A osteoporose é uma degradação óssea prevalente que é caracterizada pela perda de massa óssea e deteriorização da microarquitetura do osso trabecular. A perda da massa óssea é normalmente medida por meio da Densidade Mineral Óssea (DMO), porém é fato que esta medida não é suficiente para identificar completamente a fragilidade óssea e, consequentemente, o risco de fratura de um paciente. Portanto, o estudo da estrutura trabecular tornou-se de grande importância. Neste trabalho, é feita uma análise da conectividade trabecular, utilizando-se, para isso, ajustes lineares dos valores da Característica de Euler-Poincaré (CEP), calculada para pares de imagens tomográficas. Relacionando os achados com dados clínicos e medidas da DMO, percebeu-se que a CEP não está correlacionada aos mesmos, nem diretamente com a razão área trabecular/medula. São ainda abordados aqui conceitos de Estereologia, discutidos alguns de seus métodos, bem como algumas técnicas de processamento de imagens, que são ferramentas de estudo dos parâmetros histomorfométricos utilizados na investigação da microarquitetura trabecular. / Osteoporosis is a prevalent bone disorder tbat is cbaracterized by the loss af bone mass and the deterioration of the trabecnlar bone microarchitecture. The loss of bone mass is normally measured by the Bone Mineral Density (BMD), however i1.is known tbat tbis measure is not sufficient to fully identify the bone fragility and its consequent future risk for a patient. Therefore, the study af the bone strueture has become of great importance nowadays. ln this work, we investigate the applieabillty oHhe Euler. poinearé Charaeteristic (CE P) to estiroate the trabecular bone connectivity, using, for these, pairs af tomografic images. Thc resnlt will be comparcd to cUnic data and nieasure of BMD. Was noticied that the CEP values are not related with them, even in direet way, with the ratio between trabecnlar and no trabeeular areas. Besides, an introduct.ion to Stereology concepts are provided and some image processing techniques are discussed. These are important tools to the study of histomophometric paraIlleters that are UBedto investigate the trabeenlar microarchitecture.

A osteoporose é uma degradação óssea prevalente que é caracterizada pela perda de massa óssea e deteriorização da microarquitetura do osso trabecular. A perda da massa óssea é normalmente medida por meio da Densidade Mineral Óssea (DMO), porém é fato que esta medida não é suficiente para identificar completamente a fragilidade óssea e, consequentemente, o risco de fratura de um paciente. Portanto, o estudo da estrutura trabecular tornou-se de grande importância. Neste trabalho, é feita uma análise da conectividade trabecular, utilizando-se, para isso, ajustes lineares dos valores da Característica de Euler-Poincaré (CEP), calculada para pares de imagens tomográficas. Relacionando os achados com dados clínicos e medidas da DMO, percebeu-se que a CEP não está correlacionada aos mesmos, nem diretamente com a razão área trabecular/medula. São ainda abordados aqui conceitos de Estereologia, discutidos alguns de seus métodos, bem como algumas técnicas de processamento de imagens, que são ferramentas de estudo dos parâmetros histomorfométricos utilizados na investigação da microarquitetura trabecular. / Osteoporosis is a prevalent bone disorder tbat is cbaracterized by the loss af bone mass and the deterioration of the trabecnlar bone microarchitecture. The loss of bone mass is normally measured by the Bone Mineral Density (BMD), however i1.is known tbat tbis measure is not sufficient to fully identify the bone fragility and its consequent future risk for a patient. Therefore, the study af the bone strueture has become of great importance nowadays. ln this work, we investigate the applieabillty oHhe Euler. poinearé Charaeteristic (CE P) to estiroate the trabecular bone connectivity, using, for these, pairs af tomografic images. Thc resnlt will be comparcd to cUnic data and nieasure of BMD. Was noticied that the CEP values are not related with them, even in direet way, with the ratio between trabecnlar and no trabeeular areas. Besides, an introduct.ion to Stereology concepts are provided and some image processing techniques are discussed. These are important tools to the study of histomophometric paraIlleters that are UBedto investigate the trabeenlar microarchitecture.

A osteoporose é uma degradação óssea prevalente que é caracterizada pela perda de massa óssea e deteriorização da microarquitetura do osso trabecular. A perda da massa óssea é normalmente medida por meio da Densidade Mineral Óssea (DMO), porém é fato que esta medida não é suficiente para identificar completamente a fragilidade óssea e, consequentemente, o risco de fratura de um paciente. Portanto, o estudo da estrutura trabecular tornou-se de grande importância. Neste trabalho, é feita uma análise da conectividade trabecular, utilizando-se, para isso, ajustes lineares dos valores da Característica de Euler-Poincaré (CEP), calculada para pares de imagens tomográficas. Relacionando os achados com dados clínicos e medidas da DMO, percebeu-se que a CEP não está correlacionada aos mesmos, nem diretamente com a razão área trabecular/medula. São ainda abordados aqui conceitos de Estereologia, discutidos alguns de seus métodos, bem como algumas técnicas de processamento de imagens, que são ferramentas de estudo dos parâmetros histomorfométricos utilizados na investigação da microarquitetura trabecular. / Osteoporosis is a prevalent bone disorder tbat is cbaracterized by the loss af bone mass and the deterioration of the trabecnlar bone microarchitecture. The loss of bone mass is normally measured by the Bone Mineral Density (BMD), however i1.is known tbat tbis measure is not sufficient to fully identify the bone fragility and its consequent future risk for a patient. Therefore, the study af the bone strueture has become of great importance nowadays. ln this work, we investigate the applieabillty oHhe Euler. poinearé Charaeteristic (CE P) to estiroate the trabecular bone connectivity, using, for these, pairs af tomografic images. Thc resnlt will be comparcd to cUnic data and nieasure of BMD. Was noticied that the CEP values are not related with them, even in direet way, with the ratio between trabecnlar and no trabeeular areas. Besides, an introduct.ion to Stereology concepts are provided and some image processing techniques are discussed. These are important tools to the study of histomophometric paraIlleters that are UBedto investigate the trabeenlar microarchitecture.

