Cette thèse examine la dispersion multivariée des modelés normales stables Tweedie. Trois estimateurs de fonction variance généralisée sont discutés. Ensuite dans le cadre de la famille exponentielle naturelle deux caractérisations du modèle normal-Poisson, qui est un cas particulier de modèles normales stables Tweedie avec composante discrète, sont indiquées : d'abord par fonction variance et ensuite par fonction variance généralisée. Le dernier fournit la solution à un problème particulier d'équation de Monge-Ampère. Enfin, pour illustrer l'application de la variance généralisée des modèles Tweedie stables normales, des exemples à partir des données réelles sont fournis. / This thesis examines the multivariate dispersion of normal stable Tweedie (NST) models. Three generalize variance estimators of some NST models are discussed. Then within the framework of natural exponential family, two characterizations of normal Poisson model, which is a special case of NST models with discrete component, are shown : first by variance function and then by generalized variance function. The latter provides a solution to a particular Monge-Ampere equation problem. Finally, to illustrate the application of generalized variance of normal stable Tweedie models, examples from real data are provided.

Après avoir fait un rappel sur les généralités concernant les familles exponentielles naturelles et  les lois Tweedie univariées qui en sont un exemple particulier, nous montrerons comment étendre ces lois au cas multivarié. Une première construction permettra de définir des vecteurs aléatoires Tweedie paramétrés pas un vecteur de moyenne et une matrice de dispersion. Nous montrerons que les corrélations entre les lois marginales peuvent être contrôlées et varient entre -1 et 1. Nous verrons aussi que ces vecteurs ont quelques propriétés communes avec les vecteurs gaussiens. Nous en donnerons une représentation matricielle qui permettra d'en simuler des observations. La seconde construction permettra d'introduire les modèles Tweedie multiples constitués d'une variable Tweedie dont l'observation sera la dispersion des autres marges, toutes de lois Tweedie elles aussi. Nous donnerons la variance généralisée de ces lois et montrerons que cette dernière peut-être estimée efficacement. Enfin, nous verrons que, modulo certaines restrictions, nous pourrons donner une caractérisation par la fonction de variance généralisée des familles exponentielles naturelles générées par ces lois. / After a reminder of the natural exponential families framework and the univariate Tweedie distributions, we build two multivariate extension of the latter. A first construction, called Tweedie random vector, gives a multivariate Tweedie distribution parametrized by a mean vector and a dispersion matrix. We show that the correlations between the margins can be controlled and vary between -1 and 1. Some properties shared with the well-known Gaussian vector are given. By giving a matrix representation, we can simulate observations of Tweedie random vectors. The second construction establishes the multiple stable Tweedie models. They are vectors of which the first component is Tweedie and the others are independant Tweedie, given the first one, and with dispersion parameter given by an observation of the first component. We give the generalized variance and show that it is a product of powered component of the mean and give an efficient estimator of this parameter. Finally, we can show, with some restrictions, that the generalized variance is a tool which can be used for characterizing the natural exponential families generated by multiple stable Tweedie models.

Ce travail de thèse porte sur différentes caractérisations des modèles multivariés de stables-Tweedie multiples dans le cadre des familles exponentielles naturelles sous la propriété de "steepness". Ces modèles parus en 2014 dans la littérature ont été d’abord introduits et décrits sous une forme restreinte des stables-Tweedie normaux avant les extensions aux cas multiples. Ils sont composés d’un mélange d’une loi unidimensionnelle stable-Tweedie de variable réelle positive fixée, et des lois stables-Tweedie de variables réelles indépendantes conditionnées par la première fixée, de même variance égale à la valeur de la variable fixée. Les modèles stables-Tweedie normaux correspondants sont ceux du mélange d’une loi unidimensionnelle stable-Tweedie positive fixé et les autres toutes gaussiennes indépendantes. A travers des cas particuliers tels que normal, Poisson, gamma, inverse gaussienne, les modèles stables-Tweedie multiples sont très fréquents dans les études de statistique et probabilités appliquées. D’abord, nous avons caractérisé les modèles stables-Tweedie normaux à travers leurs fonctions variances ou matrices de covariance exprimées en fonction de leurs vecteurs moyens. La nature des polynômes associés à ces modèles est déduite selon les valeurs de la puissance variance à l’aide des propriétés de quasi orthogonalité, des systèmes de Lévy-Sheffer, et des relations de récurrence polynomiale. Ensuite, ces premiers résultats nous ont permis de caractériser à l’aide de la fonction variance la plus grande classe des stables-Tweedie multiples. Ce qui a conduit à une nouvelle classification laquelle rend la famille beaucoup plus compréhensible. Enfin, une extension de caractérisation des stables-Tweedie normaux par fonction variance généralisée ou déterminant de la fonction variance a été établie via leur propriété d’indéfinie divisibilité et en passant par les équations de Monge-Ampère correspondantes. Exprimées sous la forme de produit des composantes du vecteur moyen aux puissances multiples, la caractérisationde tous les modèles multivariés stables-Tweedie multiples par fonction variance généralisée reste un problème ouvert. / In the framework of natural exponential families, this thesis proposes differents characterizations of multivariate multiple stables-Tweedie under "steepness" property. These models appeared in 2014 in the literature were first introduced and described in a restricted form of the normal stables-Tweedie models before extensions to multiple cases. They are composed by a fixed univariate stable-Tweedie variable having a positive domain, and the remaining random variables given the fixed one are reals independent stables-Tweedie variables, possibly different, with the same dispersion parameter equal to the fixed component. The corresponding normal stables-Tweedie models have a fixed univariate stable-Tweedie and all the others are reals Gaussian variables. Through special cases such that normal, Poisson, gamma, inverse Gaussian, multiple stables-Tweedie models are very common in applied probability and statistical studies. We first characterized the normal stable-Tweedie through their variances function or covariance matrices expressed in terms of their means vector. According to the power variance parameter values, the nature of polynomials associated with these models is deduced with the properties of the quasi orthogonal, Levy-Sheffer systems, and polynomial recurrence relations. Then, these results allowed us to characterize by function variance the largest class of multiple stables-Tweedie. Which led to a new classification, which makes more understandable the family. Finally, a extension characterization of normal stable-Tweedie by generalized variance function or determinant of variance function have been established via their infinite divisibility property and through the corresponding Monge-Ampere equations. Expressed as product of the components of the mean vector with multiple powers parameters reals, the characterization of all multivariate multiple stable- Tweedie models by generalized variance function remains an open problem.