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Cette thèse est consacrée à l'étude du groupe d'automorphismes de groupes agissant sur des arbres d'une part, et du rang des groupes de Coxeter d'autre part. Via la théorie de Bass-Serre, un groupe agissant sur un arbre est doté d'une structure algébrique particulière, généralisant produits amalgamés et extensions HNN. Le groupe est en fait déterminé par certaines données combinatoires découlant de cette action, appelées graphes de groupes. Un cas particulier de cette situation est celle d'un produit libre. Une présentation du groupe d'automorphisme d'un produit libre d'un nombre fini de groupes librement indécomposables en termes de présentation des facteurs et de leurs groupes d'automorphismes a été donnée par Fouxe-Rabinovich. Il découle de son travail que si les facteurs et leurs groupes d'automorphismes sont de présentation finie, alors le groupe d'automorphisme du produit libre est de présentation finie. Une première partie de cette thèse donne une nouvelle preuve de ce résultat, se basant sur le langage des actions de groupes sur les arbres. Un groupe accessible est un groupe de type fini déterminé par un graphe de groupe fini dont les groupes d'arêtes sont finis et les groupes de sommets ont au plus un bout, c'est-à-dire qu'ils ne se décomposent pas en produit amalgamé ni en extension HNN sur un groupe fini. L'étude du groupe d'automorphisme d'un groupe accessible est ramenée à l'étude de groupes d'automorphismes de produits libres, de groupes de twists de Dehn et de groupes d'automorphismes relatifs des groupes de sommets. En particulier, on déduit un critère naturel pour que le groupe d'automorphismes d'un groupe accessible soit de présentation finie, et on donne une caractérisation des groupes accessibles dont le groupe d'automorphisme externe est fini. Appliqués aux groupes hyperboliques de Gromov, ces résultats permettent d'affirmer que le groupe d'automorphismes d'un groupe hyperbolique est de présentation finie, et donnent une caractérisation précise des groupes hyperboliques dont le groupe d'automorphisme externe est fini. Enfin, on étudie le rang des groupes de Coxeter, c'est-à-dire le cardinal minimal d'un ensemble générateur pour un groupe de Coxeter donné. Plus précisément, on montre que si les composantes de la matrice de Coxeter déterminant un groupe de Coxeter sont suffisamment grandes, alors l'ensemble générateur standard est de cardinal minimal parmi tous les ensembles générateurs.

Coxeter group, named after H.S.M. Coxeter, is an abstract group that admits a formal description in terms of mirror symmetries. It turns out that the finite Coxeter groups are precisely the finite Euclidean reflection groups. Coxeter studied these groups and classified all finite ones in 1935, however they were known as reflection groups until J. Tits coined the term Coxeter groups for them in the sixties. Finite crystallographic Coxeter groups, also known as finite Weyl groups, play a prominent role in many branches of mathematics like combinatorics, Lie theory, number theory, and geometry. The computational aspects of these groups are of great interests and play a very important role in representation theory. Since it’s enough to study only the irreducible class of groups in order to understand any Coxeter group, we discuss irreducible crystallographic Coxeter groups here. Our goal is to try to deal with some of the fundamental computational problems that arise in working with the structures such as Weyl groups, root system, Weyl characters. For the classical cases, especially type A, many of these problems are not very subtle and have been solved completely. However, these solutions often do not generalize. In this report, our emphasis is on algorithms which do not really depend on the classifications of root systems. The canonical example, we always keep in mind is E8. In chapter 1, we fix the notations and give some basic results which have been used in this report. In chapter 2, we explain algorithms to various Weyl group problems like membership problem; how to find the length of an element; how to check if two words in a Weyl group represent the same element or not; finding the coset representative for an element for a given parabolic subgroup; and list all the expressions possible for an element. In chapter 3, the main goal is to write an algorithm to compute the weight multiplicities of the irreducible representations using Freudenthal’s formula. For this, we first compute the positive roots and dominant weights for a given root system and then finally find the weight multiplicities. We argue this mathematically using the results given in chapter 1. The crystallographic hypothesis is unnecessary for much of what is discussed in chapter 2. In the last chapter, we give codes of the computer programs written in C++ which implement the algorithms described in the previous chapters in this report.

