Le Calcul des Variations et son interprétation géométrique ont toujours joué un rôle crucial en Physique Mathématique, que ce soit par le formalisme lagrangien, ou à travers les équations hamiltoniennes.Le formalisme multisymplectique permet une description géométrique de dimension finie des théories de champ classiques (qui correspondent à des problèmes variationnels avec plusieurs variables spatio-temporelles) vues d’un point de vue hamiltonien. La géométrie multisymplectique joue un rôle similaire à celui de la géométrie symplectique dans la description de la mécanique hamiltonienne classique. De plus, l’approche multisymplectique fournit un outil pour construire une structure symplectique sur l’espace des solutions de la théorie des champs et pour l’étudier.Dans cette thèse, je m’intéresse principalement au formalisme multisymplectique pour construire des théories de champs de premier ordre et j’espère pouvoir donner deux principales contributions originales :– Je montre que, dans certaines situations, la structure symplectique de l’espace des phases covariant peut en effet dépendre du choix de la topologie du découpage de l’espace-temps en l’espace et en le temps;– Je construis une extension du formalisme multisymplectique aux théories de super-champs. En tant que «sous-produit», je présente une autre contribution que j’espère intéressante :– Je définie des formes fractionnaires sur des supervariétés avec leur calcul de Cartan. Ces formes fractionnaires se révèlent utiles pour construire le formalisme multisymplectique pour les théories de super-champs.Les ingrédients principaux du formalisme que j'utilise sont : l’espace des multimoments de dimension finie P et son extension aux théories de super-champs que je définie ; la superforme lagrangienne, le superhamiltonien et la superforme multisymplectique. Dans la thèse je montre aussi un théorème de comparaison qui permets de clarifier les relations existant entre les théories dites en composantes et les théories de superchamps. J’explique comment le formalisme supermultisymplectique peut être utilisé pour définir des super crochets de Poisson pour les superchamps. Je donne une version "super" du premier théorème de Noether valable pour l'action de supergroupes de symétrie et je propose une extension « super » de l'application multimoment. Enfin je présente quelques exemples montrant comment toute la théorie peut être mise en œuvre : en particulier j'étudie la superparticule libre et le modèle sigma 3-dimensionnel. / The Calculus of Variations and its geometric interpretation always played a key role in Mathematical Physics, either through the Lagrangian formalism, or through the Hamiltonian equations.The multisymplectic formalism allows a finite dimensional geometric description of classical field theories seen from an Hamiltonian point of view. Multisymplectic geometry plays the same role played by symplectic geometry in the description of classical Hamiltonian mechanics. Moreover the multisymplectic approach provides a tool for building a symplectic structure on the space of solutions of the field theory and for investigating it.In this thesis I use the multisymplectic formalism to build first order field theories and I hope to give two main original contributions:– I show that, in some situations, the symplectic structure on the covariant phase space may indeed depend from the choice of splitting of spacetime in space and time;– I extend the multisymplectic formalism to superfield theories.As a "byproduct", I present another contribution:– I define fractional forms on supermanifolds with their relative Cartan Calculus. These fractional forms are useful to build the multisymplectic formalism for superfield theories.The main ingredients of the formalism I use are: the finite dimensional multimomenta phase space P and its extension to super field theories, which I give; the Lagrangian superform; the super-Hamiltonian, the multisymplectic superform.In my thesis I also prove a Comparison Theorem which allows to clarify the relations existing between the so called components theories and the so called superfield theories. I explain how the supermultisymplectic formalism can be used to define super Poisson brackets for super fields. I give a "super" version of the first Noether theorem valid for the action of supergroups of symmetry and I propose a “super” extension of the multimomentum map.Finally I present some examples showing how all the theory can be implemented: I study the free superparticle and the 3-dimensional sigma-model.

Indiana University-Purdue University Indianapolis (IUPUI) / We describe a reproduction procedure which, given a solution of the gl(m|n) Gaudin Bethe ansatz equation associated to a tensor product of polynomial modules, produces a family P of other solutions called the population. To a population we associate a rational pseudodifferential operator R and a superspace W of rational functions. We show that if at least one module is typical then the population P is canonically identified with the set of minimal factorizations of R and with the space of full superflags in W. We conjecture that the singular eigenvectors (up to rescaling) of all gl(m|n) Gaudin Hamiltonians are in a bijective correspondence with certain superspaces of rational functions. We establish a duality of the non-periodic Gaudin model associated with superalgebra gl(m|n) and the non-periodic Gaudin model associated with algebra gl(k). The Hamiltonians of the Gaudin models are given by expansions of a Berezinian of an (m+n) by (m+n) matrix in the case of gl(m|n) and of a column determinant of a k by k matrix in the case of gl(k). We obtain our results by proving Capelli type identities for both cases and comparing the results. We study solutions of the Bethe ansatz equations of the non-homogeneous periodic XXX model associated to super Yangian Y(gl(m|n)). To a solution we associate a rational difference operator D and a superspace of rational functions W. We show that the set of complete factorizations of D is in canonical bijection with the variety of superflags in W and that each generic superflag defines a solution of the Bethe ansatz equation. We also give the analogous statements for the quasi-periodic supersymmetric spin chains.

