Les catégories linéaires ont naturellement plusieurs notions d'identification : l'isomorphie, l'équivalence de catégories et l'équivalence de Morita. On construit les champs classifiant les catégories pour ces trois structures ($\ukcatiso$, $\ukcateq$, $\ukcatmor$) ainsi que le champ classifiant les catégories abéliennes ($\ukab$), l'originalité étant que les trois derniers champs sont des champs supérieurs.<br /><br />Le résultat principal de la thèse est que, sous des conditions de finitude des objets classifiés, ces champs sont géométriques au sens de C.~Simpson. En particulier, on trouve que les complexes tangents de ces champs en une catégorie $C$, i.e. les objets classifiant les déformations au premier ordre de $C$, sont donnés par des tronqués du complexe de cohomologie de Hochschild de $C$.<br /><br />En plus, il existe une suite naturelle de morphismes surjectifs de champs :<br />$$\ukcatiso \tto \ukcateq \tto \ukcatmor \tto \ukab$$<br />dont on montre que celui du milieu est étale, et celui de droite une équivalence.

Cette thèse porte sur la structure de Lie de la cohomologie de Hochschild, donnée par le crochet de Gerstenhaber. Plus précisément, on étudie la structure d'algèbre de Lie du premier groupe de cohomologie et la structure de module de Lie des groupes de cohomologie de Hochschild de certaines algèbres monomiales. Une algèbre monomiale est définie comme le quotient de l'algèbre de chemins d'un carquois par un idéal bilatère admissible engendré par un ensemble de chemins de longueur au moins deux. On utilise les données combinatoires intrinsèques à de telles algèbres pour étudier la structure de Lie définie sur la cohomologie de Hochschild. En fait, on examine deux aspects de cette structure algébrique. Le premier est la relation entre la semi-simplicité du premier groupe de cohomologie de Hochschild et la nullité des groupes de cohomologie de Hochschild. Dans le second aspect, on se concentre sur la structure de module de Lie des groupes de cohomologie de Hochschild d'une famille d'algèbres particulière: celles dont le radical de Jacobson au carré est nul.

Dans l'optique d'étudier les modules de génération finie sur des algèbres de dimension finie, il a été développé ces dernières années une méthode diagramatique, essentiellement due à P. Gabriel, basée sur des carquois, c'est-à-dire sur des graphes orientées finis. Plus précisément, il a été démontré que pour toute algèbre A sobre de dimension finie sur un corps k algébriquement clos, il existe un carquois unique Q et au moins un idéal I admissible de l'algèbre kQ, l'algèbre des chemins de Q, tels que A soit isomorphe à kQ=I. Un tel couple (Q; I) est nommé une présentation de A par carquois et relations. Pour chaque paire (Q; I), nous pouvons définir un groupe fondamental Pi1(Q; I). En général, cependant, différentes présentations d'une même algèbre peuvent conduire à des groupes fondamentaux difféerents. Ainsi, une algèbre dont toutes les présentations donnent un groupe fondamental trivial est appelée simplement connexe. L'importance des algèbres simplement connexes dans la théorie des représentations d'algèbres réside dans le fait que souvent il est possible de réduire, avec l'aide des recouvrements, l'étude des modules indécomposables d'une algèbre à ceux d'une algèbre simplement connexe bien choisie. Le premier résultat consiste à donner une vision géométrique du groupe fondamental pour une certaine classe d'algèbre : les algèbres d'incidence. Ces algèbres ont une particularité : leur groupe fondamental ne dépend pas du choix de la présentation. Ainsi, à chaque algèbre d'incidence, il est possible d'associer un groupe fondamental algébrique. Par ailleurs, à partir de ce poset, est possible de construire un complexe simplicial qui possède quant à lui un groupe fondamental topologique. Nous prouvons, ici, que ces groupes sont isomorphes. Ce lien permet non seulement d'adapter certains théorèmes de topologie tel que le théorème de Van Kampen, mais également de faire le lien entre des résultats déjà établis en topologie et d'autres en théorie des représentations. Dans un deuxième temps, afn de donner une vision géométrique de tout groupe fondamen- tal algébrique, nous avons associé à toute présentation (Q; I) d'algèbre une algèbre d'incidence A dont le groupe fondamental a la particularité, d'après le résultat précédent, de se réaliser géométriquement. Nous montrons ensuite que les groupes fondamentaux précédents s'insèrent dans la suite exacte : 1 --> H --> Pi1(Q; I) --> Pi1(A) --> 1 où H est un sous-groupe décrit par générateur et relations. Nous donnons également de nom- breux cas où le sous groupe H est trivial. Enfin, nous donnons un algorithme de calcul du groupe fondamental, qui permet de présenter rapidement le groupe fondamental par générateurs et relations. Pour calculer le groupe fondamental d'un couple (Q; I), nous montrons qu'il est isomorphe au groupe fondamental d'un couple (Q0; I0) où Q0 contient un sommet de moins que Q. Ainsi en réitérant le processus, le groupe fondamental Pi1(Q; I) est isomorphe au groupe fondamental d'un carquois ne contenant qu'un seul sommet, ce qui donne une présentation par générateurs et relations.

