sur des maillages déstructurés. La particularité principale de la discrétisation GD présentée est l'utilisation des bases polynomiales de Taylor. Ces dernières permettent, dans le cadre de maillages bi-dimensionnels déstructurés, une prise en compte globale et unifiée des différentes géométries. Une procédure de limitation hiérarchique, basée aux noeuds et préservant les extrema réguliers a été mise en place, ainsi qu'une forme générale des flux numériques assurant une stabilité globale L_2 de la solution. Ensuite, nous avons tâché d'appliquer la discrétisation Galerkin discontinue développée aux systèmes mono-dimensionnels de lois de conservation comme celui de l'acoustique, de Saint-Venant et de la dynamique des gaz Lagrangienne. Nous avons noté au cours de cette étude que l'application directe de la limitation mise en place dans le cadre des lois de conservation scalaires, aux variables physiques des systèmes mono-dimensionnels étudiés provoquait l'apparition d'oscillations parasites. En conséquence, une procédure de limitation basée sur les variables caractéristiques a été développée. Dans le cas de la dynamique des gaz, les flux numériques ont été construits afin que le système satisfasse une inégalité entropique globale. Fort de l'expérience acquise, nous avons appliqué la discrétisation GD mise en place aux équations bi-dimensionnelles de la dynamique des gaz, écrites dans un formalisme Lagrangien total. Dans ce cadre, le domaine de référence est fixe. Cependant, il est nécessaire de suivre l'évolution temporelle de la matrice jacobienne associée à la transformation Lagrange-Euler de l'écoulement, à savoir le tenseur gradient de déformation. Dans le travail présent, la transformation résultant de l'écoulement est discrétisée de manière continue à l'aide d'une base Éléments Finis. Cela permet une approximation du tenseur gradient de déformation vérifiant l'identité essentielle de Piola. La discrétisation des lois de conservation physiques sur le volume spécifique, le moment et l'énergie totale repose sur une méthode Galerkin discontinu. Le schéma est construit de sorte à satisfaire de manière exacte la loi de conservation géométrique (GCL). Dans le cas du schéma d'ordre trois, le champ de vitesse étant quadratique, la géométrie doit pouvoir se courber. Pour ce faire, des courbes de Bézier sont utilisées pour la paramétrisation des bords des cellules du maillage. Nous illustrons la robustesse et la précision des schémas mis en place à l'aide d'un grand nombre de cas tests pertinents, ainsi que par une étude de taux de convergence. / The intent of the present work was the development of a high-order discontinuous Galerkin scheme for solving the gas dynamics equations written under total Lagrangian form on two-dimensional unstructured grids. To achieve this goal, a progressive approach has been used to study the inherent numerical difficulties step by step. Thus, discontinuous Galerkin schemes up to the third order of accuracy have firstly been implemented for the one-dimensional and two-dimensional scalar conservation laws on unstructured grids. The main feature of the presented DG scheme lies on the use of a polynomial Taylor basis. This particular choice allows in the two-dimensional case to take into general unstructured grids account in a unified framework. In this frame, a vertex-based hierarchical limitation which preserves smooth extrema has been implemented. A generic form of numerical fluxes ensuring the global stability of our semi-discrete discretization in the $L_2$ norm has also been designed. Then, this DG discretization has been applied to the one-dimensional system ofconservation laws such as the acoustic system, the shallow-water one and the gas dynamics equations system written in the Lagrangian form. Noticing that the application of the limiting procedure, developed for scalar equations, to the physical variables leads to spurious oscillations, we have described a limiting procedure based on the characteristic variables. In the case of the one-dimensional gas dynamics case, numerical fluxes have been designed so that our semi-discrete DG scheme satisfies a global entropy inequality. Finally, we have applied all the knowledge gathered to the case of the two-dimensional gas dynamics equation written under total Lagrangian form. In this framework, the computational grid is fixed, however one has to follow the time evolution of the Jacobian matrix associated to the Lagrange-Euler flow map, namely the gradient deformation tensor. In the present work, the flow map is discretized by means of continuous mapping, using a finite element basis. This provides an approximation of the deformation gradient tensor which satisfies the important Piola identity. The discretization of the physical conservation laws for specific volume, momentum and total energy relies on a discontinuous Galerkin method. The scheme is built to satisfying exactly the Geometric Conservation Law (GCL). In the case of the third-order scheme, the velocity field being quadratic we allow the geometry to curve. To do so, a Bezier representation is employed to define the mesh edges. We illustrate the robustness and the accuracy of the implemented schemes using several relevant test cases and performing rate convergences analysis.

