L'analyse des phénomènes locaux comme les effets de bord libre et le délaminage dans les structures multicouches nécessite des théories fines qui donnent une bonne description de la réponse locale. Étant donné que les approches tridimensionnelles sont, en général, très coûteuses en temps de calcul et en mémoire, des approches bidimensionnelles de type layerwise sont souvent utilisées. Dans ce travail de doctorat, un modèle layerwise en contrainte, appelé LS1, est appliqué au problème du multi-délaminage dans les plaques stratifiées invariantes dans le sens longitudinal. L'invariance dans la direction de la longueur nous permet d'aborder le problème analytiquement. Dans un premier temps, nous proposons une méthode analytique pour l'analyse des plaques multicouches multi-délaminées soumises à la traction uniaxiale. La singularité des contraintes interlaminaires aux bords libres et l'initiation du délaminage en mode III sont étudiées. Un modèle raffiné, nommé LS1 raffiné, est proposé pour améliorer les approximations dans les zones de singularités telles que les bords libres et les pointes de fissure. Les résultats du modèle raffiné sont validés en les comparant avec ceux obtenus par éléments finis tridimensionnels. Dans un deuxième temps, l'approche analytique proposée est étendue à la flexion cylindrique des plaques multicouches. La propagation du délaminage en modes I et II est étudiée et les approximations du modèle LS1 sont validées. À la fin, nous généralisons la méthode analytique proposée afin de prendre en considération tous les chargements invariants dans le sens longitudinal. L'approche finale permet d'analyser les plaques multicouches rectangulaires soumises à des charges invariantes sur les faces supérieure et inférieure, les forces ou les déplacements imposés sur les bords latéraux ainsi que quatre types de chargement sur les extrémités longitudinales: traction uniaxiale, flexion hors plan, torsion et flexion dans le plan. La solution analytique du modèle LS1 est obtenue pour une plaque stratifiée soumise à tous les chargements mentionnés ci-dessus. L'approche est validée en comparant avec la méthode des éléments finis tridimensionnels pour plusieurs types de chargement / The analysis of local phenomena such as free-edge effects and delamination in multilayered structures requires the accurate theories which can provide a good description of the local response. Since the three-dimensional approaches are generally very expensive in computational time and memory, the layerwise two-dimensional approaches are widely used. In this Ph.D. thesis, a stress layerwise model, called LS1, is applied to the multi-delamination problem in longitudinally invariant multilayered plates. The invariance in the longitudinal direction allows us to solve the problem analytically. At first, we propose an analytical method for the analysis of multi-delaminated multilayered plates subjected to the uniaxial traction. The free-edge interlaminaire stress singularities and the mode III delamination onset are investigated. A refined model, called Refined LS1, is proposed in order to improve the approximations in singularity zones such as free edges and crack tips. The results of the refined model are validated by comparing them with those obtained by a three-dimensional finite element model. Afterwards, the proposed analytical approach is extended to the cylindrical bending of the multilayered plates. The propagation of delamination in modes I and II is studied and the approximations of the LS1 model are validated. At last, we generalize the proposed analytical method to take into account all invariant loads in the longitudinal direction. The final approach allows us to analyze the rectangular multilayered plates subjected to invariant loads on the top and bottom surfaces, imposed displacements or forces at the lateral edges, and also four types of loading at the longitudinal ends: uniaxial traction, out-of-plane bending, torsion and in-plane bending. The analytical solution of the LS1 model is obtained for a laminated plate subjected to all the loads mentioned above. The approach is validated by comparison with the three-dimensional finite element method for various types of loading