[pt] A álgebra de Clifford é uma álgebra associativa que pode ser realizada matricialmente. O grupo Spin é uma superfície contida na álgebra de Clifford e fechada por multiplicação. Estudamos os geradores de tal grupo, assim como do grupo finito gerado pelos elementos agúdos e o grupo Quat, ambos grupos de matrizes e subconjuntos do grupo Spin. Uma permutação no grupo de permutações, pode ser expressa como uma palavra reduzida, por meio de geradores de Coxeter. Os mapas acute e grave nos fornecem elementos no grupo finito, já mencionado, gerado pelos elementos agúdos, a partir das palavras reduzidas de uma permutação. Um elemento da álgebra de Clifford pode ser escrito como uma combinação linear de elementos do grupo Quat, onde o coeficiente independente é conhecido como parte real. Estudamos resultados que relacionam as características de uma permutação no grupo de permutações, com o elemento a ela relacionado na álgebra de Clifford. / [en] The Clifford algebra is an associative algebra that can be constructed as an algebra of matrices. The group Spin is a surface contained in the Clifford algebra and closed by multiplication. We studied the generators of such group, as well as of the finite group contained in Spin and generated by the acute elements and the group Quat, both matrix groups and subsets of Spin. A permutation in the permutation group, can be expressed as a reduced word, using transpositions to define the family of Coxeter generators. The acute and grave maps provide us with elements in the finite group, already mentioned, generated by the acute elements, based on the reduced words of a permutation. An element of Clifford algebra can be written as a linear combination of elements in Quat, where the independent coefficient is known as the real part. We studied results that relate the characteristics of a permutation in the permutation group, with the element related to it in the Clifford algebra.

Cette thèse se divise en deux grandes parties, la première traite la combinatoire associée à l’ordre normal des opérateurs non-commutatifs et la seconde aborde des distributions symétriques du nombre de croisements et du nombre d’emboîtements, respectivement k-croisements et k-emboîtements, dans des structures combinatoires (partitions, permutations, permutations colorées, …). La première partie étudie l’ordre normal des opérateurs en termes de placements de tours. Nous étudions la forme de l’ordre normal en connectant deux opérateurs non-commutatifs D et U, et des polynômes orthogonaux spéciaux, et établissons des bijonctions entre les coefficients de (D+U)n et le nombre de placements de tours sur un diagramme de Ferrers. Nous donnons également des preuves combinatoires à des conjectures quantiques posées par des physiciens. Dans la seconde partie, nous définissons des statistiques, comme emboîtements et k-emboîtements, sur l’ensemble des permutations du groupe de Coxeter de type B. Nous donnons également des extensions au type B des résultats sur les croisements et les emboîtements, respectivement k-croisements et k-emboîtements dans les permutations de type A, en termes de distributions symétriques. De plus, nous étudions le lien entre les opérateurs non-commutatifs et ces statistiques. D’autres extensions de la distribution de ces statistiques sur les ensembles de partitions colorées et de permutations colorées de types A et B sont ainsi établies / This thesis is divided into two parts, the first deals with the combinatorics associated to the normal ordering form of noncommutative operators and the second addresses the symmetric distributions of the crossing numbers and nesting numbers, respectively k-crossings and k-nestings, in combinatorial structures (partitions, permutations, colored permutations, …). The first part studies the normal order of operators in terms of rook placements. We study the normal ordering form connecting two noncommutative operators D and U, and some special orthogonal polynomials, and establish bijonctions between coefficients of (D+U)n and rook placements in Ferrers diagrams. We also give combinatorial proofs and alternatives to some quantum conjectures posed by physicists. In the second part, we define the notions of statistics, nestings and k-nestings, on the sets of permutations of the Coxeter group of type B. We also give extensions to type B of the results of the crossings and nestings, respectivelu k-crossings and K-nestings in the set of permutations of type A, in terms of symmetric distributions. Likewise, we study the link between non-commutative operators and these statistics. Other extensions of the distribution of these statistics on the sets of colored partitions and colored permutations of type A and B are established

