Soit $M=\{M_n\}_{n\in\bkN}$ une suite de réels positifs logarithmiquement convexe. On étudie les sous-anneaux $\Gamma_M$ de l'anneau des séries<br />formelles en $s$ variables dont la croissance des coefficients est contrôlée par la suite $M.$ Sous de faibles hypothèses sur $M,$ on obtient, tout d'abord, des théorèmes de composition. On apporte, par exemple, une réponse à la question suivante. Etant donnée une application $F$ dans $(\Gamma_M)^{s},$ si ${\cal A}\circ F$ appartient à $\Gamma_M,$ à quelle classe $\Gamma_N$ la<br />série ${\cal A}$ appartient-elle? On établit ensuite quelques propriétés algébriques de ces anneaux. On montre qu'étant donné un bon ordre sur $\bkN^{s},$ on peut diviser dans $\Gamma_M$ toute série<br />par une famille finie $f_1,\dots,f_p$ telle que les quotients et le reste appartiennent encore à $\Gamma_M.$ Cela permet d'aborder des problèmes<br />comme la division modulo un idéal, la noetherianité ou la platitude.<br />On obtient aussi des théorèmes de préparation du type Malgrange.<br />On étend également le célèbre théorème d'approximation d'Artin.

À la fin des années quatre-vingts, Vladimir G. Berkovich a introduit une notion d'espace analytique sur tout anneau de Banach. Nous nous proposons, dans cette thèse, d'etudier le cas particulier où l'anneau de Banach considéré est l'anneau des entiers Z ou, plus généralement, un anneau d'entiers de corps de nombres. <br /><br />La majeure partie de notre travail est consacrée à la droite analytique. Elle jouit de propriétés semblables à celles des espaces analytiques complexes d'un point de vue topologique, mais également algébrique, son faisceau structural étant cohérent. En outre, en termes cohomologiques, ses disques se comportent comme des espaces de Stein.<br /><br />Pour finir, nous exposons quelques applications des résultats géométriques énoncés auparavant. Nous obtenons ainsi quelques propriétés de classes de fonctions particulières, telles les fonctions holomorphes sur un disque contenu dans C et dont le développement en un point est à coefficients entiers.

Cette thèse est composée d'une partie sur la conjecture des familles stables par unions et de quatre autres chapitres consacrés aux sujets liés aux suites automatiques. Dans la première partie, on donne une condition suffisante pour qu'une version affaiblie de la conjecture soit vraie. On donne aussi un majorant de la fréquence maximale minimale dans une famille de taille $n$. Dans Chapitre 3 on démontre que la formule d'extraction des coefficients des séries algébriques connue pour les corps à caractéristique $0$ est une conséquence d'un théorème de Furstenberg qui permet d'écrire certaines séries algébriques comme les diagonales des fractions rationnelles à deux variables. Comme ce théorème est valide pour tous les corps, la formule l'est aussi. Dans Chapitre 4 on donne une généralisation des résultats de J.-P. Allouche et J. Shallit concernant certains produits infinis et les fonctions qui comptent le nombre d'occurrences d'un facteur dans l'expansion en base $B$ de $n$. Dans Chapitre 5 on donne une construction explicite d'un mot infini avec complexité en facteur de $\Theta(n^t)$ avec la valuation $p$-adique. Dans Chapitre 6 on donne une nouvelle démonstration de la transcendance de la série formelle $L(1,\chi_s)/\Pi$, où $L$ est un analogue des fonctions $L$ de Dirichlet en caractéristique finie défini par D. Goss et $\Pi$ l'analogue de $\pi$ défini par L. Carlitz. / This thesis comprises one part concerning the union-closed sets conjecture and four other chapters dedicated to subjects related to automatic sequences. In the first part, we give a sufficient condition for a weaker version of the conjecture ($\varepsilon$-union closed sets conjecture) to hold. We also give an upper bound of the minimal maximal frequency for a family of size $n$. In Chapter 3 we prove that the coefficient extraction formula for algebraic series known for fields of characteristic $0$ is a consequence of a theorem of Furstenberg that says certains algebraic series can be written as the diagonals of a rational fractions in two variables. As the theorem is true for all fields, so is the formula. In Chapter 4 we give a generalization of the result of J.-P. Allouche and J. Shallit concerning certain infinite products and block-counting functions. In Chapter 5 we give an explicit construction based on $p$-adic valuation of an infinite word with subword complexity $\Theta(n^t)$. In Chapter 6 we give a new proof of the transcendence of the power series $L(1,\chi_s)/\Pi$, where $L$ is an analogue in positive characteristics of Dirichlet $L$ functions defined by D. Goss and $\Pi$ the analogue of $\pi$ defined by L. Carlitz.

