L’objectif de cette thèse est d’étudier et de donner des outils pour la compréhension des problèmes de perturbations singulières pour des modèles épidémiques et des problèmes de dynamiques de populations. Les modèles considérés sont des équations structurées en âge qui peuvent dans certains cas se réécrire comme des équations à retard. L’étude de ces classes d’exemples s’est faite avec succès et a permis de comprendre et de mettre en évidence toute la complexité et l’étendue de ces problèmes. Comme on peut le remarquer dans la littérature, l’une des clés fondamentales à la compréhension de ces problèmes est l’étude des variétés normalement hyperboliques en dimension infinie que nous avons largement étudiées dans cette thèse. L’approche utilisée est la méthode de Lyapunov-Perron. Ce qui nous a amené à étudier les problèmes de persistance et d’existence de trichotomie (dichotomie) exponentielle qui sont des éléments fondamentaux dans l’utilisation de cette méthode. / In this thesis we aim to give tools to understand singular perturbations in epidemic model sand population dynamic models. We study some singularly perturbed delay differential equation which does not enter into the class frame work of geometric singular perturbation for delay differential equations. An example of singularly perturbed age structured model is also studied. The study of these examples allowed us to understand and highlight some complexities of these problems. One of the main tools in understanding such questions is the normally hyperbolic manifolds theory which is our central focus in this thesis. The approach used here is the Lyapunov-Perron method. Therefore the problems of persistence and existence of exponential trichotomy (dichotomy) are also stressed since there are one of the mainingredients of this method.

Cette thèse porte sur les équations d’évolution et s’articule autour de trois parties. Dans la première partie, on se propose de se concentrer sur le critère oscillatoire de certaines équations différentielles. Des résultats classiques sur les fonctions presque-périodiques sont rassemblés dans le premier chapitre. Le deuxième chapitre de cette thèse a pour objectif de prouver l’existence d’une solution presque-périodique de Besicovitch d’une équation différentielle de second ordre sur un espace de Hilbert. L’approche utilisée se base sur un formalisme variationnel. La deuxième partie de cette thèse traite le comportement asymptotique des problèmes de Cauchy dans le cas non autonome. Les semi-groupes et les familles d’évolution étant les outils principaux utilisés dans cette partie, le troisième chapitre introduit des résultats importants de cette théorie, notamment ceux permettant de caractériser la stabilité des semigroupes et des familles d’évolution périodiques. Dans le quatrième chapitre de cette contribution, on prouve, en utilisant une approche basée sur les semigroupes, un résultat liant la bornitude de solutions de problèmes de Cauchy périodiques et la stabilité exponentielle uniforme des familles d’évolution issues de ces problèmes. Dans une troisième partie, on focalise l’attention sur quelques résultats sur la dichotomie exponentielle comme une propriété liée au comportement asymptotique des systèmes différentiels. Quelques résultats connus sont, par suite, réunis au cinquième chapitre qui introduit brièvement la notion de dichotomie exponentielle. Dans un dernier chapitre, une caractérisation de la dichotomie exponentielle d’une famille d’évolution en termes de bornitude des solutions de problèmes de Cauchy opératoriels correspondants sera démontrée. / This PhD thesis deals with the evolution equations and is organized in three parts. The first part is devoted to the almost periodic solutions of certain differential equations. Classic results on the almost periodic functions are collected in the first chapter. The second chapter of this thesis aims to prove the existence of an almost-periodic solution of Besicovitch of a second-order differential equation on Hilbert space. The used approach is based on a variational formalism. In the second part of this thesis, we study the asymptotic behavior of Cauchy problems in the non-autonomous case. We give in the third chapter important results on semigroups and evolution families, namely, those allowing to characterize the stability of semigroups and periodic evolution families. We prove in the fourth chapter sufficient conditions for the uniform exponential stability of a strongly continuous, q-periodic evolution family acting on a complex Banach space. The last part in this work focuses the attention on some results on the exponential dichotomy as a property for the asymptotic behavior of the differential systems. Some well-known results are given in the fifth chapter which introduces briefly the concept of the exponential dichotomy. A characterization of the exponential dichotomy for evolution family in terms of boundedness of the solutions to periodic operatorial Cauchy problems will be established.