Cette thèse porte sur l'étude de la combinatoire énumérative, plus particulièrement autour des partitions d'entiers et des groupes de Coxeter. Dans une première partie, à l'instar de Han et de Nekrasov-Okounkov, nous étudions des développements combinatoires des puissances de la fonction êta de Dedekind, en termes de longueurs d'équerres de partitions d'entiers. Notre approche, bijective, utilise notamment les identités de Macdonald en types affines (en particulier le type C), généralisant l'approche de Han en type A. Nous étendons ensuite avec de nouveaux paramètres ces développements, grâce à de nouvelles propriétés de la décomposition de Littlewood vis-à-vis des partitions et statistiques considérées. Cela nous permet de déduire des formules des équerres symplectiques, ainsi qu'une connexion avec la théorie des représentations. Dans une seconde partie, nous étudions les éléments cycliquement pleinement commutatifs dans les groupes de Coxeter introduits par Boothby et al., qui forment une sous famille des éléments pleinement commutatifs. Nous commençons par développer une construction, la clôture cylindrique, donnant un cadre théorique qui est aux éléments CPC ce que les empilements de Viennot sont aux éléments PC. Nous donnons une caractérisation des éléments CPC en terme de clôtures cylindriques pour n'importe quel système de Coxeter. Celle-ci nous permet de déterminer en termes d'expressions réduites les éléments CPC dans tous les groupes de Coxeter finis ou affines, et d'en déduire dans tous ces groupes l'énumération de ces éléments. En utilisant la théorie des automates finis, nous montrons aussi que la série génératrice de ces éléments est une fraction rationnelle / This thesis focuses on enumerative combinatorics, particularly on integer partitions and Coxeter groups. In the first part, like Han and Nekrasov-Okounkov, we study the combinatorial expansion of power of the Dedekind's eta function, in terms of hook lengths of integer partitions. Our approach, bijective, use the Macdonald identities in affine types, generalizing the study of Han in the case of type A. We extend with new parameters the expansions that we obtained through new properties of the Littlewood decomposition. This enables us to deduce symplectic hook length formulas and a connexion with representation theory. In the second part, we study the cyclically fully commutative elements in Coxeter groups, introduced by Boothby et al., which are a sub family of the fully commutative elements. We start by introducing a new construction, the cylindrical closure, which give a theoretical framework for the CPC elements analogous to the Viennot's heaps for fully commutative elements. We give a characterization of CPC elements in terms of cylindrical closures in any Coxeter groups. This allows to deduce a characterization of these elements in terms of reduced decompositions in all finite and affine Coxeter and their enumerations in those groups. By using the theory of finite state automata, we show that the generating function of these elements is always rational, in all Coxeter groups

Cette thèse est consacrée à l'étude du groupe d'automorphismes de groupes agissant sur des arbres d'une part, et du rang des groupes de Coxeter d'autre part.<p><p>Via la théorie de Bass-Serre, un groupe agissant sur un arbre est doté d'une structure algébrique particulière, généralisant produits amalgamés et extensions HNN. Le groupe est en fait déterminé par certaines données combinatoires découlant de cette action, appelées graphes de groupes. <p><p>Un cas particulier de cette situation est celle d'un produit libre. Une présentation du groupe d'automorphisme d'un produit libre d'un nombre fini de groupes librement indécomposables en termes de présentation des facteurs et de leurs groupes d'automorphismes a été donnée par Fouxe-Rabinovich. Il découle de son travail que si les facteurs et leurs groupes d'automorphismes sont de présentation finie, alors le groupe d'automorphisme du produit libre est de présentation finie. Une première partie de cette thèse donne une nouvelle preuve de ce résultat, se basant sur le langage des actions de groupes sur les arbres.<p><p>Un groupe accessible est un groupe de type fini déterminé par un graphe de groupe fini dont les groupes d'arêtes sont finis et les groupes de sommets ont au plus un bout, c'est-à-dire qu'ils ne se décomposent pas en produit amalgamé ni en extension HNN sur un groupe fini. L'étude du groupe d'automorphisme d'un groupe accessible est ramenée à l'étude de groupes d'automorphismes de produits libres, de groupes de twists de Dehn et de groupes d'automorphismes relatifs des groupes de sommets. En particulier, on déduit un critère naturel pour que le groupe d'automorphismes d'un groupe accessible soit de présentation finie, et on donne une caractérisation des groupes accessibles dont le groupe d'automorphisme externe est fini. Appliqués aux groupes hyperboliques de Gromov, ces résultats permettent d'affirmer que le groupe d'automorphismes d'un groupe hyperbolique est de présentation finie, et donnent une caractérisation précise des groupes hyperboliques dont le groupe d'automorphisme externe est fini.<p><p>Enfin, on étudie le rang des groupes de Coxeter, c'est-à-dire le cardinal minimal d'un ensemble générateur pour un groupe de Coxeter donné. Plus précisément, on montre que si les composantes de la matrice de Coxeter déterminant un groupe de Coxeter sont suffisamment grandes, alors l'ensemble générateur standard est de cardinal minimal parmi tous les ensembles générateurs. / Doctorat en Sciences / info:eu-repo/semantics/nonPublished