La présente thèse porte sur le développement d'une théorie d'algèbre linéaire, de géométrie et d'analyse basée sur les algèbres (Z2)n-commutatives, c'est-à-dire des algèbres (Z2)n-graduées associatives unitaires satisfaisant ab = (-1)<deg(a),deg(b)>ba, pour tout couple d'éléments homogènes a, b de degrés deg(a), deg(b) où <.,.> est le produit scalaire usuel). Cette généralisation de la supergéométrie a de nombreuses applications : en mathématiques (l'algèbre de Deligne des superformes différentielles, l'algèbre des quaternions et les algèbres de Clifford en sont des exemples) et même en physique (paraparticules). Dans ce travail, les notions de trace et de (super)déterminant pour des matrices à coefficients dans une algèbre gradué-commutative sont définies et étudiés. Une attention particulière est portée au cas des algèbres de Clifford : ce point de vue gradué fournit une nouvelle approche au problème classique du « bon » déterminant pour des matrices à coefficient non-commutatifs (quaternioniques). En outre, nous entreprenons l'étude de la géométrie différentielle (Z2)n-graduée. Privilégiant l'approche par les espaces annelés, les (Z2)n-supervariétés sont définies en choisissant l'algèbre (Z2)n-commutative des séries formelles en variables graduées comme modèle pour le faisceau de fonctions. Les résultats les plus marquants ainsi obtenus sont : le Berezinien gradué et son interprétation cohomologique (essentielle pour établir une théorie de l'intégration) ; le théorème des morphismes, attestant qu'on peut rétablir un morphisme entre (Z2)n-supervariétés à partir de sa seule expression sur les coordonnées ; le théorème de Batchelor-Gawedzki pour les (Z2)n-supervariétés lisses / The present thesis deals with a development of linear algebra, geometry and analysis based on (Z2)n-superalgebras ; associative unital algebras which are (Z2)n-graded and graded-commutative, i.e. statisfying ab=(-1)<deg(a),deg(b)>ba, for all homogeneous elements a, b of respective degrees deg(a), deg(b) in (Z2)n (<.,.> denoting the usual scalar product). This generalization widens the range of applications of supergeometry to many mathematical structures (quaternions and more generally Clifford algebras, Deligne algebra of superdifferential forms, higher vector bundles) and appears also in physics (for describing paraparticles) proving its worth and relevance. In this dissertation, we first focus on (Z2)n-superalgebra theory ; we define and characterize the notions of trace and (super)determinant of matrices over graded-commutative algebras. Special attention is given to the case of Clifford algebras, where our study gives a new approach to treat the classical problem of finding a “good” determinant for matrices with noncommuting (quaternionic) entries. Further, we undertake the study of (Z2)n-graded differential geometry. Privileging the ringed space approach, we define (smooth) (Z2)n-supermanifolds modeling their algebras of functions on the (Z2)n-commutative algebra of formal power series in graded variables, and develop the theory along the lines of supergeometry. Notable results are : the graded Berezinian and its cohomological interpretation (essential to establish integration theory) ; the theorem of morphism, which states that a morphism of (Z2)n-supermanifolds can be recovered from its coordinate expression ; Batchelor-Gawedzki theorem for (Z2)n-supermanifolds