Es wird gezeigt, dass ein Satz über die Abbildung spektraler Lücken, welcher exponentielle Dichotomie charakterisiert, für eine allgemeine Klasse (SH) von semilinearen hyperbolischen Systemen von partiellen Differentialgleichungen in einem Banach-Raum X von stetigen Funktionen gilt. Dies beantwortet ein Schlüsselproblem für die Existenz und Glattheit invarianter Mannigfaltigkeiten semilinearer hyperbolischer Systeme. Unter natürlichen Annahmen an die Nichtlinearitäten wird gezeigt, dass schwache Lösungen von (SH) einen glatten Halbfluß im Raum X bilden. Für Linearisierungen werden hochfrequente Abschätzungen für Spektren sowie Resolventen unter Verwendung von reduzierten (block)diagonal Systemen hergestellt. Darauf aufbauend wird der Abbildungssatz für spektrale Lücken im kleinen Raum X bewiesen: Eine offene spektrale Lücke des Generators wird exponentiell auf eine offene spektrale Lücke der Halbruppe abgebildet und umgekehrt. Es folgt, dass ein Phänomen wie im Gegenbeispiel von Renardy nicht auftreten kann. Unter Verwendung der allgemeinen Theorie implizieren die Ergebnisse die Existenz von glatten Zentrumsmannigfaltigkeiten für (SH). Die Ergebnisse werden auf traveling wave Modelle für die Dynamik von Halbleiter Lasern angewandt. Für diese werden Moden Approximationen (Systeme von gewöhnlichen Differentialgleichungen, welche die Dynamik auf gewissen Zentrumsmannigfaltigkeiten approximativ beschreiben) hergeleitet und gerechtfertigt, die generische Bifurkation von modulierten Wellen aus rotierenden Wellen wird gezeigt. Globale Existenz und glatte Abhängigkeit von nichtautonomen traveling wave Modellen werden betrachtet, außerdem werden Moden Approximationen für solche nichtautonomen Modelle rigoros hergeleitet. Insbesondere arbeitet die Theorie für die Stabilitäts- und Bifurkationsanalyse von Turing Modellen mit korellierter Zufallsbewegung. Ferner beinhaltet die Klasse (SH) neutrale und retardierte funktionale Differentialgleichungen. / A spectral gap mapping theorem, which characterizes exponential dichotomy, is proven for a general class of semilinear hyperbolic systems of PDEs in a Banach space X of continuous functions. This resolves a key problem on existence and smoothness of invariant manifolds for semilinear hyperbolic systems. It is shown that weak solutions to (SH) form a smooth semiflow in X under natural conditions on the nonlinearities. For linearizations high frequency estimates of spectra and resolvents in terms of reduced diagonal and blockdiagonal systems are given. Using these estimates a spectral gap mapping theorem in the small Banach space X is proven: An open spectral gap of the generator is mapped exponentially to an open spectral gap of the semigroup and vice versa. Hence, a phenomenon like in Renardy''s counterexample cannot appear for linearizations of (SH). By the general theory the results imply existence of smooth center manifolds for (SH). Moreoever, the results are applied to traveling wave models of semiconductor laser dynamics. For such models mode approximations (ODE systems which approximately describe the dynamics on center manifolds) are derived and justified, and generic bifurcations of modulated waves from rotating waves are shown. Global existence and smooth dependence of nonautonomous traveling wave models with more general solutions, which possess jumps, are considered, and mode approximations are derived for such nonautonomous models. In particular the theory applies to stability and bifurcation analysis for Turing models with correlated random walk. Moreover, the class (SH) includes neutral and retarded functional differential equations.