L'analyse des phénomènes locaux comme les effets de bord libre et le délaminage dans les structures multicouches nécessite des théories fines qui donnent une bonne description de la réponse locale. Étant donné que les approches tridimensionnelles sont, en général, très coûteuses en temps de calcul et en mémoire, des approches bidimensionnelles de type layerwise sont souvent utilisées. Dans ce travail de doctorat, un modèle layerwise en contrainte, appelé LS1, est appliqué au problème du multi-délaminage dans les plaques stratifiées invariantes dans le sens longitudinal. L'invariance dans la direction de la longueur nous permet d'aborder le problème analytiquement. Dans un premier temps, nous proposons une méthode analytique pour l'analyse des plaques multicouches multi-délaminées soumises à la traction uniaxiale. La singularité des contraintes interlaminaires aux bords libres et l'initiation du délaminage en mode III sont étudiées. Un modèle raffiné, nommé LS1 raffiné, est proposé pour améliorer les approximations dans les zones de singularités telles que les bords libres et les pointes de fissure. Les résultats du modèle raffiné sont validés en les comparant avec ceux obtenus par éléments finis tridimensionnels. Dans un deuxième temps, l'approche analytique proposée est étendue à la flexion cylindrique des plaques multicouches. La propagation du délaminage en modes I et II est étudiée et les approximations du modèle LS1 sont validées. À la fin, nous généralisons la méthode analytique proposée afin de prendre en considération tous les chargements invariants dans le sens longitudinal. L'approche finale permet d'analyser les plaques multicouches rectangulaires soumises à des charges invariantes sur les faces supérieure et inférieure, les forces ou les déplacements imposés sur les bords latéraux ainsi que quatre types de chargement sur les extrémités longitudinales: traction uniaxiale, flexion hors plan, torsion et flexion dans le plan. La solution analytique du modèle LS1 est obtenue pour une plaque stratifiée soumise à tous les chargements mentionnés ci-dessus. L'approche est validée en comparant avec la méthode des éléments finis tridimensionnels pour plusieurs types de chargement

Cette thèse traite des problèmes des concentrations de contraintes locales, en particularité des effets des bords libres dans des structures stratifiés. À l'interface entre deux couches avec des propriétés élastiques différentes, les contraintes ont un comportement singulier dans le voisinage du bord libre en supposant un comportement de matériau élastique linéaire. Par conséquent, ils sont essentiels pour promouvoir le délaminage. Via Formulation unifiée de la Carrera (CUF) différents modèles cinématiques sont testés dans le but de capter les concentrations de contraintes. Dans la première partie de ce travail, les approches de modélisation dimensionnelle réduits sont comparées. Deux classe principale sont présentés: la couche équivalent (ESL) et l'approche par couche, LW. Par la suite leurs capacités à capter les singularités sont comparées. En utilisant une fonction a priori singulière, via une expression exponentielle, une mesure des contraintes singulières est introduite. Seulement deux paramètres décrivent pleinement les composantes des contraintes singulières au voisinage du bord libre. Sur la base des paramètres obtenus les modèles sont comparés et aussi les effets sous des charges d'extension et de flexion et pour différents stratifiés. Les résultats montrent une nécessité des modèles complexes dans le voisinage du bord libre. Cependant loin des bords libres, dans le centre de plaques composite, aucune différence significative ne peut être noté pour les modèles plutôt simples. La deuxième partie de ce travail est donc dédiée au couplage de modèles cinématique incompatibles. Modèles complexes et coûteux sont utilisés seulement dans des domaines locaux d'intérêt, tandis que les modèles économiques simples seront modéliser le domaine global. La eXtended Variational Formulation (XVF) est utilisé pour coupler les modèles de dimensionnalité homogènes mais de cinématique hétérogènes. Ici pas de recouvrement de domaine est présent. En outre, le XVF offre la possibilité d'adapter les conditions imposées à l'interface en utilisant un paramètre scalaire unique. On montre que, pour le problème de dimensionnalité homogène, que deux conditions différentes peuvent être imposées par ce paramètre. Un correspondant à des conditions fortes des Multi Point Constraints (MPC) et un second fournir des conditions faibles. La dernière offre la possibilité de réduire extrêmement le domaine qui utilise le modèle cinématique complexe, sans perte de précision locale. Comme il s'agit de la première application de la XVF vers les structures composites, le besoin d'un nouvel opérateur de couplage a été identifié. Un nouveau formulaire est proposé, testé et sa robustesse sera évaluée. / This work considers local stress