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[pt] A álgebra de Clifford é uma álgebra associativa que pode ser realizada matricialmente. O grupo Spin é uma superfície contida na álgebra de Clifford e fechada por multiplicação. Estudamos os geradores de tal grupo, assim como do grupo finito gerado pelos elementos agúdos e o grupo Quat, ambos grupos de matrizes e subconjuntos do grupo Spin. Uma permutação no grupo de permutações, pode ser expressa como uma palavra reduzida, por meio de geradores de Coxeter. Os mapas acute e grave nos fornecem elementos no grupo finito, já mencionado, gerado pelos elementos agúdos, a partir das palavras reduzidas de uma permutação. Um elemento da álgebra de Clifford pode ser escrito como uma combinação linear de elementos do grupo Quat, onde o coeficiente independente é conhecido como parte real. Estudamos resultados que relacionam as características de uma permutação no grupo de permutações, com o elemento a ela relacionado na álgebra de Clifford. / [en] The Clifford algebra is an associative algebra that can be constructed as an algebra of matrices. The group Spin is a surface contained in the Clifford algebra and closed by multiplication. We studied the generators of such group, as well as of the finite group contained in Spin and generated by the acute elements and the group Quat, both matrix groups and subsets of Spin. A permutation in the permutation group, can be expressed as a reduced word, using transpositions to define the family of Coxeter generators. The acute and grave maps provide us with elements in the finite group, already mentioned, generated by the acute elements, based on the reduced words of a permutation. An element of Clifford algebra can be written as a linear combination of elements in Quat, where the independent coefficient is known as the real part. We studied results that relate the characteristics of a permutation in the permutation group, with the element related to it in the Clifford algebra.

Cette thèse se divise en deux grandes parties, la première traite la combinatoire associée à l’ordre normal des opérateurs non-commutatifs et la seconde aborde des distributions symétriques du nombre de croisements et du nombre d’emboîtements, respectivement k-croisements et k-emboîtements, dans des structures combinatoires (partitions, permutations, permutations colorées, …). La première partie étudie l’ordre normal des opérateurs en termes de placements de tours. Nous étudions la forme de l’ordre normal en connectant deux opérateurs non-commutatifs D et U, et des polynômes orthogonaux spéciaux, et établissons des bijonctions entre les coefficients de (D+U)n et le nombre de placements de tours sur un diagramme de Ferrers. Nous donnons également des preuves combinatoires à des conjectures quantiques posées par des physiciens. Dans la seconde partie, nous définissons des statistiques, comme emboîtements et k-emboîtements, sur l’ensemble des permutations du groupe de Coxeter de type B. Nous donnons également des extensions au type B des résultats sur les croisements et les emboîtements, respectivement k-croisements et k-emboîtements dans les permutations de type A, en termes de distributions symétriques. De plus, nous étudions le lien entre les opérateurs non-commutatifs et ces statistiques. D’autres extensions de la distribution de ces statistiques sur les ensembles de partitions colorées et de permutations colorées de types A et B sont ainsi établies / This thesis is divided into two parts, the first deals with the combinatorics associated to the normal ordering form of noncommutative operators and the second addresses the symmetric distributions of the crossing numbers and nesting numbers, respectively k-crossings and k-nestings, in combinatorial structures (partitions, permutations, colored permutations, …). The first part studies the normal order of operators in terms of rook placements. We study the normal ordering form connecting two noncommutative operators D and U, and some special orthogonal polynomials, and establish bijonctions between coefficients of (D+U)n and rook placements in Ferrers diagrams. We also give combinatorial proofs and alternatives to some quantum conjectures posed by physicists. In the second part, we define the notions of statistics, nestings and k-nestings, on the sets of permutations of the Coxeter group of type B. We also give extensions to type B of the results of the crossings and nestings, respectivelu k-crossings and K-nestings in the set of permutations of type A, in terms of symmetric distributions. Likewise, we study the link between non-commutative operators and these statistics. Other extensions of the distribution of these statistics on the sets of colored partitions and colored permutations of type A and B are established

