L’utilisation du manuel scolaire dans l’enseignement-apprentissage des mathématiques semble occuper une place importante, et ce, pour plusieurs raisons dont une perception de fiabilité de ce matériel (Lebrun, 2006). Nous pouvons également souligner que le manuel scolaire ne sert pas uniquement de soutien aux apprentissages des élèves; il serait aussi une source importante de renseignement pour la personne enseignante dans sa préparation et sa planification, au point même qu’il se substituerait parfois aux programmes de formation lors de l’identification des contenus à enseigner (Spallanzani et al., 2001). Ces constats nous invitent à nous intéresser au contenu du manuel scolaire. Plusieurs études portent sur un aspect particulier du manuel de mathématique, comme la nature des problèmes algébriques qu’on y retrouve (Marchand et Bednarz, 1999; Cotnoir, 2010), ou encore l’utilisation des illustrations lors de la résolution de problème arithmétiques (Biron et Chaput, 2001). Tout en étant très pertinents, ces travaux ne donnent pas accès à un portrait complet des dispositifs mis en œuvre pour aborder un contenu mathématique particulier. C’est pourquoi nous avons décidé d'examiner un concept mathématique précis, soit la notation exponentielle qui, par ailleurs, a fait l’objet de peu de recherches (Cangelosi et al., 2013; Mullet et Cheminat, 1995; Pitta-Panzatti et al., 2007; Sastre et Mullet, 1998; Weber, 2002). Dans cette étude, nous voulons répondre à la question générale suivante : quel contenu retrouve-t-on dans les manuels scolaires de mathématiques québécois, de la 5e année du primaire à la 3e année du secondaire, en lien avec l’enseignement-apprentissage de la notation exponentielle? Pour ce faire, nous avons réalisé une analyse de contenu (Landry, 1997) en reprenant certains éléments de l’analyse thématique (Paillé et Mucchielli, 2010). Nous avons élaboré une grille d’analyse et un guide de codification qui nous ont permis d’observer le vocabulaire (Pierce et Fontaine, 2009) et le symbolisme (Bessot et Eberhard, 1982; Biron, 2012; Pimm, 1987, Roegiers, 1998a) employés dans les manuels scolaires en lien avec la notation exponentielle, à travers les définitions, les exercices et les problèmes (Gouvernement du Québec, 1988; Lakatos, 1984; Ouvrier-Buffet, 2006; Vinner, 1976, 1977, 2002; Wilson, 1990) qui y sont présentés. Les principaux résultats de cette étude mettent en évidence des aspects communs entre les collections et les cycles d'enseignement. Notamment, nous observons une concentration assez importante de l’information sur la notation exponentielle, souvent à l’intérieur d’une sous-section d’un même chapitre. Aussi, sur le plan du symbolisme (Pimm, 1987), il y a peu de mention explicite en lien avec la position et la taille relative de l’exposant par rapport à la base dans les définitions, si ce n'est que parfois par l’observation de cette convention dans les exemples. Ces mêmes exemples possèdent souvent des particularités qui peuvent entrainer une confusion dans la compréhension de la notation exponentielle, confusion qui peut être amplifié par une absence complète de contrexemple dans l’ensemble des définitions et des exercices (Wilson, 1990). Il apparait aussi que l’approche privilégiée pour l’appropriation de la notation exponentielle repose essentiellement, pour la grande majorité des collections, sur les exercices qui représentent près de la moitié des items analysés dans l’étude. Soulignons également que les problèmes proposés sont relativement variés quant aux contextes, mais sont presque tous à solution unique et à données complètes (Gouvernement du Québec, 1988). En ce qui a trait aux différences entre les collections et les cycles d'enseignement, notons que les définitions sont plutôt en mots pour l’amorce de l’enseignement-apprentissage de la notation exponentielle au primaire, alors qu’une présence accrue des définitions symboliques et en « mots et symboliques » apparait au secondaire. Aussi, les fonctions de ces exercices changent selon les cycles d’enseignement. Au primaire, ce sont les fonctions d'encodage, de décodage, de déduction d’une valeur manquante et de comparaison d’effet qui dominent. Au 1er cycle du secondaire, ce sont les fonctions de déduction d’une valeur manquante et de conjecture-vérification que nous retrouvons. Finalement, c’est la fonction de réduction qui est la plus présente au 2e cycle du secondaire.