Le but de cette thèse est d’étudier les structures obtenues à partir des groupes de réflexion finis. Ce travail consiste en quatre articles publiés, un article soumis et un article en préparation dont les résultats partiels constituent un chapitre de cette thèse. Dans le premier article, nous présentons une réduction des orbites des groupes de Coxeter finis vers leurs sous-groupes. Nous utilisons des matrices de projection, c’est-à-dire, des applications qui transforment les racines simples d’un groupe de réflexion en les racines simples du sous-groupe associé. Les résultats présentés dans ce papier se concentrent sur les groupes finis de réflexion non crystallographiques. De plus, nous utilisons les polytopes engendrés par le groupe non crystallographique H3 pour illustrer les lois de ramification (branching rules), c’est-à-dire une réduction des orbites des groupes finis de Coxeter. Dans le deuxième article, nous étudions les polytopes avec 60 sommets engendrés par le groupe non crystallographique H3. Nous utilisons la méthode de décoration des diagrammes de Coxeter–Dynkin pour décrire leurs structures en détails et décomposer les sommets en somme des orbits de symétries de dimension inférieure. Le troisième article compare deux notations utilisées pour décrire le polyèdre engendré par le groupe de réflexion. Il s’agit du symbole de Schläfli et de la notation des points dominants. Nous y présentons les avantages de chaque méthode, expliquons les deux approches et nous les illustrons par des exemples. Dans le quatrième article, nous nous concentrons sur le graphène, c’est-à-dire un pavement d’hexagones sur le plan, qui possède de remarquables propriétés quand les sommets sont modélisés par des atomes de carbone. Dans ce travail, nous présentons différentes méthodes pour obtenir du graphène à partir de réseaux (lattices) et des orbites de dimension 3 des groupes finis de réflexion. De plus, une technique de coloriage des hexagones au moyen d’un nombre fini de couleurs est donnée avec une méthode systématique pour raffiner le graphène. Dans le cinquième article, nous utilisons des v fonctions spéciales et les transformations de Fourier pour traiter les données échantillonnées sur un réseau de carrés du groupe de Lie SU(2)×SU(2), relié au groupe de symétrie A1×A1. / The goal of this thesis is to study structures obtained from finite reflection groups. The work is contained in four published papers, one submitted article and a research paper currently in preparation, with partial results presented as a chapter of this thesis. In the first article, we present a reduction of the orbits of finite Coxeter groups to their subgroups. We use projection matrices, that is, mappings that transform the simple roots of a reflection group to the simple roots of the appropriate subgroup. The results presented in this paper focus on non-crystallographic finite reflection groups. Moreover, we use polytopes generated by the non-crystallographic group H3 to illustrate the obtained branching rules, i.e., reductions of orbits of the finite Coxeter groups. In the second article, we study polytopes with 60 vertices, generated by the non-crystallographic group H3. We use a method of decoration of the Coxeter–Dynkin diagram to describe their structure in detail, and decompose their vertices into sums of orbits of lower-dimensional symmetries. The third article compares two notations used to describe polyhedra generated by reflection groups, namely the Schläfli symbol, and the dominant point notation. Here, we present the advantages of each method, we explain the two approaches, and we illustrate them through examples. In the fourth article, we focus on graphene, i.e., a hexagonal tiling of the plane that possesses remarkable properties when the vertices are modelled with carbon atoms. In this work, we present different methods to obtain graphene from lattices and three-dimensional orbits of finite reflection groups. Moreover, a technique to colour the hexagons by a finite number of colours is provided, along with a systematic method to refine the graphene. In the fifth article, we use special functions and Fourier transforms to process data sampled on a square lattice of the Lie group SU(2) × SU(2), related to the A1 × A1 symmetry group.

