Le lambda-calcul est un formalisation de la notion de calcul. Dans cette thèse nous nous intéresserons à certaines variantes non déterministes, et nous nous pencherons plus particulièrement sur le cas probabiliste.L'étude du lambda-calcul probabiliste n'est pas nouvelle, mais les travaux précédents considéraient le comportement probabiliste comme un effet de bord. Notre objectif est de présenter ce calcul d'une manière plus équationnelle, en intégrant le comportement probabiliste à la réduction.Tout d'abord nous définissons une sémantique opérationnelle déterministe et contextuelle pour le lambda-calcul probabiliste en appel par nom. Afin de traduire la signification de la somme nous définissons une équivalence syntaxique dans notre calcul, dont nous démontrons qu'il ne déforme pas la réduction: considérer une réduction modulo équivalence revient à considérer simplement le résultat du calcul modulo équivalence. Nous prouvons également un résultat de standardisation.Dans ce cadre nous définissons une notion de théorie équationnelle pour le lambda-calcul probabiliste. Nous étendons certaines notions usuelles, et en particulier celle de bon sens. Cette dernière se formalise facilement dans un cadre déterministe mais est bien plus complexe dans le cas probabiliste.Pour finir nous prouvons une correspondance entre l'équivalence observationnelle, l'égalité des arbres de Böhm et la théorie cohérente sensée maximale. Nous définissons une notion d'arbres de Böhm probabilistes dont nous prouvons qu'elle forme un modèle. Nous démontrons ensuite un résultat de séparabilité disant que deux termes avec des arbres de Böhm distincts ne sont pas observationnellement équivalents. / The lambda-calculus is a way to formalize the notion of computation. In this thesis we will be interested in some of these variants introducing non deterministim, and we will focus mostly on a probabilistic calculus.The probabilistic lambda-calculus has been studied for some time, but the probabilistic behaviour has always been treated as a side effect. Our purpose is to give a more equational representation of this calculus, by handling the probabilities inside the reduction rather than as a side effect.To begin with we give a deterministic and contextual operational semantics for the call-by-name probabilistic lambda-calculus. To express the probabilistic behaviour of the sum we introduce a syntactic equivalence in our calculus, and we show it has little consequence on the calculus: reducing modulo equivalence amount to reducing and then looking at the result modulo equivalence. We also prove a standardization theorem.Then using this operational semantics we define a notion of equational theories for the probabilistic lambda-calculus. We extend some usual notions to this setting, and in particular the sensibility of a theory. This notion is quite simple in a deterministic setting but becomes more complicated when we have a probabilistic computation.Finally we prove a generalization of the equality between the observational equivalence, the Böhm tree equality and the maximal coherent sensible lambda-theory. We give a notion of probabilistic Böhm trees, and prove that this forms a model of the probabilistic lambda-calculus. Then we prove a separability result stating that two terms with different Böhm trees are separable, i.e. are not observationally equivalent.

Mes travaux de recherche portent sur la théorie de la démonstration, le lambda-calcul et l'informatique théorique, dans la ligne de la correspondance de Curry-Howard entre les preuves et les programmes.<br /><br />Dans ma thèse de doctorat, j'ai étudié les opérateurs de mise en mémoire pour les types de données. Ces notions, qui sont introduites par Krivine, permettent de programmer en appel par valeur tout en utilisant la stratégie de la réduction de tête pour exécuter les $\lambda$-termes. Pour cette étude, j'ai introduit avec David une extension du $\lambda$-calcul avec substitutions explicites appelée $\lambda$-calcul dirigé. Nous en avons déduit une nouvelle caractérisation des termes de mise en mémoire et obtenu des nombreux résultats très fins à leur sujet. En ce qui concerne le typage des opérateurs de mise en mémoire, Krivine a trouvé une formule du second ordre, utilisant la non-non traduction de Gödel de la logique classique dans la logique intuitionniste, qui caractérise ces opérateurs. Je me suis attaché à diverses généralisations du résultat de Krivine pour les types à quantificateur positif dans des extensions de la logique des prédicats du second ordre.<br /><br />J'ai poursuivi, après ma thèse, une activité de recherche sur l'extension de la correspondance de Curry-Howard à la logique classique, au moyen des instructions de contrôle. J'ai étudié des problèmes liés aux types de données dans deux de ces systèmes : le $\lambda \mu$-calcul de Parigot et le $\lambda C$-calcul de Krivine. J'ai donné des algorithmes très simples permettant de calculer la valeur d'un entier classique dans ces deux systèmes. J'ai également caractérisé les termes dont le type est l'une des règles de l'absurde. J'ai étendu le système de Parigot pour en obtenir une version non déterministe mais où les entiers se réduisent toujours en entiers de Church. Curieusement, ce système permet de programmer la fonction ``ou parallèle''.<br /><br />Je me suis intéressé aux systèmes numériques qui servent à représenter les entiers naturels au sein du $\lambda$-calcul. J'ai montré que pour un tel système, la possession d'un successeur, d'un prédécesseur et d'un test à zéro sont des propriétés indépendantes, puis qu'un système ayant ces trois fonctions possède toujours un opérateur de mise en mémoire. Dans un cadre typé, j'ai apporté une réponse négative à une conjecture de Tronci qui énonçait une réciproque du résultat précédent.<br /><br />La notion de mise en mémoire ne s'applique qu'à des types de données. Une définition syntaxique a été donné par Böhm et Berarducci, et Krivine a proposé une définition sémantique de ces types. J'ai obtenu avec Farkh des résultats reliant la syntaxe et la sémantique des types de données. Nous avons proposé également des définitions des types entrée et des types sortie pour lesquelles nous avons montré diverses propriétés syntaxiques et sémantiques.<br /><br />J'ai réussi à combiner la logique intuitionniste et la logique classique en une logique mixte. Dans cette logique, on distingue deux genres de variables du second ordre, suivant que l'on peut, ou non, leur appliquer le raisonnement par l'absurde. Ce cadre m'a permi de donner le type le plus général pour les opérateurs de mise en mémoire. Vu le rôle important que cette logique semble devoir jouer dans la théorie de ces opérateurs, j'en ai mené avec A. Nour une étude théorique approfondie. Le système de logique mixte propositionnelle auquelle nous avons abouti évoque les sytèmes $LC$ de Girard et $LK^{tq}$ de Danos, Joinet et Schellinx.<br /><br />Je me suis intéressé avec David à l'équivalence induite par l'égalité entre les arbres de Böhm infiniment $\eta$-expansés. Avec Raffalli, je me suis également intéressé à la sémantique de la logique du second ordre.