Des puits quantiques à base d'hétérostructures In0.53 Ga0.47 As/In0.52 Al0.48 As, fabriqués par épitaxie par jets moléculaires sur substrats InP(111)A, sont étudiés par microscopie et spectroscopie à effet tunnel à basse température et sous ultra-vide. La première partie est consacrée à une étude de la surface épitaxiée (111)A de In0.53 Ga0.47 As de type n. Il est découvert que le niveau de Fermi de surface est positionné dans la bande de conduction, à proximité du niveau de Fermi de volume, et peut être partiellement contrôlé en variant la concentration d'impuretés de type n dans le volume. Ce résultat est confirmé en déterminant la relation de dispersion de la bande de conduction en surface. Un tel dépiégeage partiel du niveau de Fermi de surface indique que la densité d'états de surface accepteurs est faible. Il est proposé que ces états proviennent de défauts ponctuels natifs localisés à la surface. La deuxième partie, basée sur les résultats obtenus dans la première partie, est consacrée à une étude de puits quantiques In0.53 Ga0.47 As de surface, déposés sur des barrières In0.52 Al0.48 As selon la direction (111)A. Les mesures sont conduites sur la surface épitaxiée (111)A du puits quantique In0.53 Ga0.47 As, de manière à pouvoir sonder à l'échelle du nanomètre la distribution de densité locale d'états électroniques dans le plan du puits quantique. Il est confirmé que des sous-bandes électroniques sont formées dans le puits quantique, et que la concentration d'électrons dans le puits peut être contrôlée du fait du dépiégeage partiel du niveau de Fermi de surface. Il est découvert qu'un phénomène de percolation d'états localisés survient dans la queue de chaque sous-bande, ce qui indique la présence d'un potentiel désordonné dans le puits quantique. Les seuils de percolation sont déterminés en utilisant un modèle semi-classique. L'origine du potentiel désordonné est attribuée à une distribution aléatoire des défauts ponctuels natifs à la surface du puits quantique. Il est également découvert qu'un état lié apparaît au bas de chaque sous-bande à proximité d'un défaut ponctuel natif de type donneur. L'énergie de liaison et le rayon de Bohr des états liés peuvent être directement déterminés. De plus, il est démontré que l'énergie de liaison et le rayon de Bohr sont fonctions de l'épaisseur du puits quantique, en accord quantitatif avec des calculs variationnels d'impuretés dans le modèle de l'atome d'hydrogène.

In this thesis, we present some new results in distribution theory for both discrete and continuous random variables, together with their motivating applications. We start with some results about the Multivariate Gaussian Distribution and its characterization as a maximizer of the Strichartz Estimates. Then, we present some characterizations of discrete and continuous distributions through ideas coming from optimal transportation. After this, we pass to the Simpson's Paradox and see that it is ubiquitous and it appears in Quantum Mechanics as well. We conclude with a group of results about discrete and continuous distributions invariant under symmetries, in particular invariant under the groups $A_1$, an elliptical version of $O(n)$ and $\mathbb{T}^n$. As mentioned, all the results proved in this thesis are motivated by their applications in different research areas. The applications will be thoroughly discussed. We have tried to keep each chapter self-contained and recalled results from other chapters when needed. The following is a more precise summary of the results discussed in each chapter. In chapter \ref{chapter 2}, we discuss a variational characterization of the Multivariate Normal distribution (MVN) as a maximizer of the Strichartz Estimates. Strichartz Estimates appear as a fundamental tool in the proof of wellposedness results for dispersive PDEs. With respect to the characterization of the MVN distribution as a maximizer of the entropy functional, the characterization as a maximizer of the Strichartz Estimate does not require the constraint of fixed variance. In this chapter, we compute the precise optimal constant for the whole range of Strichartz admissible exponents, discuss the connection of this problem to Restriction Theorems in Fourier analysis and give some statistical properties of the family of Gaussian Distributions which maximize the Strichartz estimates, such as Fisher Information, Index of Dispersion and Stochastic Ordering. We conclude this chapter presenting an optimization algorithm to compute numerically the maximizers. Chapter \ref{chapter 3} is devoted to the characterization of distributions by means of techniques from Optimal Transportation and the Monge-Amp\`{e}re equation. We give emphasis to methods to do statistical inference for distributions that do not possess good regularity, decay or integrability properties. For example, distributions which do not admit a finite expected value, such as the Cauchy distribution. The main tool used here is a modified version of the characteristic function (a particular case of the Fourier Transform). An important motivation to develop these tools come from Big Data analysis and in particular the Consensus Monte Carlo Algorithm. In chapter \ref{chapter 4}, we study the \emph{Simpson's Paradox}. The \emph{Simpson's Paradox} is the phenomenon that appears in some datasets, where subgroups with a common trend (say, all negative trend) show the reverse trend when they are aggregated (say, positive trend). Even if this issue has an elementary mathematical explanation, the statistical implications are deep. Basic examples appear in arithmetic, geometry, linear algebra, statistics, game theory, sociology (e.g. gender bias in the graduate school admission process) and so on and so forth. In our new results, we prove the occurrence of the \emph{Simpson's Paradox} in Quantum Mechanics. In particular, we prove that the \emph{Simpson's Paradox} occurs for solutions of the \emph{Quantum Harmonic Oscillator} both in the stationary case and in the non-stationary case. We prove that the phenomenon is not isolated and that it appears (asymptotically) in the context of the \emph{Nonlinear Schr\"{o}dinger Equation} as well. The likelihood of the \emph{Simpson's Paradox} in Quantum Mechanics and the physical implications are also discussed. Chapter \ref{chapter 5} contains some new results about distributions with symmetries. We first discuss a result on symmetric order statistics. We prove that the symmetry of any of the order statistics is equivalent to the symmetry of the underlying distribution. Then, we characterize elliptical distributions through group invariance and give some properties. Finally, we study geometric probability distributions on the torus with applications to molecular biology. In particular, we introduce a new family of distributions generated through stereographic projection, give several properties of them and compare them with the Von-Mises distribution and its multivariate extensions. / Thesis / Doctor of Philosophy (PhD)