Dans cette thèse, nous étudions la structure d'algèbre de Lie du premier groupe H1(A,A) de la cohomologie de Hochschild pour une k-algèbre A. Cela nous permet<br />aussi d'examiner la composante de l'identité du groupe algébrique des automorphismes extérieurs de A en caractéristique zéro.<br /> <br />La première partie est consacrée à l'étude de l'algèbre de Lie H1(A,A) d'une algèbre monomiale A de dimension finie. Ceci se fait en termes de la combinatoire du carquois de A, sans restriction sur la caractéristique du corps k. Nous montrons que le quotient de Lie semi-simple de H1(A,A) par son radical est un produit d'algèbres de Lie pgl(n,k). Des critères combinatoires pour la résolubilité, la (semi-)simplicité, la commutativité et la nilpotence sont donnés. <br /> <br />Dans la deuxième partie, nous étudions l'algèbre de Lie H1(kG,kG) de quelques algèbres de groupe pour un corps k de caractéristique p>0. Grace à une Morita équivalence de Gabriel, nous traitons le cas des groupes finis admettant un seul p-sous-groupe de Sylow cyclique. L'algèbre de Lie H1(kG,kG) des groupes finis abéliens est étudiée en utilisant la cohomologie de groupes. Pour p différent de 2, l'algèbre de Lie H1(kG,kG) est semi-simple si et seulement si le p-sous-groupe de Sylow de G est élémentaire. Dans ce cas, H1(kG,kG) est un produit d'algèbres de Lie de Jacobson et Witt.<br /> <br />Enfin, nous examinons l'algèbre de Lie H1(TA,TA) de l'extension triviale TA d'une algèbre A, en particulier d'une algèbre dont le carré du radical est nul. Dans ce dernier cas, le quotient de Lie semi-simple de H1(TA,TA) par son radical est un produit d'algèbres de Lie pgl(n,k) et so(2m,k). L'algèbre de Lie H1(TA,TA) n'est jamais semi-simple. Ce travail se termine par des critères combinatoires sur la<br />résolubilité et sur la commutativité de l'algèbre de Lie H1(TA,TA).

La quantification par déformation et la correspondance de McKay forment les grands thèmes de l'étude qui porte sur des variétés algébriques singulières, des quotients d'algèbres de polynômes et des algèbres de polynômes invariants sous l'action d'un groupe fini. Nos principaux outils sont les cohomologies de Poisson et de Hochschild et la théorie des représentations. Certains calculs formels sont effectués avec Maple et GAP. Nous calculons les espaces d'homologie et de cohomologie de Hochschild des surfaces de Klein, en développant une généralisation du Théorème de HKR au cas de variétés non lisses et utilisons la division multivariée et les bases de Gröbner. La clôture de l'orbite nilpotente minimale d'une algèbre de Lie simple est une variété algébrique singulière sur laquelle nous construisons des star-produits invariants, grâce à la décomposition BGS de l'homologie et de la cohomologie de Hochschild, et à des résultats sur les invariants des groupes classiques. Nous explicitons les générateurs de l'idéal de Joseph associé à cette orbite et calculons les caractères infinitésimaux. Pour les algèbres de Lie simples B, C, D, nous établissons des résultats généraux sur l'espace d'homologie de Poisson en degré 0 de l'algèbre des invariants, qui vont dans le sens de la conjecture d'Alev et traitons les rangs 2 et 3. Nous calculons des séries de Poincaré à 2 variables pour des sous-groupes finis du groupe spécial linéaire en dimension 3, montrons que ce sont des fractions rationnelles, et associons aux sous-groupes une matrice de Cartan généralisée pour obtenir une correspondance de McKay algébrique en dimension 3. Toute l'étude a donné lieu à 4 articles.

