My dissertation focuses on the existence of metrics of non-positive curvature for the simplicial complexes constructed recently by Tom Brady and Daan Krammer for the braid groups and other Artin groups of finite type. In particular, for each Artin group of finite type, there is a recently constructed finite simplicial Eilenberg-Mac Lane space known as its Brady-Krammer complex. The Brady-Krammer complexes are highly symmetric objects. Prior work on the relationship between the Brady-Krammer complexes and the theory of CAT(0)spaces has produced some positive results in low-dimensions. More specifically, the Brady-Krammer complexes of dimension at most 3 have been shown to support piecewise Euclidean metrics of non-positive curvature. Similarly, the 4dimensional Brady-Krammer complexes of type A4 and type B4 also support such metrics. In every instance, the metrics assigned respect all of the symmetries alluded to above. The main results of my dissertation show that this pattern does not extend to the Brady-Krammer complexes of type F4 and D4. These are the first negative results known about the curvature of these Brady-Krammer complexes. The proofs of my main theorems involve a combination of combinatorial results and computer calculations. These negative results are particularly striking since Ruth Charney, John Meier and Kim Whittlesey have shown that a particular complex closely related to each Brady-Krammer complex admits an asymmetric metric satisfying a weak version of non-positive curvature. Thus, one corollary of my results is that the weak asymmetric version of a CAT(0) metric (initially defined by Mladen Bestvina) is strictly weaker than the traditional version.

My dissertation focuses on the existence of metrics of non-positive curvature for the simplicial complexes constructed recently by Tom Brady and Daan Krammer for the braid groups and other Artin groups of finite type. In particular, for each Artin group of finite type, there is a recently constructed finite simplicial Eilenberg-Mac Lane space known as its Brady-Krammer complex. The Brady-Krammer complexes are highly symmetric objects. Prior work on the relationship between the Brady-Krammer complexes and the theory of CAT(0)spaces has produced some positive results in low-dimensions. More specifically, the Brady-Krammer complexes of dimension at most 3 have been shown to support piecewise Euclidean metrics of non-positive curvature. Similarly, the 4dimensional Brady-Krammer complexes of type A4 and type B4 also support such metrics. In every instance, the metrics assigned respect all of the symmetries alluded to above. The main results of my dissertation show that this pattern does not extend to the Brady-Krammer complexes of type F4 and D4. These are the first negative results known about the curvature of these Brady-Krammer complexes. The proofs of my main theorems involve a combination of combinatorial results and computer calculations. These negative results are particularly striking since Ruth Charney, John Meier and Kim Whittlesey have shown that a particular complex closely related to each Brady-Krammer complex admits an asymmetric metric satisfying a weak version of non-positive curvature. Thus, one corollary of my results is that the weak asymmetric version of a CAT(0) metric (initially defined by Mladen Bestvina) is strictly weaker than the traditional version.

A group W is said to have property FA_n if every action of W by isometries on an n-dimensional CAT(0) cell complex has a global fixed point. We construct a complex on which a Coxeter group W acts by cellular isometries without global fixed points, and show that under certain combinatorial conditions, complexes constructed in this way are CAT(0). We then construct several infinite classes of Coxeter groups which have property FA_2 but not property FA_3. / text

