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Cette thèse est consacrée à l'étude des mesures convexes ainsi qu'aux analogies entre la théorie de Brunn-Minkowski et la théorie de l'information. Je poursuis les travaux de Costa et Cover qui ont mis en lumière des similitudes entre deux grandes théories mathématiques, la théorie de Brunn-Minkowski d'une part et la théorie de l'information d'autre part. Partant de ces similitudes, ils ont conjecturé, comme analogue de la concavité de l'entropie exponentielle, que la racine n-ième du volume parallèle de tout ensemble compact de $R^n$ est une fonction concave, et je résous cette conjecture de manière détaillée. Par ailleurs, j'étudie les mesures convexes définies par Borell et je démontre pour ces mesures une inégalité renforcée de type Brunn-Minkowski pour les ensembles convexes symétriques. Cette thèse se décompose en quatre parties. Tout d'abord, je rappelle un certain nombre de notions de base. Dans une seconde partie, j'établis la validité de la conjecture de Costa-Cover sous certaines conditions et je démontre qu'en toute généralité, cette conjecture est fausse en exhibant des contre-exemples explicites. Dans une troisième partie, j'étends les résultats positifs de cette conjecture de deux manières, d'une part en généralisant la notion de volume et d'autre part en établissant des versions fonctionnelles. Enfin, je prolonge des travaux récents de Gardner et Zvavitch en améliorant la concavité des mesures convexes sous certaines hypothèses telles que la symétrie / This thesis is devoted to the study of convex measures as well as the relationships between the Brunn-Minkowski theory and the Information theory. I pursue the works by Costa and Cover who highlighted similarities between two fundamentals inequalities in the Brunn-Minkowski theory and in the Information theory. Starting with these similarities, they conjectured, as an analogue of the concavity of entropy power, that the n-th root of the parallel volume of every compact subset of $R^n$ is concave, and I give a complete answer to this conjecture. On the other hand, I study the convex measures defined by Borell and I established for these measures a refined inequality of the Brunn-Minkowski type if restricted to convex symmetric sets. This thesis is split in four parts. First, I recall some basic facts. In a second part, I prove the validity of the conjecture of Costa-Cover under special conditions and I show that the conjecture is false in such a generality by giving explicit counterexamples. In a third part, I extend the positive results of this conjecture by extending the notion of the classical volume and by establishing functional versions. Finally, I generalize recent works of Gardner and Zvavitch by improving the concavity of convex measures under different kind of hypothesis such as symmetries

El objetivo fundamental de este trabajo ha sido el estudio del sistema fundamental de paralelos de un cuerpo convexo (conjunto compacto y convexo) en el espacio euclídeo n-dimensional. Se ha llevado a cabo siguiendo tres líneas diferentes: el estudio del polinomio de Steiner y el polinomio alternado Steiner desde el punto de vista algebraico de sus raíces y la conjetura de Matheron; el estudio de la diferenciabilidad de las quermassintegrales asociadas al cuerpo con respecto al parámetro de definición del sistema completo de paralelos y, por último, el estudio de las quermassintegrales del cuerpo desde el punto de vista analítico proporcionado por la identificación del cuerpo convexo con su función soporte, las propiedades de ésta cuando el cuerpo es suficientemente suave y la desigualdad de Brunn-Minkowski. / The aim of this work consists on studying the full system of parallel bodies of a convex body (compact and convex set) in the n-dimensional Euclidean space. It has been carried out following three different lines of work: the study of the Steiner polynomial and the alternating Steiner polynomial from the algebraic point of view of its roots; the study of the differentiability of the quermassintegrals associated to the convex body with respect to the parameter that defines the full system of parallel bodies and finally, the study of the quermassintegrals from the analytical point of view provided by the identification of a convex body with its support function, the properties of this function when the body is smooth enough and the Brunn-Minkowski inequality

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