Nous construisons un inverse explicite à l'isomorphisme d'antisymétrisation de Cartan-Eilenberg qui permet d'identifier la cohomologie d'une algèbre de Lie sur un anneau de caractéristique zéro et la cohomologie de Hochschild de son algèbre universelle enveloppante.

L’objet de cette thèse est l’étude des catégories singulières des k-algèbres associatives surun anneau commutatif k. On développe la théorie de Morita pour les catégories singulières. Plus précisément, on propose une définition d’équivalence singulière à la Morita avec niveau, qui généralise la notion d’équivalence stable à la Morita introduite par Michel Broué. On montre qu’une équivalence dérivée de type standard induit une équivalence singulière à la Morita avec niveau. La deuxième partie de cette thèse est l’étude de la cohomologie de Hochschild singulière HH_sg(A,A) c’est-à-dire, l’espace des morphismes de A vers A[i] dans la catégorie singulière Dsg(A Aop) pour tous les nombres entiers i. Similaire à la cohomologie de Hochschild HH_(A,A), on montre que la cohomologie de Hochschild singulière HH_sg(A,A) est une algèbre de Gerstenhaber et donne une interprétation pour le crochet de Lie sur HH_sg(A,A) du point de vue de la théorie de PROP. On peut associer un complexe de cochaînes, qu’on appelle complexe de cochaînes de Hochschild singulières, C_sg(A,A) qui calcule la cohomologie de Hochschild singulière HH_sg(A,A). Alors on étudie une structure algébrique supérieure (e.g. l’algèbre de B1) sur C_sg(A,A) et propose une version singulière d’une conjecture de Deligne. L’objet de la troisième partie de cette thèse est de montrer que la structure d’algèbre de Gerstenhaber sur la cohomologie de Hochschild singulière est invariante par équivalences dérivées et équivalences singulières à la Morita avec niveau. L’idée de cette démonstration est analogue à l’approche développée par Keller lorsqu’il démontre que la structure d’algèbre de Gerstenhaber sur la cohomologie de Hochschild est invariante par équivalences dérivées. Similaire à la démonstration par Keller, on réalise HH_sg(A,A) avec le crochet de Lie comme une algèbre de Lie graduée du groupe algébrique gradué associé au groupe de Picard singulière sgDPic(A). / In this thesis, we are concerned with some aspects of singular categories of unitalassociative k-algebras over a commutative ring k. First, we develop a Morita theory for singular categories. Analogous to the classical Morita theory, we propose a definition of singular equivalence of Morita type with level. This follows and generalizes a definition of stable equivalence of Morita type introduced by Michel Broué. A derived equivalence of standard type induces a singular equivalence of Morita type with level. Second, we study the Hom-space from A to A[i] in the singular category Dsg(AkAop) of the enveloping algebra AkAop, where A is an associative k-projective k-algebra and i is any integer. Recall that the i-th Hochschild cohomology group HHi(A,A) can be realized as the Hom-space from A to A[i] in the bounded derived category Db(A k Aop). From this motivation, we call HomDsg(AkAop)(A,A[i]) the i-th singular Hochschild cohomology group and denote this group by HHi sg(A,A). Analogous to the Hochschild cohomology ring HH_(A,A), we prove that there is a Gerstenhaber algebra structure on the singular Hochschild ring HH_sg(A,A) and provide an interpretation of the Lie bracket from the point of view of PROP theory. We also associate a cochain complex, which we call singular Hochschild cochain complex, C_sg(A,A) to the singular Hochschild cohomology. Thenwe study the higher algebraic structures (e.g. B1-algebra) on C_sg(A,A) and propose asingular version of the Deligne conjecture. Following Keller’s approach which was developed for derived equivalences, we establish the invariance of the Gerstenhaber algebra structure which we defined on the singular Hochschild cohomology under singular equivalence of Morita type with level. In this proof, we define the singular derived Picard group sgDPic(A) of an associative algebra A and develop what we call a singular infinitesimal deformation theory. Then we realize HH_sg(A,A) as the graded Lie algebra of the ‘graded algebraic group’ associated to sgDPic(A).