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Le groupe de Cremona de rang 2 est le groupe des transformations birationnelles du plan projectif. Le but de cette thèse est d'étudier et de construire des espaces hyperboliques sur lesquels le groupe de Cremona agit et qui permettent de mettre en œuvre des méthodes provenant de la théorie géométrique des groupes. Il est connu depuis une dizaine d'année que le groupe de Cremona agit sur un espace hyperbolique H analogue au plan hyperbolique classique mais de dimension infinie. Dans un premier temps, nous montrons que le groupe de Cremona défini sur un corps quelconque n'est pas simple en le faisant agir sur cet espace hyperbolique. Ceci prolonge un résultat déjà connu dans le cas d'un corps de base algébriquement clos. Nous nous intéressons ensuite à un graphe construit par D. Wright sur lequel agit le groupe de Cremona. Nous montrons qu'il ne possède pas la propriété que nous souhaitions, à savoir qu'il n'est pas hyperbolique au sens de Gromov. Nous construisons également un domaine fondamental pour l'action du groupe de Cremona sur H via la méthode des cellules de Voronoï. Nous caractérisons les applications du groupe de Cremona qui correspondent à un domaine adjacent au domaine fondamental. Cela nous permet de prouver que le graphe de Wright est quasi-isométrique au graphe dual à ce pavage. Nous obtenons ainsi une manière de retrouver le graphe de Wright dans H. Nous montrons enfin qu'en modifiant ce graphe dual, nous obtenons un graphe hyperbolique au sens de Gromov. Dans une dernière partie, nous nous intéressons à une autre propriété naturelle qui est la propriété CAT(0). Nous construisons un complexe cubique CAT(0) de dimension infinie muni d'une action naturelle du groupe de Cremona. / The Cremona group of rank 2 is the group of birational transformations of the projective plane. The aim of this thesis is to study and build some hyperbolic spaces with a natural action of the Cremona group. We want these spaces to have good geometric properties in order to use methods coming from geometric group theory. It is known that the Cremona group acts on a hyperbolic space H which is similiar to the classical hyperbolic plane but in infinite dimension. First, using this action, we show that the Cremona group is not simple over any field. This extends previous results over an algrebraic closed field. Then we study the Wrigth's graph. We show that it doesn't have the property we are looking for, in the sense that it is not Gromov hyperbolic. We build a fundamental domain for the action of the Cremona group on H 8 via Voronoï's cells. We characterize birational tranformations that correspond to adjacent domains of the fundamental domain. This allows us to prove that the Wright's graph is quasi-isometric to the dual graph of this tessellation. It's give us a way of realizing the Wright's graph inside H. Finally, we show that by modifying the dual graph we obtain a Gromov hyperbolic graph. In the last part, we are interested in another classical property which is the CAT(0) property. We build an infinite dimensional CAT(0) cubical complex which comes with a natural action of the Cremona group.

L'objet de cette thèse est l'étude de revêtements ramifiés V' to V de variétés hyperboliques compactes V cubiques, c'est-à-dire dont le groupe fondamental pi_1(V) opère proprement et cocompactement sur un complexe cubique CAT(0). Notre première approche consiste à construire un complexe cubique localement CAT(0) comme revêtement ramifié du complexe obtenu par cubulation de V. La difficulté est alors de vérifier que ce complexe a le même groupe fondamental que V’. On réalise ce programme dans le cas ou V’ est une « variété de Gromov-Thurston ». Notre seconde approche concerne plus généralement le cas où le lieu de ramification du revêtement V' to V est contenu dans une sous-variété convexe de codimension 1. La préimage de cette variété dans V’ puis dans le revêtement universel X’ de V’ fournit un système naturel de « murs ». La difficulté consiste alors à montrer que ces murs séparent linéairement X’ afin d'utiliser les théorèmes classiques de cubulation. / The goal of this thesis is to study of branched covers V' to V of closed hyperbolic manifolds that can be cubulated, i.e. Whose fundamental group pi_1(V) acts properly and cocompactly on a CAT(0) cube complex. We give sufficient conditions for pi_1(V') to be cubic as well.We tackle this question in two different ways. In a first approach we build a negatively curved cubical complex as a ramified cover of a cubical complex obtained by cubulating V. Then the main issue is to check that the fundamental group of this complexe is isomorphic to the fundamental group of V'. We manage to do so when V' is so called “Gromov-Thurston manifold “. Our second approach deals with the more general case where the branched locus of V' to V is contained in a codimension 1 convex submanifold. The preimage of this submanifold on V' and on the universal cover X' of V' provides a natural system of “walls”. Then the main issue is to show that these walls linearly separate X'. This enables us to use classical cubulation theorems.

