Dentre todos os sistemas dinâmicos os sistemas Anosov têm atraído a atenção de muitos matemáticos. No caso de fluxo Anosov em uma variedade fechada M de dimensão três, Sérgio Fenley definiu o conceito de losangos no recobrimento universal de M e obteve resultados importantes envolvendo losangos e automorfismos do recobrimento universal. Seguindo o que foi feito por Fenley, e utilizando o conceito de losangos no espaço das órbitas do fluxo levantado (no recobrimento universal), Thierry Barbot obteve condições suficientes para que um toro incompressível numa 3-variedade fechada suportando um fluxo Anosov seja isotópico a um outro que é transverso ao fluxo. Neste trabalho consideramos ações Anosov de \'R POT. k\' sobre uma variedade fechada M de dimensão k + 2. Primeiramente, conseguimos resultados análogos aos de Fenley (sobre existência de losangos) para estas ações, e usando isso, finalmente obtemos condições suficientes para que um toro incompressível seja isotópico a um toro transverso à ação. Este último resultado é uma generalização de Barbot mencionado acima / Among all dynamical systems the Anosov systems has attracted the attention of many mathematicians. In the case of an Anosov flow in a closed manifold M of dimension three, Sérgio Fenley defined the concept of lozenges in the universal covering of M and obtained important results involving lozenges and covering automorphism. Following what was made by Fenley, and using the concept of lozenge on the orbit space of the lifted flow (in the universal covering). Thierry Barbot obtains sufficient conditions for an incompressible torus in a closed 3-manifold supporting an Anosov flow to be isotopic to another which is transverse to flow. If this work we considered Anosov of \'R POT. k\' on a closed manifold M of dimension k + 2. First, we obtain analogous results those of Fenley (about existence of lozenges) for this actions, and using this, finally we obtain sufficient conditions for an incompressible torus to be isotopic to another torus which is transverse to action. This last result is a generalization of Barbot\'s result mentioned above

In this dissertation, we introduce three techniques for network sciences. The first of these techniques is a series of new models for describing network growth. These models, called network specialization models, are built with the idea that networks grow by specializing the function of subnetworks. Using these models we create theoretical networks which exhibit well-known properties of real networks. We also demonstrate how the spectral properties are preserved as the models grow. The second technique we describe is a method for decomposing networks that contain automorphisms in a way that preserves the spectrum of the original graph. This method for graph (or equivalently matrix) decomposition is called an equitable decomposition. Previously this method could only be used for particular classes of automorphisms, but in this dissertation we have extended this theory to work for every automorphism. Further we explain a number of applications which use equitable decompositions. The third technique we describe is a generalization of network symmetry, called latent symmetry. We give numerous examples of networks which contain latent symmetries and also prove some properties about them

Let $k$ be a field and $B$ a finite-dimensional, associative, unital $k$-algebra. For each $1 \le d \le \dim_kB$, let $\operatorname{AlgGr}_d(B)$ denote the projective variety of $d$-dimensional subalgebras of $B$, and let $\operatorname{Aut}_k(B)$ denote the automorphism group of $B$. In this thesis, we are primarily concerned with understanding the relationship between $\operatorname{AlgGr}_d(B)$, the representation theory of $B$, and the representation theory of $\operatorname{Aut}_k(B)$. We begin by proving fundamental structure theorems for the maximal subalgebras of $B$. We show that maximal subalgebras of $B$ come in two flavors, which we call split type and separable type. As a consequence, we provide complete classifications for maximal subalgebras of semisimple algebras and basic algebras. We also demonstrate that the maximality of $A$ in $B$ is related to the representation theory of $B$, through the separability of functors closely associated with the extension $A \subset B$. The rest of this document showcases applications of these results. For $k = \bar{k}$, we compute the maximal dimension of a proper subalgebra of $B$. We discuss the problem of computing the minimal number of generators for $B$ (as an algebra), and provide upper and lower bounds for basic algebras. We then study $\operatorname{AlgGr}_d(B)$ in detail, again when $B$ is basic. When $d = \dim_kB-1$, we find a projective embedding of $\operatorname{AlgGr}_d(B)$, and explicitly describe its associated homogeneous vanishing ideal. In turn, we provide a simple description of its irreducible components. We find equivalent conditions for this variety to be a finite union of $\operatorname{Aut}_k(B)$-orbits, and describe several classes of algebras which satisfy these conditions. Furthermore, we provide an algebraic description for the orbits of connected maximal subalgebras of type-$\mathbb{A}$ path algebras. Finally, we study the fixed-point variety $\operatorname{AlgGr}_d(B)^{\operatorname{Aut}_k(B)}$ (for general $d$), which connects naturally to the representation theory of $\operatorname{Aut}_k(B)$. We investigate the case where $B$ is a truncated path algebra over $\mathbb{C}$ in detail.

Cette thèse est consacrée à l'étude du groupe d'automorphismes de groupes agissant sur des arbres d'une part, et du rang des groupes de Coxeter d'autre part. Via la théorie de Bass-Serre, un groupe agissant sur un arbre est doté d'une structure algébrique particulière, généralisant produits amalgamés et extensions HNN. Le groupe est en fait déterminé par certaines données combinatoires découlant de cette action, appelées graphes de groupes. Un cas particulier de cette situation est celle d'un produit libre. Une présentation du groupe d'automorphisme d'un produit libre d'un nombre fini de groupes librement indécomposables en termes de présentation des facteurs et de leurs groupes d'automorphismes a été donnée par Fouxe-Rabinovich. Il découle de son travail que si les facteurs et leurs groupes d'automorphismes sont de présentation finie, alors le groupe d'automorphisme du produit libre est de présentation finie. Une première partie de cette thèse donne une nouvelle preuve de ce résultat, se basant sur le langage des actions de groupes sur les arbres. Un groupe accessible est un groupe de type fini déterminé par un graphe de groupe fini dont les groupes d'arêtes sont finis et les groupes de sommets ont au plus un bout, c'est-à-dire qu'ils ne se décomposent pas en produit amalgamé ni en extension HNN sur un groupe fini. L'étude du groupe d'automorphisme d'un groupe accessible est ramenée à l'étude de groupes d'automorphismes de produits libres, de groupes de twists de Dehn et de groupes d'automorphismes relatifs des groupes de sommets. En particulier, on déduit un critère naturel pour que le groupe d'automorphismes d'un groupe accessible soit de présentation finie, et on donne une caractérisation des groupes accessibles dont le groupe d'automorphisme externe est fini. Appliqués aux groupes hyperboliques de Gromov, ces résultats permettent d'affirmer que le groupe d'automorphismes d'un groupe hyperbolique est de présentation finie, et donnent une caractérisation précise des groupes hyperboliques dont le groupe d'automorphisme externe est fini. Enfin, on étudie le rang des groupes de Coxeter, c'est-à-dire le cardinal minimal d'un ensemble générateur pour un groupe de Coxeter donné. Plus précisément, on montre que si les composantes de la matrice de Coxeter déterminant un groupe de Coxeter sont suffisamment grandes, alors l'ensemble générateur standard est de cardinal minimal parmi tous les ensembles générateurs.