Cette thèse présente une étude des applications des groupes de réflexion finis aux problems liés aux réseaux bidimensionnels et aux polytopes tridimensionnels. Plusieurs familles de fonctions orbitales, appelées fonctions orbitales de Weyl, sont associées aux groupes de réflexion cristallographique. Les propriétés exceptionnelles de ces fonctions, telles que l’orthogonalité continue et discrète, permettent une analyse de type Fourier sur le domaine fondamental d’un groupe de Weyl affine correspondant. Dans cette considération, les fonctions d’orbite de Weyl constituent des outils efficaces pour les transformées discrètes de type Fourier correspondantes connues sous le nom de transformées de Fourier–Weyl. Cette recherche limite notre attention aux fonctions d’orbite de Weyl symétriques et antisymétriques à deux variables du groupe de réflexion cristallographique A2. L’objectif principal est de décomposer deux types de transformations de Fourier–Weyl du réseau de poids correspondant en transformées plus petites en utilisant la technique de division centrale. Pour les cas non cristallographiques, nous définissons les indices de degré pair et impair pour les orbites des groupes de réflexion non cristallographique avec une symétrie quintuple en utilisant un remplacement de représentation-orbite. De plus, nous formulons l’algorithme qui permet de déterminer les structures de polytopes imbriquées. Par ailleurs, compte tenu de la pertinence de la symétrie icosaédrique pour la description de diverses molécules sphériques et virus, nous étudions la brisure de symétrie des polytopes doubles de type non cristallographique et des structures tubulaires associées. De plus, nous appliquons une procédure de stellation à la famille des polytopes considérés. Puisque cette recherche se concentre en partie sur les fullerènes icosaédriques, nous présentons la construction des nanotubes de carbone correspondants. De plus, l’approche considérée pour les cas non cristallographiques est appliquée aux structures cristallographiques. Nous considérons un mécanisme de brisure de symétrie appliqué aux polytopes obtenus en utilisant les groupes Weyl tridimensionnels pour déterminer leurs extensions structurelles possibles en nanotubes. / This thesis presents a study of applications of finite reflection groups to the problems related to two-dimensional lattices and three-dimensional polytopes. Several families of orbit functions, known as Weyl orbit functions, are associated with the crystallographic reflection groups. The exceptional properties of these functions, such as continuous and discrete orthogonality, permit Fourier-like analysis on the fundamental domain of a corresponding affine Weyl group. In this consideration, Weyl orbit functions constitute efficient tools for corresponding Fourier-like discrete transforms known as Fourier–Weyl transforms. This research restricts our attention to the two-variable symmetric and antisymmetric Weyl orbit functions of the crystallographic reflection group A2. The main goal is to decompose two types of the corresponding weight lattice Fourier–Weyl transforms into smaller transforms using the central splitting technique. For the non-crystallographic cases, we define the even- and odd-degree indices for orbits of the non-crystallographic reflection groups with 5-fold symmetry by using a representation-orbit replacement. Besides, we formulate the algorithm that allows determining the structures of nested polytopes. Moreover, in light of the relevance of the icosahedral symmetry to the description of various spherical molecules and viruses, we study symmetry breaking of the dual polytopes of non-crystallographic type and related tube-like structures. As well, we apply a stellation procedure to the family of considered polytopes. Since this research partly focuses on the icosahedral fullerenes, we present the construction of the corresponding carbon nanotubes. Furthermore, the approach considered for the non-crystallographic cases is applied to crystallographic structures. We consider a symmetry-breaking mechanism applied to the polytopes obtained using the three-dimensional Weyl groups to determine their possible structural extensions into nanotubes.