En anatomie computationnelle, on suppose que les formes d'organes sont issues des déformations d'un template commun. Les données peuvent être des images ou des surfaces d'organes, les déformations peuvent être des difféomorphismes. Pour estimer le template, on utilise souvent un algorithme appelé «max-max» qui minimise parmi tous les candidats, la somme des carrées des distances après recalage entre les données et le template candidat. Le recalage est l'étape de l'algorithme qui trouve la meilleure déformation pour passer d'une forme à une autre. Le but de cette thèse est d'étudier cet algorithme max-max d'un point de vue mathématique. En particulier, on prouve que cet algorithme est inconsistant à cause du bruit. Cela signifie que même avec un nombre infini de données et avec un algorithme de minimisation parfait, on estime le template original avec une erreur non nulle. Pour prouver l'inconsistance, on formalise l'estimation du template. On suppose que les déformations sont des éléments aléatoires d'un groupe qui agit sur l'espace des observations. L'algorithme étudié est interprété comme le calcul de la moyenne de Fréchet dans l'espace des observations quotienté par le groupe des déformations. Dans cette thèse, on prouve que l'inconsistance est dû à la contraction de la distance quotient par rapport à la distance dans l'espace des observations. De plus, on obtient un équivalent de biais de consistance en fonction du niveau de bruit. Ainsi, l'inconsistance est inévitable quand le niveau de bruit est suffisamment grand. / In computational anatomy, organ shapes are assumed to be deformation of a common template. The data can be organ images but also organ surfaces, and the deformations are often assumed to be diffeomorphisms. In order to estimate the template, one often uses the max-max algorithm which minimizes, among all the prospective templates, the sum of the squared distance after registration between the data and a prospective template. Registration is here the step of the algorithm which finds the best deformation between two shapes. The goal of this thesis is to study this template estimation method from a mathematically point of view. We prove in particular that this algorithm is inconsistent due to the noise. This means that even with an infinite number of data, and with a perfect minimization algorithm, one estimates the original template with an error. In order to prove inconsistency, we formalize the template estimation: deformations are assumed to be random elements of a group which acts on the space of observations. Besides, the studied algorithm is interpreted as the computation of the Fréchet mean in the space of observations quotiented by the group of deformations. In this thesis, we prove that the inconsistency comes from the contraction of the distance in the quotient space with respect to the distance in the space of observations. Besides, we obtained a Taylor expansion of the consistency bias with respect to the noise level. As a consequence, the inconsistency is unavoidable when the noise level is high.

Dans cette thèse, nous étudions les triangulations définies par un ensemble de points dans des espaces de topologies différentes. Nous proposons une définition générale de la triangulation de Delaunay, valide pour plusieurs classes d'espaces, ainsi qu'un algorithme de construction. Nous fournissons une implantation pour le cas particulier du tore plat tridimensionnel. Ce travail est motivé à l'origine par le besoin de logiciels calculant des triangulations de Delaunay périodiques, dans de nombreux domaines dont l'astronomie, l'ingénierie des matériaux, le calcul biomédical, la dynamique des fluides, etc. Les triangulations périodiques peuvent être vues comme des triangulations du tore plat. Nous fournissons une définition et nous développons un algorithme incrémentiel efficace pour calculer la triangulation de Delaunay dans le tore plat. L'algorithme est adapté de l'algorithme incrémentiel usuel dans R^d. Au contraire des travaux antérieurs sur les triangulations périodiques, nous évitons de maintenir plusieurs copies périodiques des points, lorsque cela est possible. Le résultat fourni par l'algorithme est toujours une triangulation du tore plat. Nous présentons une implantation de notre algorithme, à présent disponible publiquement comme un module de la bibliothèque d'algorithmes géométriques CGAL. Nous généralisons les résultats à une classe plus générale d'espaces quotients plats, ainsi qu'à des espaces quotients de courbure constante positive. Enfin, nous considérons le cas du tore double, qui est un exemple de la classe beaucoup plus riche des espaces quotients de courbure négative constante.