La quantification par déformation et la correspondance de McKay forment les grands thèmes de l'étude qui porte sur des variétés algébriques singulières, des quotients d'algèbres de polynômes et des algèbres de polynômes invariants sous l'action d'un groupe fini. Nos principaux outils sont les cohomologies de Poisson et de Hochschild et la théorie des représentations. Certains calculs formels sont effectués avec Maple et GAP. Nous calculons les espaces d'homologie et de cohomologie de Hochschild des surfaces de Klein, en développant une généralisation du Théorème de HKR au cas de variétés non lisses et utilisons la division multivariée et les bases de Gröbner. La clôture de l'orbite nilpotente minimale d'une algèbre de Lie simple est une variété algébrique singulière sur laquelle nous construisons des star-produits invariants, grâce à la décomposition BGS de l'homologie et de la cohomologie de Hochschild, et à des résultats sur les invariants des groupes classiques. Nous explicitons les générateurs de l'idéal de Joseph associé à cette orbite et calculons les caractères infinitésimaux. Pour les algèbres de Lie simples B, C, D, nous établissons des résultats généraux sur l'espace d'homologie de Poisson en degré 0 de l'algèbre des invariants, qui vont dans le sens de la conjecture d'Alev et traitons les rangs 2 et 3. Nous calculons des séries de Poincaré à 2 variables pour des sous-groupes finis du groupe spécial linéaire en dimension 3, montrons que ce sont des fractions rationnelles, et associons aux sous-groupes une matrice de Cartan généralisée pour obtenir une correspondance de McKay algébrique en dimension 3. Toute l'étude a donné lieu à 4 articles / Deformation quantization and McKay correspondence form the main themes of the study which deals with singular algebraic varieties, quotients of polynomial algebras, and polynomial algebras invariant under the action of a finite group. Our main tools are Poisson and Hochschild cohomologies and representation theory. Certain calculations are made with Maple and GAP. We calculate Hochschild homology and cohomology spaces of Klein surfaces by developing a generalization of HKR theorem in the case of non-smooth varieties and use the multivariate division and the Groebner bases. The closure of the minimal nilpotent orbit of a simple Lie algebra is a singular algebraic variety : on this one we construct invariant star-products, with the help of the BGS decomposition of Hochschild homology and cohomology, and of results on the invariants of the classical groups. We give the generators of the Joseph ideal associated to this orbit and calculate the infinitesimal characters. For simple Lie algebras of type B, C, D, we establish general results on the Poisson homology space in degree 0 of the invariant algebra, which support Alev's conjecture, then we are interested in the ranks 2 and 3. We compute Poincaré series of 2 variables for the finite subgroups of the special linear group in dimension 3, show that they are rational fractions, and associate to the subgroups a generalized Cartan matrix in order to obtain a McKay correspondence in dimension 3. All the study comes from 4 papers

Cette thèse est consacrée à l'étude des revêtements galoisiens et à la recherche du revêtement universel et du groupe fondamental pour les algèbres de dimension finie, connexes et basiques sur un corps algébriquement clos. Pour ce faire, nous partons d'une construction déjà existante: le groupe fondamental associé à toute présentation d'une telle algèbre A par son carquois ordinaire Q et des relations admissibles. Nous commençons par comparer les différentes présentations de A. Les automorphismes de l'algèbre kQ des chemins de Q permettent de relier deux présentations de A et parmi ceux-là, nous distinguons les dilatations et les transvections: elles engendrent le groupe des automorphismes de kQ, en outre, les groupes fondamentaux de deux présentations de A reliées par une dilatation ou une transvection sont liés entre eux par un passage au quotient. Ceci permet d'exhiber un groupe fondamental pour A lorsque le corps de base est de caractéristique nulle et lorsque Q n'a pas de double raccourci. Ces raisonnements se transposent à l'étude des revêtements galoisiens de A puisqu'à chaque présentation de A est associé un revêtement galoisien de A et de groupe le groupe fondamental de la présentation. Ainsi, sous les hypothèses précédentes fournissant le groupe fondamental de A, un revêtement universel de A existe. Ce dernier résultat est également démontré pour un corps de caractéristique quelconque, lorsque A est monomiale et lorsque Q n'a ni flèches multiples ni cycle orienté tout en admettant d'éventuels double raccourcis.