concentrations, especially the free-Edge effects of multilayered structures. At the interface of two adjacent layers with different elastic properties, the stresses can become singular in the intermediate vicinity of the free edge. This is valid while assuming a linear elastic material behaviour. As a consequence this zones are an essential delamination trigger. Via the Carrera Unified Formulation (CUF), different kinematical models are testes in order to obtain the correct local stress concentration. In the first part of this work, the reduced dimensional modelling approaches are compared. Two main class are presented: Equivalent Single Layer (ESL) models treating the layered structure like one homogenous plate of equal mechanical proper- ties, and the Layer Wise approach, treating each layer independently. Subsequently their capabilities to capture the appearing singularities are compared. In order to have a comparable measurement of those singularities, the obtained stress distributions will be expressed via a power law function, which has a priori a singular behaviour. Only two parameters fully describe therefore the singular stress components in the vicinity of the free edge. With the help of these two parameters not only the different models capabilities will be compared, but also the free edge effect itself will be measured and compared for different symmetrical laminates and the case of extensional and uniform bending load. The results for all laminates under both load cases confirm the before stated need for rather complex models in the vicinity of the free edge. However far from the free edges, in the composite plates centre, no significant difference can be noted for rather simple models. The second part of this work is therefore dedicated to the coupling of kinematically incompatible models. The use of costly expensive complex models is restricted to local domains of interest, while economic simple models will model the global do- main. The Extended Variational Formulation (XVF) is identified as the most suitable way to couple the kinematically heterogenous but dimensional homogenous models. As it uses a configuration with one common interface without domain overlap, the additional efforts for establishing the coupling are limited. Further the XVF offers the possibility to adapt the conditions imposed at the interface using a single scalar parameter. It will be shown that for the homogenous dimensional problem under consideration only two different conditions can be imposed by this parameter. One matching the strong conditions imposed by the classical Multi Point Constrains (MPC) and a second one providing a weak condition. The last one is shown to provide the possibility to reduce further the domain using the complex kinematical model, without the loss of local precision. As this is the first application of the XVF towards composite structures, the need for a new coupling operator was identified. A new form is proposed, tested and its robustness will be evaluated.

Cette thèse est dédiée à l'analyse mathématique de quelques problèmes variationnels motivés par le modèle de Ginzburg-Landau en théorie de la supraconductivité. Dans la première partie on étudie l'existence de solutions pour les équations de Ginzburg-Landau sans champ magnétique et avec données au bord de type semi-rigides. Ces données consistent à prescrire le module de la fonction sur le bord du domaine ainsi que son degré topologique. C'est un cas particulier de problèmes à bord libre, ou la donnée complète de la fonction sur le bord est une inconnue du problème. L'existence de solutions à ce problème n'est pas assurée. En effet la méthode directe du calcul des variations ne peut pas s'appliquer car le degré sur le bord n'est pas continu pour la convergence faible dans l'espace de Sobolev adapté. On dit que c'est un problème sans compacité. En étudiant le phénomène de "bubbling" qui apparaît dans l'étude de tels problèmes on donne des résultats d'existence et de non existence de solutions. Dans le Chapitre 1 on étudie des conditions qui permettent d'affirmer que la différence entre deux niveaux d'énergie est strictement optimale. Pour cela on adapte une technique due à Brezis-Coron. Ceci nous permet de redémontrer un résultat (précédemment obtenu par Berlaynd Rybalko et Dos Santos) d'existence de solutions stables pour les équations de Ginzburg-Landau dans des domaines multiplement connexes. Dans le Chapitre 2 on considère les applications harmoniques a valeurs dans $R^2$ avec des conditions au bord de type degrés prescrits sur un anneau. On fait un lien entre