La segmentation des images est généralement l'étape la plus importante dans un système d'analyse d'images : dans l'aide au diagnostic en médecine, en navigation autonome des véhicules, etc. Toutes les tâches ultérieures de ces applications, comme l'extraction de primitives, la détection d'une position ou la reconnaissance d'un objet, dépendent fortement de la qualité de la segmentation. L'inconvénient majeur des algorithmes de segmentation actuels est leur incapacité à s'adapter aux différents types d'images. <br />L'apparition des "métaheuristiques" remonte aux années quatre-vingts. Ces algorithmes stochastiques d'optimisation globale peuvent être appliqués à tout problème, du moment qu'il est formulé sous la forme de l'optimisation de critère(s). Ces algorithmes sont inspirés par des analogies avec la physique (recuit simulé, recuit microcanonique), avec la biologie (algorithmes évolutionnaires) ou avec l'éthologie (colonies de fourmis, essaims particulaires). Ils se prêtent aussi à toutes sortes d'extensions, notamment en optimisation multiobjectif.<br />Afin de concevoir un système de segmentation qui permet d'avoir une meilleure qualité de la segmentation sur une grande variété d'images, nous formulons la segmentation comme un problème d'optimisation, mono-objectif dans un premier temps, puis multiobjectif. <br />Dans l'approche mono-objectif, nous adaptons plusieurs métaheuristiques au problème de la segmentation. Une application sur des images par résonance magnétique (IRM) cérébrales est ensuite réalisée. Cette adaptation des différentes métaheuristiques pour la segmentation nous permet de les comparer sur les plans suivants : la complexité, la vitesse de convergence, l'adaptabilité, et la reproductibilité des solutions. <br />Nous proposons ensuite une approche multiobjectif pour mieux résoudre le problème de la segmentation des images. Dans ce contexte, nous développons trois schémas de systèmes de segmentation adaptatifs : le premier est basé sur l'agrégation de critères, le second sur l'approche non-Pareto, et le troisième sur l'approche Pareto. Enfin, dans le cas particulier de la segmentation des espaces de ventricules cérébraux, nous appliquons différentes approches sur des IRM saines et d'autres pathologiques.

L'objectif de cette thèse est d'étudier et de donner des outils pour la compréhension des problèmes de perturbations singulières pour des modèles épidémiques et des problèmes de dynamiques de populations. Les modèles considérés sont des équations structurées en âge qui peuvent dans certains cas se réécrire comme des équations à retard. L'étude de ces classes d'exemples s'est faite avec succès et a permis de comprendre et de mettre en évidence toute la complexité et l'étendue de ces problèmes. Comme on peut le remarquer dans la littérature, l'une des clés fondamentales à la compréhension de ces problèmes est l'étude des variétés normalement hyperboliques en dimension infinie que nous avons largement étudiées dans cette thèse. L'approche utilisée est la méthode de Lyapunov-Perron. Ce qui nous a amené à étudier les problèmes de persistance et d'existence de trichotomie (dichotomie) exponentielle qui sont des éléments fondamentaux dans l'utilisation de cette méthode.

Cette thèse examine la dispersion multivariée des modelés normales stables Tweedie. Trois estimateurs de fonction variance généralisée sont discutés. Ensuite dans le cadre de la famille exponentielle naturelle deux caractérisations du modèle normal-Poisson, qui est un cas particulier de modèles normales stables Tweedie avec composante discrète, sont indiquées : d'abord par fonction variance et ensuite par fonction variance généralisée. Le dernier fournit la solution à un problème particulier d'équation de Monge-Ampère. Enfin, pour illustrer l'application de la variance généralisée des modèles Tweedie stables normales, des exemples à partir des données réelles sont fournis. / This thesis examines the multivariate dispersion of normal stable Tweedie (NST) models. Three generalize variance estimators of some NST models are discussed. Then within the framework of natural exponential family, two characterizations of normal Poisson model, which is a special case of NST models with discrete component, are shown : first by variance function and then by generalized variance function. The latter provides a solution to a particular Monge-Ampere equation problem. Finally, to illustrate the application of generalized variance of normal stable Tweedie models, examples from real data are provided.

