Ces travaux de thèse portent sur l'accélération de calculs de la cryptographie sur courbes elliptiques (ECC) grâce à une représentation peu habituelle des nombres, appelée représentation modulaire des nombres (ou RNS pour residue number system). Après un état de l'art de l'utilisation du RNS en cryptographie, plusieurs nouveaux algorithmes RNS, plus rapides que ceux de l'état de l'art, sont présentés. Premièrement, nous avons proposé un nouvel algorithme d'inversion modulaire en RNS. Les performances de notre algorithme ont été validées via une implantation FPGA, résultant en une inversion modulaire 5 à 12 fois plus rapide que l'état de l'art, pour les paramètres cryptographiques testés. Deuxièmement, un algorithme de multiplication modulaire RNS a été proposé. Cet algorithme décompose les valeurs en entrée et les calculs, afin de pouvoir réutiliser certaines parties lorsque c'est possible, par exemple lors du calcul d'un carré. Il permet de réduire de près de 25 % le nombre de pré-calculs à stocker et jusqu'à 10 % le nombre de multiplications élémentaires pour certaines applications cryptographiques (p. ex. le logarithme discret). Un algorithme d'exponentiation reprenant les mêmes idées est aussi présenté, réduisant le nombre de multiplications élémentaires de 15 à 22 %, contre un surcoût en pré-calculs à stocker. Troisièmement, un autre algorithme de multiplication modulaire RNS est proposé, ne nécessitant qu'une seule base RNS au lieu de 2 pour l'état de l'art, et utilisable uniquement dans le cadre ECC. Cet algorithme permet, pour certains corps bien spécifiques, de diviser par 2 le nombre de multiplications élémentaires et par 4 les pré-calculs à stocker. Les premiers résultats FPGA donnent des implantations de notre algorithme jusqu'à 2 fois plus petites que celles de l'algorithme de l'état de l'art, pour un surcoût en temps d'au plus 10 %. Finalement, une méthode permettant des tests de divisibilités multiples rapides est proposée, pouvant être utilisée en matériel pour un recodage de scalaire, accélérant certains calculs pour ECC. / The main objective of this PhD thesis is to speedup elliptic curve cryptography (ECC) computations, using the residue number system (RNS). A state-of-art of RNS for cryptographic computations is presented. Then, several new RNS algorithms, faster than state-of-art ones, are proposed. First, a new RNS modular inversion algorithm is presented. This algorithm leads to implementations from 5 to 12 times faster than state-of-art ones, for the standard cryptographic parameters evaluated. Second, a new algorithm for RNS modular multiplication is proposed. In this algorithm, computations are split into independant parts, which can be reused in some computations when operands are reused, for instance to perform a square. It reduces the number of precomputations by 25 % and the number of elementary multiplications up to 10 %, for some cryptographic applications (for example with the discrete logarithm). Using the same idea, an exponentiation algorithm is also proposed. It reduces from 15 % to 22 % the number of elementary multiplications, but requires more precomputations than state-of-art. Third, another modular multiplication algorithm is presented, requiring only one RNS base, instead of 2 for the state-of-art. This algorithm can be used for ECC and well-chosen fields, it divides by 2 the number of elementary multiplications, and by 4 the number of precomputations to store. Partial FPGA implementations of our algorithm halves the area, for a computation time overhead of, at worse, 10 %, compared to state-of-art algorithms. Finally, a method for fast multiple divisibility tests is presented, which can be used in hardware for scalar recoding to accelerate some ECC computations.

