Les familles exponentielles de lois de probabilité offrent une panoplie de modèles très utiles en statistique ainsi qu'en probabilités. Les travaux résumés dans ce mémoire s'intéressent à leurs caractérisations et interprétations probabilistes, ainsi que leurs applications en statistique. Dans la première partie, une nouvelle classe de familles exponentielles naturelles (FEN) est introduite puis décrite complétement. Elle s'appuie sur une transformation dite de Lindsay des FEN de fonctions variance cubiques. Des interprétations probabilistes par les lois de temps de frappe des processus stochastiques sont données. Enfin, à travers une notion de d-pseudo-orthogonalité des polynômes associés à une densité de FEN, plusieurs caractérisations des FEN de fonctions variance polynomiales de degré 2d-1 sont données pour d=2,3,... . La deuxième partie est consacrée au déterminant des matrices de moments des lois multidimensionnelles. Deux aspects sont principalement explorés : le premier a trait à une caractérisation du déterminant de la hessienne d'une transformée de Laplace et ses conséquences ; le second concerne de meilleurs estimateurs de la variance généralisée ou du déterminant de la matrice de variance-covariance. Une nouvelle caractérisation des FEN Poisson-gaussiennes moyennant la variance généralisée est alors donnée. La troisième partie étudie des modèles exponentiels, de plus en plus appropriés et complémentaires, pour l'analyse statistique des données de comptage qui révèle une variabilité plus grande que la moyenne prédite. Ce phénomène dit de surdispersion par rapport à la loi de Poisson est examiné à travers des FEN binomiale négative généralisée et arcsinus stricte ainsi que d'une grande classe des FEN dite de Hinde-Demétrio, laquelle englobe la binomiale négative et l'arcsinus stricte. Des estimations et test d'hypothèses sur certains paramètres des modèles surdispersés sont proposés et appliquées sur des données réelles. Dans la dernière partie, deux techniques d'estimation sont présentées. La première est relative à une loi implicite ou conditionnelle d'un paramètre connaissant les observations. La seconde est une approche pour montrer l'unimodalité de la vraisemblance dans un modèle de capture séquentielle. Cette dernière est appliquée à l'estimation de la biomasse des saumons dans le bassin de l'Adour.

Ce travail de thèse porte sur différentes caractérisations des modèles multivariés de stables-Tweedie multiples dans le cadre des familles exponentielles naturelles sous la propriété de "steepness". Ces modèles parus en 2014 dans la littérature ont été d’abord introduits et décrits sous une forme restreinte des stables-Tweedie normaux avant les extensions aux cas multiples. Ils sont composés d’un mélange d’une loi unidimensionnelle stable-Tweedie de variable réelle positive fixée, et des lois stables-Tweedie de variables réelles indépendantes conditionnées par la première fixée, de même variance égale à la valeur de la variable fixée. Les modèles stables-Tweedie normaux correspondants sont ceux du mélange d’une loi unidimensionnelle stable-Tweedie positive fixé et les autres toutes gaussiennes indépendantes. A travers des cas particuliers tels que normal, Poisson, gamma, inverse gaussienne, les modèles stables-Tweedie multiples sont très fréquents dans les études de statistique et probabilités appliquées. D’abord, nous avons caractérisé les modèles stables-Tweedie normaux à travers leurs fonctions variances ou matrices de covariance exprimées en fonction de leurs vecteurs moyens. La nature des polynômes associés à ces modèles est déduite selon les valeurs de la puissance variance à l’aide des propriétés de quasi orthogonalité, des systèmes de Lévy-Sheffer, et des relations de récurrence polynomiale. Ensuite, ces premiers résultats nous ont permis de caractériser à l’aide de la fonction variance la plus grande classe des stables-Tweedie multiples. Ce qui a conduit à une nouvelle classification laquelle rend la famille beaucoup plus compréhensible. Enfin, une extension de caractérisation des stables-Tweedie normaux par fonction variance généralisée ou déterminant de la fonction variance a été établie via leur propriété d’indéfinie divisibilité et en passant par les équations de Monge-Ampère correspondantes. Exprimées sous la forme de produit des composantes du vecteur moyen aux puissances multiples, la caractérisationde tous les modèles multivariés stables-Tweedie multiples par fonction variance généralisée reste un problème ouvert. / In the framework of natural exponential families, this thesis proposes differents characterizations of multivariate multiple stables-Tweedie under "steepness" property. These models appeared in 2014 in the literature were first introduced and described in a restricted form of the normal stables-Tweedie models before extensions to multiple cases. They are composed by a fixed univariate stable-Tweedie variable having a positive domain, and the remaining random variables given the fixed one are reals independent stables-Tweedie variables, possibly different, with the same dispersion parameter equal to the fixed component. The corresponding normal stables-Tweedie models have a fixed univariate stable-Tweedie and all the others are reals Gaussian variables. Through special cases such that normal, Poisson, gamma, inverse Gaussian, multiple stables-Tweedie models are very common in applied probability and statistical studies. We first characterized the normal stable-Tweedie through their variances function or covariance matrices expressed in terms of their means vector. According to the power variance parameter values, the nature of polynomials associated with these models is deduced with the properties of the quasi orthogonal, Levy-Sheffer systems, and polynomial recurrence relations. Then, these results allowed us to characterize by function variance the largest class of multiple stables-Tweedie. Which led to a new classification, which makes more understandable the family. Finally, a extension characterization of normal stable-Tweedie by generalized variance function or determinant of variance function have been established via their infinite divisibility property and through the corresponding Monge-Ampere equations. Expressed as product of the components of the mean vector with multiple powers parameters reals, the characterization of all multivariate multiple stable- Tweedie models by generalized variance function remains an open problem.