Dans l'optique d'étudier les modules de génération finie sur des algèbres de dimension finie, il a été développé ces dernières années une méthode diagramatique, essentiellement due à P. Gabriel, basée sur des carquois, c'est-à-dire sur des graphes orientées finis. Plus précisément, il a été démontré que pour toute algèbre A sobre de dimension finie sur un corps k algébriquement clos, il existe un carquois unique Q et au moins un idéal I admissible de l'algèbre kQ, l'algèbre des chemins de Q, tels que A soit isomorphe à kQ=I. Un tel couple (Q; I) est nommé une présentation de A par carquois et relations. Pour chaque paire (Q; I), nous pouvons définir un groupe fondamental Pi1(Q; I). En général, cependant, différentes présentations d'une même algèbre peuvent conduire à des groupes fondamentaux difféerents. Ainsi, une algèbre dont toutes les présentations donnent un groupe fondamental trivial est appelée simplement connexe. L'importance des algèbres simplement connexes dans la théorie des représentations d'algèbres réside dans le fait que souvent il est possible de réduire, avec l'aide des recouvrements, l'étude des modules indécomposables d'une algèbre à ceux d'une algèbre simplement connexe bien choisie. Le premier résultat consiste à donner une vision géométrique du groupe fondamental pour une certaine classe d'algèbre : les algèbres d'incidence. Ces algèbres ont une particularité : leur groupe fondamental ne dépend pas du choix de la présentation. Ainsi, à chaque algèbre d'incidence, il est possible d'associer un groupe fondamental algébrique. Par ailleurs, à partir de ce poset, est possible de construire un complexe simplicial qui possède quant à lui un groupe fondamental topologique. Nous prouvons, ici, que ces groupes sont isomorphes. Ce lien permet non seulement d'adapter certains théorèmes de topologie tel que le théorème de Van Kampen, mais également de faire le lien entre des résultats déjà établis en topologie et d'autres en théorie des représentations. Dans un deuxième temps, afn de donner une vision géométrique de tout groupe fondamen- tal algébrique, nous avons associé à toute présentation (Q; I) d'algèbre une algèbre d'incidence A dont le groupe fondamental a la particularité, d'après le résultat précédent, de se réaliser géométriquement. Nous montrons ensuite que les groupes fondamentaux précédents s'insèrent dans la suite exacte : 1 --> H --> Pi1(Q; I) --> Pi1(A) --> 1 où H est un sous-groupe décrit par générateur et relations. Nous donnons également de nom- breux cas où le sous groupe H est trivial. Enfin, nous donnons un algorithme de calcul du groupe fondamental, qui permet de présenter rapidement le groupe fondamental par générateurs et relations. Pour calculer le groupe fondamental d'un couple (Q; I), nous montrons qu'il est isomorphe au groupe fondamental d'un couple (Q0; I0) où Q0 contient un sommet de moins que Q. Ainsi en réitérant le processus, le groupe fondamental Pi1(Q; I) est isomorphe au groupe fondamental d'un carquois ne contenant qu'un seul sommet, ce qui donne une présentation par générateurs et relations.

Dans cette thèse, nous étudions les triangulations définies par un ensemble de points dans des espaces de topologies différentes. Nous proposons une définition générale de la triangulation de Delaunay, valide pour plusieurs classes d'espaces, ainsi qu'un algorithme de construction. Nous fournissons une implantation pour le cas particulier du tore plat tridimensionnel. Ce travail est motivé à l'origine par le besoin de logiciels calculant des triangulations de Delaunay périodiques, dans de nombreux domaines dont l'astronomie, l'ingénierie des matériaux, le calcul biomédical, la dynamique des fluides, etc. Les triangulations périodiques peuvent être vues comme des triangulations du tore plat. Nous fournissons une définition et nous développons un algorithme incrémentiel efficace pour calculer la triangulation de Delaunay dans le tore plat. L'algorithme est adapté de l'algorithme incrémentiel usuel dans R^d. Au contraire des travaux antérieurs sur les triangulations périodiques, nous évitons de maintenir plusieurs copies périodiques des points, lorsque cela est possible. Le résultat fourni par l'algorithme est toujours une triangulation du tore plat. Nous présentons une implantation de notre algorithme, à présent disponible publiquement comme un module de la bibliothèque d'algorithmes géométriques CGAL. Nous généralisons les résultats à une classe plus générale d'espaces quotients plats, ainsi qu'à des espaces quotients de courbure constante positive. Enfin, nous considérons le cas du tore double, qui est un exemple de la classe beaucoup plus riche des espaces quotients de courbure négative constante.

Nous étudions les triangulations dans des espaces de courbure négative constante, en théorie et en pratique. Ce travail est motivé par des applications dans des domaines variés. Nous considérons les complexes de Delaunay et les diagrammes de Voronoï dans la boule de Poincaré, modèle conforme de l'espace hyperbolique, en dimension quelconque. Nous utilisons l'espace des sphères pour la description des algorithmes. Nous étudions aussi les questions algébriques et arithmétiques et observons que les calculs effectués sont rationnels. Les démonstrations sont basées sur des raisonnements géométriques et n'utilisent aucune formulation analytique de la distance hyperbolique. Nous présentons une implantation complète, exacte et efficace en dimension deux. Le code est développé en vue d'une intégration dans la bibliothèque CGAL, qui permettra une diffusion à un large public. Nous étudions ensuite les triangulations de Delaunay des surfaces hyperboliques fermées. Nous définissons une triangulation comme un complexe simplicial afin de permettre l'adaptation de l'algorithme incrémentiel connu pour le cas euclidien. Le cœur de l'approche consiste à montrer l'existence d'un revêtement fini dans lequel les fibres définissent toujours une triangulation de Delaunay. Nous montrons une condition suffisante sur la longueur des boucles non contractiles du revêtement. Dans le cas particulier de la surface de Bolza, nous proposons une méthode pour construire un tel revêtement, en étudiant les sous groupes distingués du groupe fuchsien définissant la surface. Nous considérons des aspects liés à l'implantation. / We study triangulations of spaces of constant negative curvature -1 from both theoretical and practical points of view. This is originally motivated by applications in various fields such as geometry processing and neuro mathematics. We first consider Delaunay complexes and Voronoi diagrams in the Poincaré ball, a conformal model of the hyperbolic space, in any dimension. We use the framework of the space of spheres to give a detailed description of algorithms. We also study algebraic and arithmetic issues, observing that only rational computations are needed. All proofs are based on geometric reasoning, they do not resort to any use of the analytic formula of the hyperbolic distance. We present a complete, exact, and efficient implementation of the Delaunay complex and Voronoi diagram in the 2D hyperbolic space. The implementation is developed for future integration into the CGAL library to make it available to a broad public. Then we study the problem of computing Delaunay triangulations of closed hyperbolic surfaces. We define a triangulation as a simplicial complex, so that the general incremental algorithm for Euclidean Delaunay triangulations can be adapted. The key idea of the approach is to show the existence of a finite-sheeted covering space for which the fibers always define a Delaunay triangulation. We prove a sufficient condition on the length of the shortest non-contractible loops of the covering space. For the specific case of the Bolza surface, we propose a method to actually construct such a covering space, by studying normal subgroups of the Fuchsian group defining the surface. Implementation aspects are considered.