Les protocoles de cryptographie asymétrique nécessitent des calculs arithmétiques dans différentes structures mathématiques de grandes tailles. Pour garantir une sécurité suffisante, ces tailles varient de plusieurs centaines à plusieurs milliers de bits et rendent les opérations arithmétiques coûteuses en temps de calcul. D'autre part, les architectures grand public actuelles embarquent plusieurs unités de calcul, réparties sur les processeurs et éventuellement sur les cartes graphiques. Ces ressources sont aujourd'hui facilement exploitables grâce à des interfaces de programmation parallèle comme OpenMP ou CUDA. Dans cette thèse, nous étudions la parallélisation d'opérateurs à différents niveaux arithmétique. Nous nous intéressons plus particulièrement à la multiplication entre entiers multiprécision ; à la multiplication modulaire ; et enfin à la multiplication scalaire sur les courbes elliptiques.Dans chacun des cas, nous étudions différents ordonnancements des calculs permettant d'obtenir les meilleures performances. Nous proposons également une bibliothèque permettant la parallélisation sur processeur graphique d'instances d'opérations modulaires et d'opérations sur les courbes elliptiques. Enfin, nous proposons une méthode d'optimisation automatique de la multiplication scalaire sur les courbes elliptiques pour de petits scalaires permettant l'élimination des sous-expressions communes apparaissant dans la formule et l'application systématique de transformations arithmétiques. / Asymmetric cryptography requires some computations in large size finite mathematical structures. To insure the required security, these sizes range from several hundred to several thousand of bits. Mathematical operations are thus expansive in terms of computation time. Otherwise, current architectures have several computing units, which are distribued over the processors and GPU and easily implementable using dedicated languages as OpenMP or CUDA. In this dissertation, we investigate the parallelization of some operators for different arithmetical levels.In particular, our research focuse on parallel multiprecision and modular multiplications, and the parallelization of scalar multiplication over elliptic curves. We also propose a library to parallelize modular operations and elliptic curves operations. Finally, we present a method which allow to optimize scalar elliptic curve multiplication for small scalars.

Les protocoles de cryptographie asymétrique nécessitent des calculs arithmétiques dans différentes structures mathématiques. Un grand nombre de ces protocoles requièrent en particulier des calculs dans des structures finies, rendant indispensable une arithmétique modulaire efficace. Ces opérations modulaires sont composées d'opérations multiprécision entre opérandes de tailles suffisamment grandes pour garantir le niveau de sécurité requis (de plusieurs centaines à plusieurs milliers de bits). Enfin, certains protocoles nécessitent des opérations arithmétiques dans le groupe des points d'une courbe elliptique, opérations elles-mêmes composées d'opérations dans le corps de définition de la courbe. Les tailles de clés utilisées par les protocoles rendent ainsi les opérations arithmétiques coûteuses en temps de calcul. Par ailleurs, les architectures grand public actuelles embarquent plusieurs unités de calcul, réparties sur les processeurs et éventuellement sur les cartes graphiques. Ces ressources sont aujourd'hui facilement exploitables grâce à des interfaces de programmation parallèle comme OpenMP ou CUDA. Cette thèse s'articule autour de la définition d'opérateurs arithmétiques parallèles permettant de tirer parti de l'ensemble des ressources de calcul, en particulier sur des architectures multicœur à mémoire partagée. La parallélisation au niveau arithmétique le plus bas permet des gains modérés en termes temps de calcul, car les tailles des opérandes ne sont pas suffisamment importantes pour que l'intensité arithmétique des calculs masque les latences dues au parallélisme. Nous proposons donc des algorithmes permettant une parallélisation aux niveaux arithmétiques supérieurs : algorithmes parallèles pour la multiplication modulaire et pour la multiplication scalaire sur les courbes elliptiques. Pour la multiplication modulaire, nous étudions en particulier plusieurs ordonnancements des calculs au niveau de l'arithmétique modulaire et proposons également une parallélisation à deux niveaux : modulaire et multiprécision. Ce parallélisme à plus gros grain permet en pratique des gains plus conséquents en temps de calcul. Nous proposons également une parallélisation sur processeur graphique d'opérations modulaires et d'opérations dans le groupe des points d'une courbe elliptique. Enfin, nous présentons une méthode pour optimiser la multiplication scalaire sur les courbes elliptiques pour de petits scalaires.