Dans cette thèse, nous construisons des pavages de la droite réelle et du demi-plan hyperbolique à l’aide de représentants efficaces d’automorphismes IWIP du groupe libre Fn. Dans un premier temps, nous utilisons la substitution définie par P. Arnoux, V. Berthé, A. Siegel, A. Hilion associée à un représentant efficace d’un automorphisme IWIP pour générer des espaces de pavages substitutifs apériodiques de la droite réelle. Nous montrons, en nous servant d’un théorème de connexité des représentants efficaces d’automorphismes IWIP dû à J. Los, que le type topologique de ces espaces de pavages est indépendant du choix du représentant. Nous associons ainsi, à homéomorphisme près, un espace de pavages de la droite réelle à une classe d’automorphisme externe IWIP de Fn, puis à une classe de conjugaison d’un élément IWIP dans Out(Fn). D’autre part, nous construisons à partir des éléments de l’espace de pavage de la droite réelle précédemment construits des pavages faiblement apériodiques pour le groupe des transformations affines du demi-plan hyperbolique. Nous étudions les propriétés topologiques et dynamiques de ces espaces de pavages du plan hyperbolique. Enfin, dans une dernière partie, nous montrons que les espaces de pavages précédemment construits peuvent être munis d’une structure lisse en se servant de leur structure de limite projective. / In this thesis, we construct tilings of the real line and the hyperbolic half-plane using train-track maps of IWIP free group automorphisms. One the one hand, we use a substitution defined by P. Arnoux, V. Berthé, A. Siegel, A. Hilion coming from a train-track map of a IWIP free group automorphism to generate substitutive aperiodic tilings of the real line. We show, thanks to a theorem of J. Los about connectivity of train-track representatives of an IWIP automorphism, that the topological type of those tiling spaces is the same up to a choice of train-track representative. Thus we associate, up to an homeomorphism, a tiling space of the real line to a class of an IWIP outer automorphism of Fn, then we extend this result to a conjugacy class of an IWIP element in Out(Fn). On the other hand, we construct from elements of tiling spaces of the real line previously defined, a set of weakly aperiodic for the affine group tilings of the hyperbolic half-plane. We study topological et dynamical properties of the tiling space generated by those hyperbolic tilings. Finally, in the last section we endow tiling spaces previously constructed with a smooth structure thanks to their inverse limit structure.

Les trois chapitres de ce texte traitent quatre problemes de nature geometrique, dynamique ou algebrique, ayant un lien avec le procede de suspension (ou mapping-torus). Le premier chapitre presente un theoreme de combinaison general pour les graphes de groupes relativement hyperboliques (Gromov, Farb). Le deuxieme chapitre aborde deux questions de dynamique topologique : d'une part la generalisation, aux applications continues de graphes, de la notion de type d'orbite (Sharkovskii, Boyland) ; d'autre part la caracterisation de l'existence d'une structure de suspension pour certaines surfaces branchees (Williams). Le troisiµeme chapitre traite de la recherche de caracterisations, combinatoires ou dynamiques, des automorphismes geometriques parmi les automorphismes du groupe libre.

Un automorphisme (extérieur) $phi $ d'un groupe libre $F_n$ de rang fini $ngeq 2$ est dit géométrique s'il est induit par un homéomorphisme d'une surface. La question à laquelle nous intéressons est la suivante: Quels sont les automorphismes de $F_n$ qui sont géométriques?Nous donnons une réponse algorithmique pour la classe des automorphismes à croissance polynomiale (en s'autorisant à remplacer un automorphisme par une puissance).Pour cela, nous sommes amenés à étudier les automorphismes de graphes de groupes. En particulier, nous introduisons deux transformations élémentaires d'automorphismes de graphes de groupes: les quotients et les éclatements.Pour le cas particulier où l'automorphisme est un twist de Dehn partiel, on obtient un critère pour décider quand un tel twist de Dehn partiel est un véritable twist de Dehn.En appliquant le critère à plusieurs reprises sur un twist de Dehn cumulé, nous montrons que soit on peut ＂déplier＂ ce twist de Dehn cumulé jusqu'à obtenir un twist de Dehn ordinaire, soit que $phi$ est à croissance au moins quadratique (et par conséquent, n'est pas géométrique).Cela montre, au passage, que tout automorphisme du groupe libre à croissance linéaire admet une puissance qui est un twist de Dehn. Ce fait est connu des experts, et souvent utilisé, bien qu'il n'en existait pas de preuve formelle dans la littérature (à la connaissance de l'auteur).Pour conclure, on applique l'algorithme de Cohen-Lustig pour le transformer en twist de Dehn efficace, puis on applique l'algorithme Whitehead et des théorèmes classiques de Nielsen-Baer et Zieschang pour construire un modèle géométrique ou pour montrer qu'il n'est pas géométrique. / An automorphism $phi$ of a free group $F_n$ of finite rank $n geq 2$ is said to be geometric it is induced by a homeomorphism on a surface.In this thesis we concern ourselves with answering the question:Which precisely are the outer automorphisms of $F_n$ that are geometric?to which we give an algorithmical decision for the case of polynomially growing outer automorphisms, up to raising to certain positive power.In order to realize this algorithm, we establish the technique of quotient and blow-up automorphisms of graph-of-groups, which when apply for the special case of partial Dehn twist enables us to develop a criterion to decide whether the induced outer automorphism is an actual Dehn twist.Applying the criterion repeatedly on the special topological representative deriving from relative train track map, we are now able to either “unfold” this iterated relative Dehn twist representative level by level until eventually obtain an ordinary Dehn twist representative or show that $hat{phi}$ has at least quadratic growth hence is not geometric.As a side result, we also proved that every linearly growing automorphism of free group has a positive power which is a Dehn twist automorphism. This is a fact that has been taken for granted by many experts, although has no formal proof to be found in the literature.In the case of Dehn twist automorphisms, we then use the known algorithm to make the given Dehn twist representative efficient and apply the Whitehead algorithm as well as the classical theorems by Nielsen, Baers, Zieschangs and others to construct its geometric model or to show that it is not geometric.