L’objectif de cette thèse est d’étudier et de donner des outils pour la compréhension des problèmes de perturbations singulières pour des modèles épidémiques et des problèmes de dynamiques de populations. Les modèles considérés sont des équations structurées en âge qui peuvent dans certains cas se réécrire comme des équations à retard. L’étude de ces classes d’exemples s’est faite avec succès et a permis de comprendre et de mettre en évidence toute la complexité et l’étendue de ces problèmes. Comme on peut le remarquer dans la littérature, l’une des clés fondamentales à la compréhension de ces problèmes est l’étude des variétés normalement hyperboliques en dimension infinie que nous avons largement étudiées dans cette thèse. L’approche utilisée est la méthode de Lyapunov-Perron. Ce qui nous a amené à étudier les problèmes de persistance et d’existence de trichotomie (dichotomie) exponentielle qui sont des éléments fondamentaux dans l’utilisation de cette méthode. / In this thesis we aim to give tools to understand singular perturbations in epidemic model sand population dynamic models. We study some singularly perturbed delay differential equation which does not enter into the class frame work of geometric singular perturbation for delay differential equations. An example of singularly perturbed age structured model is also studied. The study of these examples allowed us to understand and highlight some complexities of these problems. One of the main tools in understanding such questions is the normally hyperbolic manifolds theory which is our central focus in this thesis. The approach used here is the Lyapunov-Perron method. Therefore the problems of persistence and existence of exponential trichotomy (dichotomy) are also stressed since there are one of the mainingredients of this method.

Dans cette thèse, nous affinons l'étude des fonctions presque automorphes sur time scales introduites dans la littérature par Lizama et Mesquita, nous explorons de nouvelles propriétés de ces fonctions et appliquons les résultats à étudier l'existence et l'unicité de solution presque automorphe d'une nouvelle classe d'équations dynamiques sur time scales. Puis nous introduisons la notion de fonction presque automorphe de classe Cn, nous investiguons les propriétés fondamentales de ces fonctions et utilisons les résultats pour établir l'existence, l'unicité et la stabilité globale et exponentielle de solution presque automorphe de classe C1 d'un système d'équations dynamiques avec délai variable fini modélisant un réseau de neurones. Ensuite nous présentons le concept de fonctions asymptotiquement presque automorphes de classe Cn. Nous démontrons quasiment toutes les propriétés de ces fonctions, lesquelles nous permettent, sous des hypothèses convenables, d'établir, d'une part, que l'unique solution d'un problème avec condition initiale est asymptotiquement presque automorphe de classe C1, et d'autre part, l'existence et l'unicité de solution asymptotiquement presque automorphe pour une équation intégro-dynamque avec conditon initiale non locale sur time scales. Enfin, en utilisant la notion de semi-groupe sur time scales de Hamza et Oraby, nous généralisons les résultats de Lizama et Mesquita en dimension infinie, c'est-à-dire, nous étudions l'existence et l'unicité des solutions presque automorphes pour des équations dynamiques semi linéaires abstraites sur time scales. / In this thesis, we refine the notion of almost automorphic functions on time scales introduced in the literature by Lizama and Mesquita, we explore some new properties of such functions and apply the results to study the existence and uniqueness of almost automorphic solution for a new class of dynamic equations on time scales. Then we introduce the concept of almost automorphic functions of order n on time scales, we investigate the fundamental properties of these functions and we use the findings to establish the existence and uniqueness and the global stability of almost automorphic solution of one to a first order dynamical equation with finite time varying delay. Then we present the concept of asymptotically almost automorphic functions of order n on time scales. We study the properties of these functions and we use the results to prove, under suitable hypothesis, that the unique solution to a problem with initial condition is asymptotically almost automorphic of order one at the one hand, and the existence and uniqueness of asymptotically almost automorphic solution for an integro-dynamic equation with nonlocal initial conditon on time scales in other hand. Finally, using the concept of semigroup on time scales introduced by Hamza and Oraby, we generalize the results in Lizama and Mesquita's paper for abstract Banach spaces, that is, we study the existence and uniqueness of almost automorphic solution for semilinear abstract dynamic equations on time scales.