We describe a reproduction procedure which, given a solution of the gl(m|n) Gaudin Bethe ansatz equation associated to a tensor product of polynomial modules, produces a family P of other solutions called the population. <br>To a population we associate a rational pseudodifferential operator R and a superspace W of rational functions. <br><br>We show that if at least one module is typical then the population P is canonically identified with the set of minimal factorizations of R and with the space of full superflags in W. We conjecture that the singular eigenvectors (up to rescaling) of all gl(m|n) Gaudin Hamiltonians are in a bijective correspondence with certain superspaces of rational functions.<br><br>We establish a duality of the non-periodic Gaudin model associated with superalgebra gl(m|n) and the non-periodic Gaudin model associated with algebra gl(k).<br><br>The Hamiltonians of the Gaudin models are given by expansions of a Berezinian of an (m+n) by (m+n) matrix in the case of gl(m|n) <br>and of a column determinant of a k by k matrix in the case of gl(k). We obtain our results by proving Capelli type identities for both cases and comparing the results.<br><br>We study solutions of the Bethe ansatz equations of the non-homogeneous periodic XXX model associated to super Yangian Y(gl(m|n)).<br>To a solution we associate a rational difference operator D and a superspace of rational functions W. We show that the set of complete factorizations of D is in canonical bijection with the variety of superflags in W and that each generic superflag defines a solution of the Bethe ansatz equation. We also give the analogous statements for the quasi-periodic supersymmetric spin chains.<br>

La présente thèse porte sur le développement d'une théorie d'algèbre linéaire, de géométrie et d'analyse basée sur les algèbres (Z2)n-commutatives, c'est-à-dire des algèbres (Z2)n-graduées associatives unitaires satisfaisant ab = (-1)<deg(a),deg(b)>ba, pour tout couple d'éléments homogènes a, b de degrés deg(a), deg(b) où <.,.> est le produit scalaire usuel). Cette généralisation de la supergéométrie a de nombreuses applications : en mathématiques (l'algèbre de Deligne des superformes différentielles, l'algèbre des quaternions et les algèbres de Clifford en sont des exemples) et même en physique (paraparticules). Dans ce travail, les notions de trace et de (super)déterminant pour des matrices à coefficients dans une algèbre gradué-commutative sont définies et étudiés. Une attention particulière est portée au cas des algèbres de Clifford : ce point de vue gradué fournit une nouvelle approche au problème classique du « bon » déterminant pour des matrices à coefficient non-commutatifs (quaternioniques). En outre, nous entreprenons l'étude de la géométrie différentielle (Z2)n-graduée. Privilégiant l'approche par les espaces annelés, les (Z2)n-supervariétés sont définies en choisissant l'algèbre (Z2)n-commutative des séries formelles en variables graduées comme modèle pour le faisceau de fonctions. Les résultats les plus marquants ainsi obtenus sont : le Berezinien gradué et son interprétation cohomologique (essentielle pour établir une théorie de l'intégration) ; le théorème des morphismes, attestant qu'on peut rétablir un morphisme entre (Z2)n-supervariétés à partir de sa seule expression sur les coordonnées ; le théorème de Batchelor-Gawedzki pour les (Z2)n-supervariétés lisses / The present thesis deals with a development of linear algebra, geometry and analysis based on (Z2)n-superalgebras ; associative unital algebras which are (Z2)n-graded and graded-commutative, i.e. statisfying ab=(-1)<deg(a),deg(b)>ba, for all homogeneous elements a, b of respective degrees deg(a), deg(b) in (Z2)n (<.,.> denoting the usual scalar product). This generalization widens the range of applications of supergeometry to many mathematical structures (quaternions and more generally Clifford algebras, Deligne algebra of superdifferential forms, higher vector bundles) and appears also in physics (for describing paraparticles) proving its worth and relevance. In this dissertation, we first focus on (Z2)n-superalgebra theory ; we define and characterize the notions of trace and (super)determinant of matrices over graded-commutative algebras. Special attention is given to the case of Clifford algebras, where our study gives a new approach to treat the classical problem of finding a “good” determinant for matrices with noncommuting (quaternionic) entries. Further, we undertake the study of (Z2)n-graded differential geometry. Privileging the ringed space approach, we define (smooth) (Z2)n-supermanifolds modeling their algebras of functions on the (Z2)n-commutative algebra of formal power series in graded variables, and develop the theory along the lines of supergeometry. Notable results are : the graded Berezinian and its cohomological interpretation (essential to establish integration theory) ; the theorem of morphism, which states that a morphism of (Z2)n-supermanifolds can be recovered from its coordinate expression ; Batchelor-Gawedzki theorem for (Z2)n-supermanifolds