Cette thèse porte sur l'étude de la combinatoire énumérative, plus particulièrement autour des partitions d'entiers et des groupes de Coxeter. Dans une première partie, à l'instar de Han et de Nekrasov-Okounkov, nous étudions des développements combinatoires des puissances de la fonction êta de Dedekind, en termes de longueurs d'équerres de partitions d'entiers. Notre approche, bijective, utilise notamment les identités de Macdonald en types affines (en particulier le type C), généralisant l'approche de Han en type A. Nous étendons ensuite avec de nouveaux paramètres ces développements, grâce à de nouvelles propriétés de la décomposition de Littlewood vis-à-vis des partitions et statistiques considérées. Cela nous permet de déduire des formules des équerres symplectiques, ainsi qu'une connexion avec la théorie des représentations. Dans une seconde partie, nous étudions les éléments cycliquement pleinement commutatifs dans les groupes de Coxeter introduits par Boothby et al., qui forment une sous famille des éléments pleinement commutatifs. Nous commençons par développer une construction, la clôture cylindrique, donnant un cadre théorique qui est aux éléments CPC ce que les empilements de Viennot sont aux éléments PC. Nous donnons une caractérisation des éléments CPC en terme de clôtures cylindriques pour n'importe quel système de Coxeter. Celle-ci nous permet de déterminer en termes d'expressions réduites les éléments CPC dans tous les groupes de Coxeter finis ou affines, et d'en déduire dans tous ces groupes l'énumération de ces éléments. En utilisant la théorie des automates finis, nous montrons aussi que la série génératrice de ces éléments est une fraction rationnelle / This thesis focuses on enumerative combinatorics, particularly on integer partitions and Coxeter groups. In the first part, like Han and Nekrasov-Okounkov, we study the combinatorial expansion of power of the Dedekind's eta function, in terms of hook lengths of integer partitions. Our approach, bijective, use the Macdonald identities in affine types, generalizing the study of Han in the case of type A. We extend with new parameters the expansions that we obtained through new properties of the Littlewood decomposition. This enables us to deduce symplectic hook length formulas and a connexion with representation theory. In the second part, we study the cyclically fully commutative elements in Coxeter groups, introduced by Boothby et al., which are a sub family of the fully commutative elements. We start by introducing a new construction, the cylindrical closure, which give a theoretical framework for the CPC elements analogous to the Viennot's heaps for fully commutative elements. We give a characterization of CPC elements in terms of cylindrical closures in any Coxeter groups. This allows to deduce a characterization of these elements in terms of reduced decompositions in all finite and affine Coxeter and their enumerations in those groups. By using the theory of finite state automata, we show that the generating function of these elements is always rational, in all Coxeter groups

Cette thèse est consacrée à l'étude du groupe d'automorphismes de groupes agissant sur des arbres d'une part, et du rang des groupes de Coxeter d'autre part.<p><p>Via la théorie de Bass-Serre, un groupe agissant sur un arbre est doté d'une structure algébrique particulière, généralisant produits amalgamés et extensions HNN. Le groupe est en fait déterminé par certaines données combinatoires découlant de cette action, appelées graphes de groupes. <p><p>Un cas particulier de cette situation est celle d'un produit libre. Une présentation du groupe d'automorphisme d'un produit libre d'un nombre fini de groupes librement indécomposables en termes de présentation des facteurs et de leurs groupes d'automorphismes a été donnée par Fouxe-Rabinovich. Il découle de son travail que si les facteurs et leurs groupes d'automorphismes sont de présentation finie, alors le groupe d'automorphisme du produit libre est de présentation finie. Une première partie de cette thèse donne une nouvelle preuve de ce résultat, se basant sur le langage des actions de groupes sur les arbres.<p><p>Un groupe accessible est un groupe de type fini déterminé par un graphe de groupe fini dont les groupes d'arêtes sont finis et les groupes de sommets ont au plus un bout, c'est-à-dire qu'ils ne se décomposent pas en produit amalgamé ni en extension HNN sur un groupe fini. L'étude du groupe d'automorphisme d'un groupe accessible est ramenée à l'étude de groupes d'automorphismes de produits libres, de groupes de twists de Dehn et de groupes d'automorphismes relatifs des groupes de sommets. En particulier, on déduit un critère naturel pour que le groupe d'automorphismes d'un groupe accessible soit de présentation finie, et on donne une caractérisation des groupes accessibles dont le groupe d'automorphisme externe est fini. Appliqués aux groupes hyperboliques de Gromov, ces résultats permettent d'affirmer que le groupe d'automorphismes d'un groupe hyperbolique est de présentation finie, et donnent une caractérisation précise des groupes hyperboliques dont le groupe d'automorphisme externe est fini.<p><p>Enfin, on étudie le rang des groupes de Coxeter, c'est-à-dire le cardinal minimal d'un ensemble générateur pour un groupe de Coxeter donné. Plus précisément, on montre que si les composantes de la matrice de Coxeter déterminant un groupe de Coxeter sont suffisamment grandes, alors l'ensemble générateur standard est de cardinal minimal parmi tous les ensembles générateurs. / Doctorat en Sciences / info:eu-repo/semantics/nonPublished