ce problème et la théorie des surfaces minimales dans $R^3$ grâce à la différentielle quadratique de Hopf. Ceci nous conduit à l'étude des surfaces minimales bordées par deux cercles dans des plans parallèles. On prouve l'existence de telles surfaces qui ne sont pas des catenoides grâce a un résultat de bifurcation. On utilise alors les résultats obtenus pour déduire des théorèmes d'existence et de non existence de minimiseurs de l'énergie de Ginzburg-Landau à degrés prescrits dans un anneau. Dans ce troisième Chapitre on obtient des résultats pour une valeur du paramètre " grand. Le Chapitre 4 a pour objet l'étude des problèmes a degrés prescrits en dimension n3. On y montre la non existence des minimiseurs de la n-énergie de Ginzburg-Landau a degrés prescrits dans un domaine simplement connexe. On étudie ensuite des points critiques de type min-max pour une énergie perturbée. La deuxième partie est consacrée a l'analyse asymptotique des solutions des équations deGinzburg-Landau lorsque " tend vers zero. Sandier et Serfaty ont étudié le comportement asymptotique des mesures de vorticité associées aux équations. Ils ont notamment trouvé des conditions critiques sur les mesures limites dans le cas des équations avec et sans champ magnétique. Nous nous intéressons alors à ces conditions critiques dans le cas sans champ magnétique. Le problème de la régularité locale des mesures limites se ramène ainsi a l'étude de la régularité des fonctions stationnaires harmoniques dont le Laplacien est une mesure. Nous montrons que localement de telles mesures sont supportées par une union de lignes appartenant à l'ensemble des zéros d'une fonction harmonique / This thesis is devoted to the mathematical analysis of some variational problems. These problem sare motivated by the Ginzburg-Landau model related to the super conductivity. In the first part we study existence of solutions of the Ginzburg-Landau equations without magnetic eld but with semi-sti boundary conditions. These conditions are obtained by prescribing the modulus of the function on the boundary of the domain along with its topological degree. This is a particular case of free boundary problems, where the function on the boundary is an unknown of the problem. Existence of solutions of that problem does not necessary hold. Indeed we can not apply the direct method of the calculus of variations since the degree on the boundaryis not continuous with respect to the weak convergence in an appropriated Sobolev space. This is problem with loss of compactness. By studying the bublling" phenomenon which come upin such problems we obtain some existence and non existence results .In Chapter 1 we study conditions under which the dierence between two energy levels is strictly optimal. In order to do that we adapt a technique due to Brezis-Coron. This allow us to recover known existence results (previously obtained by Berlyand and Rybalko and DosSantos) for stable solutions of the Ginzburg-Landau equations in multiply connected domains. In Chapter 2 we are interested in harmonic maps with values in $R^2$ with prescribed degree boundary condition in an annulus. We make a link between this problem and the minimal surface theory in $R^3$ thanks to the so-called Hopf quadratic differential. This leads us to study immersed minimal surfaces bounded by two circles in parallel planes. We prove the existence of such surfaces die rent from catenoids by using a bifurcation argument. We then apply the results obtained to deduce existence and non existence results for minimizers of the Ginzburg-Landau energy with prescribed degrees. This is done in Chapter 3 where the results are obtained for large ".Chapter 4 is devoted to prescribed degree problems in dimension n3 . We prove the non existence of minimizers of the Ginzburg-Landau energy in simply connected domains. We then study min-max critical points of a perturbed energy. The second part is devoted to the asymptotic analysis of solutions of the Ginzburg-Landau equations when "goes to zero. Sandier and Serfaty studied the asymptotic behavior of the vorticity measures associated to these equations. They derived critical conditions on the limiting measures both with and without magnetic Field. We are interested by these conditions when there is no magnetic Field. The problem of the local regularity of the limiting measures is then equivalent to the study of regularity of stationary harmonic functions whose Laplacianis a measure. We show that locally such measures are concentrated on a union of lines which belong to the zero set of an harmonic function