La classe des graphes de groupes libres à groupes d'arêtes cycliques constitue une source importante d'exemples en théorie géométrique des groupes, en particulier dans le cadre des groupes hyperboliques. Un résultat récent de Wilton montre qu'un tel groupe à un bout et hyperbolique contient un sous-groupe de surface, répondant à une question attribuée à Gromov. Cette thèse est consacrée à l'étude de ces groupes lorsqu'ils se présentent comme des groupes fondamentaux de certains complexes carrés à courbure négative ou nulle. Les complexes carrés en question, appelés graphes tubulaires de graphes, sont obtenus en attachant des tubes (un tube est un produit cartésien d'un cercle avec l'intervalle unitaire) à une collection finie de graphes finis. Le but principal de cette thèse est de construire deux décompositions de base pour les groupes fondamentaux de graphes tubulaires de graphes : leur décomposition de Grushko et leur décomposition JSJ. Dans la première partie de la thèse, nous développons un algorithme en temps polynomial, dont l'entrée est un graphe tubulaire de graphes, et qui produit le scindement de Grushko de son groupe fondamental. Comme application, nous obtenons une version alternative d'un algorithme de Stallings, qui prend un ensemble fini de mots W dans un groupe libre F de rang fini, et décide s'il existe ou non un scindement libre de F relatif à W. Dans la deuxième partie de la thèse, nous développons un algorithme en temps doublement exponentiel, dont l'entrée est un graphe tubulaire de graphes avec un groupe fondamental hyperbolique à un bout, et qui produit le scindement JSJ du groupe fondamental. Nous remarquons qu'il s'agit du premier algorithme sur les scindements JSJ de groupes avec une borne effective sur la complexité de temps. La principale raison de l'efficacité de cet algorithme est que certaines propriétés asymptotiques du groupe, qui déterminent si le groupe se scinde au dessus un sous-groupe cyclique, admettent des caractérisations locales en raison de la structure cubique CAT(0). Comme application de ce résultat, nous obtenons un algorithme en temps doublement exponentiel, dont l'entrée est un groupe libre F de rang fini muni d'un ensemble fini de sous-groupes cycliques W tels que F est librement indécomposable relatif à W, et qui produit le scindement JSJ de F relativement à W. Une conséquence des résultats ci-dessus est que le problème d'isomorphisme pour les groupes considérés se réduit à l'algorithme de Whitehead. / The class of graphs of free groups with cyclic edge groups constitutes an important source of examples in geometric group theory, particularly of hyperbolic groups. A recent result of Wilton shows that any such group which is one-ended and hyperbolic contains a surface subgroup, answering a question attributed to Gromov. This thesis is devoted to the study of these groups when they arise as fundamental groups of certain nonpositively curved square complexes. The square complexes in question, called tubular graphs of graphs, are obtained by attaching tubes (a tube is a Cartesian product of a circle with the unit interval) to a finite collection of finite graphs. The main goal of this thesis is to construct two fundamental decompositions, the Grushko decomposition and the JSJ decomposition, of the fundamental groups of tubular graphs of graphs. In the first part of the thesis we develop an algorithm of polynomial time-complexity that takes a tubular graph of graphs as input and returns the Grushko decomposition of its fundamental group. As an application, we obtain an alternative version of an algorithm of Stallings, which takes a finite set of words W in a finite rank free group F as input, and decides whether or not there exists a free splitting of F relative to W. In the second part of the thesis we develop an algorithm of double exponential time-complexity that takes a tubular graph of graphs with one-ended hyperbolic fundamental group as input and returns the JSJ decomposition of the fundamental group. We remark that this is the first algorithm on JSJ decompositions of groups with an effective bound on the time-complexity. The main reason for the efficiency of this algorithm is that certain asymptotic properties of the group, which determine whether the group splits over a cyclic subgroup, admit local characterisations due to the CAT(0) cubical structure of these groups. As an application of this result, we obtain an algorithm of double exponential time-complexity that takes a finite rank free group F and a finite set of maximal cyclic subgroups W such that F is freely indecomposable relative to W as input and returns the relative JSJ decomposition of F relative to W. A consequence of the above results is that the isomorphism problem for the groups under consideration is reduced to the Whitehead algorithm.