Dans la première partie de la thèse, nous présentons un nouveau système permettant de produire des mouvements de caméra réalistes pour l'animation stopmotion. Le système permettra d'enrichir les logiciels d'animation 3D classiques (comme par exemple Maya et 3D Studio Max) afin de leur faire contrôler des mouvements de caméra pour la stop motion, grâce à l'utilisation d'une interface haptique. Nous décrivons le fonctionnement global du système. La première étapeconsiste à récupérer et enregistrer les données envoyées par le périphérique haptique de motion capture. Dans la seconde étape, nous réélaborons ces données par un procédé mathématique, puis les exportons vers un logiciel de 3D pour prévisualiser les mouvements de la caméra. Finalement la séquence est exécutée avec un robot de contrôle de mouvement et un appareil photo. Le système est évalué par un groupe d'étudiants du Master "Art plastiques et Création numérique" de l'Université de Valenciennes. Dans la deuxième partie, nous définissons une nouvelle classe de courbes à partir des courbes polynomiales paramétriques à hodographe pythagorien (PH) construite sur un espace algébrique-trigonométrique. Nous montrons leurs propriétés fondamentaleset leurs avantages importants par rapport à leur équivalent polynomial, grâce à l'utilisation d'un paramètre de forme. Nous introduisons une formulation complexe et nous résolvons le problème d'interpolation de Hermite.

Dans la première partie de la thèse, nous présentons un nouveau système permettant de produire des mouvements de caméra réalistes pour l’animation stopmotion. Le système permettra d’enrichir les logiciels d’animation 3D classiques (comme par exemple Maya et 3D Studio Max) afin de leur faire contrôler des mouvements de caméra pour la stop motion, grâce à l’utilisation d’une interface haptique. Nous décrivons le fonctionnement global du système. La première étapeconsiste à récupérer et enregistrer les données envoyées par le périphérique haptique de motion capture. Dans la seconde étape, nous réélaborons ces données par un procédé mathématique, puis les exportons vers un logiciel de 3D pour prévisualiser les mouvements de la caméra. Finalement la séquence est exécutée avec un robot de contrôle de mouvement et un appareil photo. Le système est évalué par un groupe d’étudiants du Master "Art plastiques et Création numérique" de l’Université de Valenciennes. Dans la deuxième partie, nous définissons une nouvelle classe de courbes à partir des courbes polynomiales paramétriques à hodographe pythagorien (PH) construite sur un espace algébrique-trigonométrique. Nous montrons leurs propriétés fondamentaleset leurs avantages importants par rapport à leur équivalent polynomial, grâce à l’utilisation d’un paramètre de forme. Nous introduisons une formulation complexe et nous résolvons le problème d’interpolation de Hermite. / In the first part, we present a new system that allows to create realistic cameramovements for a stop motion animation. The system improves traditional 3D software animation programs (for example Maya and 3D Studio Max) for creatingstop motion camera movements by using an haptic interface. After describing thewhole system, we explain in detail the mathematical processing to obtain differentcamera movements by using an haptic interface for motion capture. The recordedhaptic positions, once elaborated, are exported, frame by frame, to the motioncontrol software, which allows to calibrate the motion control robot, to control thecamera settings and, finally, to execute the sequences. A class of students of the"Art plastiques et Création numérique" Master of the University of Valenciennesevaluated the system. In the second part, we define a new class of Pythagorean Hodograph curves built upon a five dimensional mixed algebraic trigonometric space, and show their fundamental properties and important advantages over their well known polynomial counterpart. A complex representation for these curves is introduced and constructive approaches are provided to solve the first order Hermite interpolation problem.