Les catégories linéaires ont naturellement plusieurs notions d'identification : l'isomorphie, l'équivalence de catégories et l'équivalence de Morita. On construit les champs classifiant les catégories pour ces trois structures ($\ukcatiso$, $\ukcateq$, $\ukcatmor$) ainsi que le champ classifiant les catégories abéliennes ($\ukab$), l'originalité étant que les trois derniers champs sont des champs supérieurs.<br /><br />Le résultat principal de la thèse est que, sous des conditions de finitude des objets classifiés, ces champs sont géométriques au sens de C.~Simpson. En particulier, on trouve que les complexes tangents de ces champs en une catégorie $C$, i.e. les objets classifiant les déformations au premier ordre de $C$, sont donnés par des tronqués du complexe de cohomologie de Hochschild de $C$.<br /><br />En plus, il existe une suite naturelle de morphismes surjectifs de champs :<br />$$\ukcatiso \tto \ukcateq \tto \ukcatmor \tto \ukab$$<br />dont on montre que celui du milieu est étale, et celui de droite une équivalence.

En algèbre de dimension 2, les 2-groupes symétriques (groupoïdes monoïdaux symétriques où tout objet a un inverse à isomorphisme près) jouent un rôle similaire à celui des groupes abéliens en algèbre de dimension 1. Le but de ce travail est de définir une notion de catégorie abélienne en dimension 2 qui soit aux 2-groupes symétriques ce que la notion de catégorie abélienne ordinaire est aux groupes abéliens. On donnera deux solutions à ce problème. La première, les catégories enrichies dans les groupoïdes abéliennes, est une généralisation des catégories abéliennes ordinaires. Dans un tel contexte, on peut développer la théorie des suites exactes et de l'homologie d'une façon proche de l'homologie dans une catégorie abélienne : on y démontre plusieurs lemmes de diagrammes classiques ainsi que l'existence de la longue suite exacte d'homologie associée à une extension de complexes de chaînes. Cela généralise des résultats connus pour les 2-groupes symétriques. L'autre solution, les catégories enrichies dans les groupoïdes 2-abéliennes (qui sont également abéliennes au sens du paragraphe précédent), imite les propriétés des 2-groupes symétriques plus spécifiques à la dimension 2, en particulier l'existence de deux systèmes de factorisation : surjectif/plein et fidèle, et plein et surjectif/fidèle. De plus, dans une catégorie enrichie dans les groupoïdes 2-abélienne, la catégorie des objets discrets est équivalente à celle des objets connexes et ces catégories sont abéliennes. Les exemples incluent, outre les 2-groupes symétriques, les 2-modules sur un 2-anneau, qui forment une catégorie enrichie dans les groupoïdes 2-abélienne. Par ailleurs, les groupoïdes internes, foncteurs internes et transformations naturelles internes à une catégorie abélienne (et, en particulier, les 2-espaces vectoriels au sens de Baez-Crans) forment une catégorie enrichie dans les groupoïdes 2-abélienne si et seulement si l'axiome du choix est satisfait dans la catégorie abélienne.

Cette thèse se compose de deux parties: dans la première on démontre une généralisation du théorème de Gabriel sur les faisceaux cohérents au cas des faisceaux cohérents tordus. Plus précisément, on démontre que tout schéma noethérien X peut être reconstruit à partir de sa catégorie abélienne Coh(X,\alpha) des faisceaux cohérents tordus par un élément \alpha du groupe de Brauer cohomologique de X. Dans la deuxième partie on étudie les deux espaces des modules M_{10} et M_{6} introduits par O'Grady, qu'il utilise pour obtenir ses deux nouveaux examples de variétés irréductibles symplectiques de dimension 10 et 6 respectivement. On calcule les groupes de Picard de M_{10} et M_{6}, et on démontre que ces deux variétés ne sont pas localement factorielles, mais 2-factorielles. Ceci est accompli en utilisant les résultats de Rapagnetta sur la cohomologie et la forme de Beauville-Bogomolov de M_{10} et M_{6}, et en étudiant les propriétés du morphisme de Le Potier dans ces deux cas.

Le but de cette thèse est de catégorifier des algèbres amassées antisymétrisables. Unegrande variété de cas antisymétriques a déjà été traitée par exemple par Keller, Caldero-Keller, Geiß-Leclerc-Schröer, Dehy-Keller, Fu-Keller, Palu. Pour ce faire, on utilise descatégories exactes stablement 2-Calabi-Yau. Pour traiter le cas antisymétrisable, nous considérons l'action d'un groupe fini sur une telle catégorie et nous introduisons unecatégorie équivariante associée qui est encore stablement 2-Calabi-Yau. Nous dévelop-pons une théorie des mutations pour ses objets rigides invariants. Une grande famille d'exemples est fournie par les catégories de représentations d'algèbres préprojectives : par exemple, si l'on prend la catégorie des représentations de l'algèbre préprojective de diagramme A(2n-1) muni de son automorphisme d'ordre 2, on obtient l'algèbre amassée des fonctions sur le groupe de Lie unipotent de type C(n). On peut de la même façon obtenir toutes les algèbres amassées de fonctions sur les sous-groupes unipotents maximaux des groupes de Lie semi-simple. Par ailleurs, on peut construire ainsi toutes les algèbres amassées de type fini. Toutes ces catégorifications nous permettent de démontrer, pour les algèbres amassées correspondantes, une conjecture de Fomin et Zelevinsky qui affirme l'indépendance linéaire des monômes d'amas.