Cette thèse est une contribution au domaine des cubulations de groupes hyperboliques au sens de Gromov. Nous nous intéressons au cas particulier des groupes fondamentaux de variétés hyperboliques réelles compactes. La philosophie inspirée dans ce domaine par les travaux de M. Sageev est que si un groupe hyperbolique possède suffisamment de sous-groupes de codimension 1 quasi-convexes, alors il agit géométriquement sur un complexe cubique CAT(0) de dimension finie. Nous démontrons un critère précis de cubulation pour les groupes fondamentaux de variétés hyperboliques compactes, à l'aide de constructions d'espaces à murs quasi-isométriques à l'espace hyperbolique réel. Nous nous restreignons par la suite au cas particulier de la dimension 3 et plus particulièrement aux 3-variétés hyperboliques compactes virtuellement fibrées sur le cercle. Nous exploitons alors une construction de surfaces immergées incompressibles dites coupées-croisées due à D. Cooper, D. Long et A. Reid dans une telle 3-variété M pour fabriquer des sous-groupes de surface de son groupe fondamental~G. En raffinant des arguments de J. Masters et en exploitant la structure de l'application de Cannon-Thurston, nous parvenons à construire des sous-groupes de surfaces quasi-convexes de G en quantité suffisante pour que leurs ensembles limites permettent de séparer toutes les paires de points distincts du bord du revêtement universel de M. En conséquence de cette construction, G agit géométriquement sur un complexe cubique CAT(0) de dimension finie. D. Wise soulève alors la question de savoir si ce groupe G peut agir géométriquement et également virtuellement co-spécialement (au sens de F. Haglund et D. Wise) sur un complexe cubique CAT(0). Une réponse positive résoudrait les conjectures selon lesquelles G est large et le premier nombre de Betti virtuel de M est infini. Nous faisons remarquer que pour obtenir une réponse positive à cette question, il suffit de trouver une surface coupée-croisée virtuellement plongée dans un revêtement fini fibré sur le cercle de M. Nous concluons en présentant des conditions algébriques, puis géométriques et cohomologiques suffisantes pour qu'une surface coupée-croisée donnée soit virtuellement plongée. / This thesis contributes to the study of geometric actions of word-hyperbolic groups on finite dimensional CAT(0) cube complexes. We are mainly interested in the case of fundamental groups of closed hyperbolic manifolds. The philosophy coming from pioneer work of M. Sageev is that a hyperbolic group with sufficiently many quasi-convex codimension one subgroups acts geometrically on a finite dimensional CAT(0) cube complex. We prove a precise criterion for cubulation in the case of closed hyperbolic manifolds, by constructing spaces with walls quasi-isometric to real hyperbolic space. We next focus on the case of three dimensional closed hyperbolic manifolds which are virtually fibered over the circle. In this setting, we use a construction of incompressibly immersed cut-and-cross-join surfaces due to D. Cooper, D. Long and A. Reid that yields surface subgroups of the fundamental group G of the 3-manifold M. By expanding on work of J. Masters and using the structure of the Cannon-Thurston map, we are able to build many quasi-convex surface subgroups of G whose limits sets may be used to separate any pair of distinct points in the boundary of the universal cover of M. As a consequence, G acts geometrically on a finite dimensional CAT(0) cube complex. D. Wise then asks if it is possible that G acts both geometrically and virtually co-specially (in the sense of F. Haglund and D. Wise) on a CAT(0) cube complex. A positive answer would solve the long-standing conjectures that G is large and M has infinite virtual first Betti number. We then explain why finding a virtually embedded cut-and-cross-join surface in a finite cover of M would be enough to solve this problem. Finally, we give some algebraic and then geometric and cohomological sufficient conditions for a given cut-and-cross-join surface to virtually embed.

Cette thèse est une contribution au domaine des cubulations de groupes hyperboliques au sens de Gromov. Nous nous intéressons au cas particulier des groupes fondamentaux de variétés hyperboliques réelles compactes. La philosophie inspirée dans ce domaine par les travaux de M. Sageev est que si un groupe hyperbolique possède suffisamment de sous-groupes de codimension 1 quasi-convexes, alors il agit géométriquement sur un complexe cubique CAT(0) de dimension finie. Nous démontrons un critère précis de cubulation pour les groupes fondamentaux de variétés hyperboliques compactes, à l'aide de constructions d'espaces à murs quasi-isométriques à l'espace hyperbolique réel. Nous nous restreignons par la suite au cas particulier de la dimension 3 et plus particulièrement aux 3-variétés hyperboliques compactes virtuellement fibrées sur le cercle. Nous exploitons alors une construction de surfaces immergées incompressibles dites coupées-croisées due à D. Cooper, D. Long et A. Reid dans une telle 3-variété M pour fabriquer des sous-groupes de surface de son groupe fondamental~G. En raffinant des arguments de J. Masters et en exploitant la structure de l'application de Cannon-Thurston, nous parvenons à construire des sous-groupes de surfaces quasi-convexes de G en quantité suffisante pour que leurs ensembles limites permettent de séparer toutes les paires de points distincts du bord du revêtement universel de M. En conséquence de cette construction, G agit géométriquement sur un complexe cubique CAT(0) de dimension finie. D. Wise soulève alors la question de savoir si ce groupe G peut agir géométriquement et également virtuellement co-spécialement (au sens de F. Haglund et D. Wise) sur un complexe cubique CAT(0). Une réponse positive résoudrait les conjectures selon lesquelles G est large et le premier nombre de Betti virtuel de M est infini. Nous faisons remarquer que pour obtenir une réponse positive à cette question, il suffit de trouver une surface coupée-croisée virtuellement plongée dans un revêtement fini fibré sur le cercle de M. Nous concluons en présentant des conditions algébriques, puis géométriques et cohomologiques suffisantes pour qu'une surface coupée-croisée donnée soit virtuellement plongée.