Dans cette thèse, nous traitons de l'optimisation du taux de décroissance exponentielle uniforme de l'équation des ondes sur un domaine W mono ou bidimensionnel. L'amortissement se fait à l'aide d'un feedback en vitesse égal à une certaine constante k sur un sous domaine w. Ce taux de décroissance est lié à l'abscisse spectrale m de l'opérateur associé au problème et à une quantité géométrique g, introduite par Bardos, Lebeau et Rauch dans le cas bidimensionnel. On montre que l'abscisse spectrale est dérivable par rapport à k à l'origine, et on étudie cette dérivée J pour approximer m par le produit de k et J. Dans la première partie de la thèse, nous étudions de façon théorique les fonctionnelles J et g. Nous caractérisons les géométries optimales dans le cas d'un intervalle ou d'un carré pour des valeurs particulières de la contrainte d'aire. Dans le cas du carré, nous concevons un algorithme de calcul exact de la quantité géométrique dans le cas où w est un réunion de carrés basé sur un nouveau théorème d'interversion de limites. La seconde partie est dédiée à l'optimisation numérique des quantités J et g à l'aide de différents algorithmes génétiques. Les résultats obtenus ne sont pas intuitifs.

Cette thèse montre la possibilité d'une application rigoureuse de la méthode d'intégration numérique double-exponentielle introduite par Takahasi et Mori en 1974, et sa pertinence pour les calculs à grande précision en théorie des nombres. Elle contient en particulier une étude détaillée de cette méthode, des critères simples sur son champ d'application, et des estimations rigoureuses des termes d'erreur. Des paramètres explicités et précis permettent de l'employer aisément pour le calcul garanti de fonctions définies par des intégrales. Cette méthode est également appliquée en détail au calcul de transformées de Mellin inverses de facteurs gamma intervenant dans les calculs numériques de fonctions L. Par une étude unifiée, ce travail démontre la complexité d'un algorithme de M. Rubinstein et permet de proposer des algorithmes de calcul de valeurs de fonctions L quelconques dont le résultat est garanti et dont la complexité est meilleure en la précision.

Stuttgart, Univ., Habil.-Schr., 2003.

Cette thèse porte sur les équations d’évolution et s’articule autour de trois parties. Dans la première partie, on se propose de se concentrer sur le critère oscillatoire de certaines équations différentielles. Des résultats classiques sur les fonctions presque-périodiques sont rassemblés dans le premier chapitre. Le deuxième chapitre de cette thèse a pour objectif de prouver l’existence d’une solution presque-périodique de Besicovitch d’une équation différentielle de second ordre sur un espace de Hilbert. L’approche utilisée se base sur un formalisme variationnel. La deuxième partie de cette thèse traite le comportement asymptotique des problèmes de Cauchy dans le cas non autonome. Les semi-groupes et les familles d’évolution étant les outils principaux utilisés dans cette partie, le troisième chapitre introduit des résultats importants de cette théorie, notamment ceux permettant de caractériser la stabilité des semigroupes et des familles d’évolution périodiques. Dans le quatrième chapitre de cette contribution, on prouve, en utilisant une approche basée sur les semigroupes, un résultat liant la bornitude de solutions de problèmes de Cauchy périodiques et la stabilité exponentielle uniforme des familles d’évolution issues de ces problèmes. Dans une troisième partie, on focalise l’attention sur quelques résultats sur la dichotomie exponentielle comme une propriété liée au comportement asymptotique des systèmes différentiels. Quelques résultats connus sont, par suite, réunis au cinquième chapitre qui introduit brièvement la notion de dichotomie exponentielle. Dans un dernier chapitre, une caractérisation de la dichotomie exponentielle d’une famille d’évolution en termes de bornitude des solutions de problèmes de Cauchy opératoriels correspondants sera démontrée. / This PhD thesis deals with the evolution equations and is organized in three parts. The first part is devoted to the almost periodic solutions of certain differential equations. Classic results on the almost periodic functions are collected in the first chapter. The second chapter of this thesis aims to prove the existence of an almost-periodic solution of Besicovitch of a second-order differential equation on Hilbert space. The used approach is based on a variational formalism. In the second part of this thesis, we study the asymptotic behavior of Cauchy problems in the non-autonomous case. We give in the third chapter important results on semigroups and evolution families, namely, those allowing to characterize the stability of semigroups and periodic evolution families. We prove in the fourth chapter sufficient conditions for the uniform exponential stability of a strongly continuous, q-periodic evolution family acting on a complex Banach space. The last part in this work focuses the attention on some results on the exponential dichotomy as a property for the asymptotic behavior of the differential systems. Some well-known results are given in the fifth chapter which introduces briefly the concept of the exponential dichotomy. A characterization of the exponential dichotomy for evolution family in terms of boundedness of the solutions to periodic operatorial Cauchy problems will be established.