Cette thèse se compose de deux parties: dans la première on démontre une généralisation du théorème de Gabriel sur les faisceaux cohérents au cas des faisceaux cohérents tordus. Plus précisément, on démontre que tout schéma noethérien X peut être reconstruit à partir de sa catégorie abélienne Coh(X,\alpha) des faisceaux cohérents tordus par un élément \alpha du groupe de Brauer cohomologique de X. Dans la deuxième partie on étudie les deux espaces des modules M_{10} et M_{6} introduits par O'Grady, qu'il utilise pour obtenir ses deux nouveaux examples de variétés irréductibles symplectiques de dimension 10 et 6 respectivement. On calcule les groupes de Picard de M_{10} et M_{6}, et on démontre que ces deux variétés ne sont pas localement factorielles, mais 2-factorielles. Ceci est accompli en utilisant les résultats de Rapagnetta sur la cohomologie et la forme de Beauville-Bogomolov de M_{10} et M_{6}, et en étudiant les propriétés du morphisme de Le Potier dans ces deux cas.

À la fin des années quatre-vingts, Vladimir G. Berkovich a introduit une notion d'espace analytique sur tout anneau de Banach. Nous nous proposons, dans cette thèse, d'etudier le cas particulier où l'anneau de Banach considéré est l'anneau des entiers Z ou, plus généralement, un anneau d'entiers de corps de nombres. <br /><br />La majeure partie de notre travail est consacrée à la droite analytique. Elle jouit de propriétés semblables à celles des espaces analytiques complexes d'un point de vue topologique, mais également algébrique, son faisceau structural étant cohérent. En outre, en termes cohomologiques, ses disques se comportent comme des espaces de Stein.<br /><br />Pour finir, nous exposons quelques applications des résultats géométriques énoncés auparavant. Nous obtenons ainsi quelques propriétés de classes de fonctions particulières, telles les fonctions holomorphes sur un disque contenu dans C et dont le développement en un point est à coefficients entiers.

Le travail effectué dans cette thèse consiste à construire et adapter dans d'autres cadres des objets issus de la géométrie algébrique. Nous nous intéressons d'abord à la théorie des classes de Chern pour les faisceaux cohérents. Sur les variétés projectives, elle est complètement achevée dans les anneaux de Chow grâce à l'existence de résolutions globales localement libres et se ramène formellement à la théorie pour les fibrés. Un résultat de Voisin montre que ces résolutions n'existent pas toujours sur des variétés complexes compactes générales. Nous construisons ici par récurrence sur la dimension de la variété de base des classes de Chern en cohomologie de Deligne rationnelle pour les faisceaux analytiques cohérents en imposant la formule de Grothendieck-Riemann-Roch pour les immersions et en utilisant des méthodes de dévissage. Ces classes sont les seules à vérifier la formule de fonctorialité par pull-back, la formule de Whitney et la formule de Grothendieck-Riemann-Roch pour les immersions; elles coïncident donc avec les classes topologiques et les classes d'Atiyah. Elles vérifient aussi le théorème de Grothendieck-Riemann-Roch pour les morphismes projectifs. Notre second travail est l'étude des schémas de Hilbert ponctuels d'une variété symplectique ou presque complexe de dimension 4. Ils ont été construits par Voisin et généralisent les schémas de Hilbert connus pour les surfaces projectives. En utilisant les structures complexes relatives intégrables introduites dans la construction de Voisin, nous pouvons étendre au cas presque complexe ou symplectique la théorie classique. Nous calculons les nombres de Betti, nous construisons les opérateurs de Nakajima, nous étudions l'anneau de cohomologie et la classe de cobordisme de ces schémas de Hilbert, et nous prouvons dans ce contexte un cas particulier de la conjecture de la résolution crêpante de Ruan.

Dans cette thèse, nous étudions deux problèmes très naturels en géométrie algébrique complexe.<br />La première question étudiée est de savoir si le revêtement universel d'une variété kählérienne lisse compacte avec un fibré tangent décomposé est un produit de deux variétés. A l'aide des familles couvrantes de courbes rationnelles nous montrons que certaines variétés avec un fibré tangent décomposé possèdent une structure d'espace fibré. Une étude systématique nous permet de donner une réponse affirmative à la question pour plusieurs classes de variétés.<br />La deuxième question étudiée est de savoir si la positivité d'un fibré en droites implique la positivité de l'image directe, par un morphisme projectif et plat, du fibré en droites adjoint. La réponse à cette question dépend de la positivité du fibré en droites et de ses liens avec la géométrie du morphisme considéré. Nous donnons une réponse positive à la question sous de faibles conditions géométriques.

Ce travail peut être divisé en trois partie: 1. Théorie des groupes. Il s'agit ici d'une étude de la structure du groupe T de Thompson. On explique la notion de la mutation linéaire par morceaux et on obtient la nouvelle présentation de ce groupe en termes des génerateurs et relations. 2. Géometrie birationnelle. On étudie en détail le groupe de Cremona qui est un groupe des automorphismes birationnels du plan projectif. En particulier on s'interesse à son sous-groupe Symp des elements qui préserve le crochet de Poisson dit logarithmique, aussi bien qu'à un sous-groupe H engendré par SL(2,Z) et par les mutations. On construit des limites projectives des surfaces sur lesquelles ces groupes agissent régulièrement, et on en déduit les répresentations linéaires de ces groupes dans les limites inductives des groupes de Picard des surfaces. 3. Algèbre homologique. A partir d'une variété algébrique on construit une catégorie triangulée qui ne dépend que de sa classe birationnelle. En utilisant la technique de quotient de dg-catégories, on calcule explicitement cette catégorie pour les surfaces rationnelles. Comme consequence on obtient l'action du groupe de Cremona sur une algébre non-commutative par les automorphismes extérieures. On donne les applications de ces résultats aux formules des mutations des variables non-commutatives.