Nous étudions les triangulations dans des espaces de courbure négative constante, en théorie et en pratique. Ce travail est motivé par des applications dans des domaines variés. Nous considérons les complexes de Delaunay et les diagrammes de Voronoï dans la boule de Poincaré, modèle conforme de l'espace hyperbolique, en dimension quelconque. Nous utilisons l'espace des sphères pour la description des algorithmes. Nous étudions aussi les questions algébriques et arithmétiques et observons que les calculs effectués sont rationnels. Les démonstrations sont basées sur des raisonnements géométriques et n'utilisent aucune formulation analytique de la distance hyperbolique. Nous présentons une implantation complète, exacte et efficace en dimension deux. Le code est développé en vue d'une intégration dans la bibliothèque CGAL, qui permettra une diffusion à un large public. Nous étudions ensuite les triangulations de Delaunay des surfaces hyperboliques fermées. Nous définissons une triangulation comme un complexe simplicial afin de permettre l'adaptation de l'algorithme incrémentiel connu pour le cas euclidien. Le cœur de l'approche consiste à montrer l'existence d'un revêtement fini dans lequel les fibres définissent toujours une triangulation de Delaunay. Nous montrons une condition suffisante sur la longueur des boucles non contractiles du revêtement. Dans le cas particulier de la surface de Bolza, nous proposons une méthode pour construire un tel revêtement, en étudiant les sous groupes distingués du groupe fuchsien définissant la surface. Nous considérons des aspects liés à l'implantation. / We study triangulations of spaces of constant negative curvature -1 from both theoretical and practical points of view. This is originally motivated by applications in various fields such as geometry processing and neuro mathematics. We first consider Delaunay complexes and Voronoi diagrams in the Poincaré ball, a conformal model of the hyperbolic space, in any dimension. We use the framework of the space of spheres to give a detailed description of algorithms. We also study algebraic and arithmetic issues, observing that only rational computations are needed. All proofs are based on geometric reasoning, they do not resort to any use of the analytic formula of the hyperbolic distance. We present a complete, exact, and efficient implementation of the Delaunay complex and Voronoi diagram in the 2D hyperbolic space. The implementation is developed for future integration into the CGAL library to make it available to a broad public. Then we study the problem of computing Delaunay triangulations of closed hyperbolic surfaces. We define a triangulation as a simplicial complex, so that the general incremental algorithm for Euclidean Delaunay triangulations can be adapted. The key idea of the approach is to show the existence of a finite-sheeted covering space for which the fibers always define a Delaunay triangulation. We prove a sufficient condition on the length of the shortest non-contractible loops of the covering space. For the specific case of the Bolza surface, we propose a method to actually construct such a covering space, by studying normal subgroups of the Fuchsian group defining the surface. Implementation aspects are considered.

Dans ce mémoire, on s'intéresse à l'action du groupe des transformations affines et des homothéties sur l'axe du temps des systèmes différentiels quadratiques à foyer faible d'ordre trois, dans le plan. Ces systèmes sont importants dans le cadre du seizième problème d'Hilbert. Le diagramme de bifurcation a été produit à l'aide de la forme normale de Li dans des travaux de Andronova [2] et Artès et Llibre [4], sans utiliser le plan projectif comme espace des paramètres ni de méthodes globales. Dans [7], Llibre et Schlomiuk ont utilisé le plan projectif comme espace des paramètres et des notions à caractère géométrique global (invariants affines et topologiques). Ce diagramme contient 18 portraits de phase et certains de ces portraits sont répétés dans des parties distinctes du diagramme. Ceci nous mène à poser la question suivante : existe-t-il des systèmes distincts, correspondant à des valeurs distinctes de paramètres, se trouvant sur la même orbite par rapport à l'action du groupe? Dans ce mémoire, on prouve un résultat original : l'action du groupe n'est pas triviale sur la forme de Li (théorème 3.1), ni sur la forme normale de Bautin (théorème 4.1). En utilisant le deuxième résultat, on construit l'espace topologique quotient des systèmes quadratiques à foyer faible d'ordre trois par rapport à l'action de ce groupe. / We are interessed here in the action of the group of affine transformations and time homotheties on quadratic differential systems which have a weak focus of third order. These systems are important for Hilbert sixteenth problem. The bifurcation diagram was produced using Li's normal form in the articles of Andronova [2], and Artès and Llibre [4], without using the projective plane as parameter space, and without using global methods. In [7], Llibre and Schlomiuk used the projective plane as parameter space and global geometric methods (affine and topological invariants). This diagram contains 18 phase portraits and some of these portraits are repeated in distinct parts of the diagram. This led us to ask the following question : do there exist distinct differential systems, corresponding to distinct values of the parameter, which are on the same orbit of the group action? In this master's thesis, we prove an original result : the action of the group is not trivial on Li's normal form (theorem 3.1), neither is it trivial on Bautin's normal form (theorem 4.1). Using the second result, we construct the quotient topological space of these systems with a weak focus of third order, with respect to the group action.