Esta dissertação expõe o estudo realizado sobre o artigo de R. Brown, citado na bibliografia, e sobre os conceitos necessários para a compreensão deste material. Entre os principais conceitos e resultados preliminares discutidos, podemos citar: topologia de espaços de funções, teoria de homotopia, espaços compactos ANR, característica de Euler de um compacto ANR, teorema de Lefschetz, espaços fibrados, e campos de caminhos. Os principais resultados discutidos na dissertação são os teoremas centrais do artigo de Brown: toda n-variedade topológica compacta admite um campo de caminhos com no máximo uma singularidade; e, uma n-variedade topológica compacta orientável admite um campo de caminhos sem singularidades se, e somente se, sua característica de Euler é zero. Discutimos também, suas respectivas consequências em teoria de ponto fixo / This essay has the purpose of exposing the studies on the paper by R. Brown, quoted on the references, and on the concepts necessary to the comprehension of it. Among the main concepts and preliminary results discussed, we can cite: topology of function spaces, homotopy theory, ANR compact spaces, Euler characteristic of a compact ANR, Lefschetz theorem, fiber spaces, and field paths. The main results discussed in the text are the central theorems presented on Brown\'s paper: every compact topological n-manifold admits a path field with at most one singularity, and a compact orientable topological n-manifold M admits a nonsingular path field if and only if the Euler characteristic of M is zero. We also discussed their consequences on fixed point theory

Made available in DSpace on 2014-06-11T19:27:10Z (GMT). No. of bitstreams: 0 Previous issue date: 2011-03-01Bitstream added on 2014-06-13T20:27:38Z : No. of bitstreams: 1 silva_mv_me_rcla.pdf: 927964 bytes, checksum: 1bf8757069fd7950b3ef35b7c13da6ba (MD5) / O objetivo deste trabalho é apresentar uma demonstração combinatória dos teore- mas de Índice de Poincaré, a saber: Sejam D um disco e γ seu bordo. Seja V um campo vetorial contínuo sobre D com pontos críticos isolados P1, P2, . . . , Pn pertencentes ao interior de D. Se V nunca se anula em γ, então W(γ) = I(P1) + I(P2) + . . . + I(Pn), onde I(Pi) é o índice do ponto crítico Pi e W(γ) o número de voltas de V sobre γ. Seja V um campo vetorial tangente contínuo sobre uma superfície compacta, co- nexa e orientável S. Então a soma dos índices dos pontos críticos de V é igual à característica de Euler de S. / bstract In this work we present a combinatorial proof for the Poincaré index theorems. Let V be a continuous vector field. Let D be a cell and γ its boundary. Supposing that V is not zero on γ, then W(γ) = I(P1) + I(P2) + . . . + I(Pn) where P1, P2, . . . , Pn are the critical points of V inside D, I(Pi) is the index of Pi, and W(γ) is the winding number of V on γ. Let V be a continuous tangent vector field on a compact, connected, orientable surface S. Then the sum of the indexes of the critical points of V equals the Euler characteristic of S.

Made available in DSpace on 2014-06-11T19:24:52Z (GMT). No. of bitstreams: 0 Previous issue date: 2009-12-22Bitstream added on 2014-06-13T19:52:44Z : No. of bitstreams: 1 martines_mcs_me_rcla.pdf: 781716 bytes, checksum: 8987931f68f38e58e234c3d74a591306 (MD5) / Esta dissertação tem por objetivo trabalhar Topologia no Ensino Médio, usando como recurso pedagógico, a História da Matemática. Iniciaremos com o trabalho de Euler sobre as pontes de Königsberg, pois é com ele que se dá início as pesquisas neste ramo científico da Matemática. Em seguida resgataremos a descoberta de Euler acerca da “propriedade geral dos sólidos limitados por faces planas”, conhecida hoje como relação de Euler. Seu trabalho, intitulado “Demonstratio nonnullarum insignium proprieatatum, quibus solida hedris planis inclusa sunt praedita”, surgiu do incômodo de demonstrar que existia uma propriedade geral para os sólidos limitados por faces planas, uma vez que a propriedade geral para os polígonos já era conhecida. Também iremos trabalhar com as obras de Cauchy e Lhuilier que contribuíram enormemente com a evolução da propriedade citada por Euler. Para encerrar, destacaremos algumas observações sobre a Característica de Euler, assunto que se desenvolveu a partir da preocupação deste e que hoje faz parte da Topologia Algébrica. / This dissertation aims to work topology in high school using as a teaching resource the History of Mathematics. We will start with Euler’s work about the bridges of Königsberg, is with them that begins the research in this scientific branch of Mathematics. After that, we will redeem Euler’s discovery about the “ general property of the solids bounded by flat faces”, known today as Euler’s relation. His work, entitled “ Demonstratio nonnullarum Insignium proprieatatum, quibus solida sunt hedras planis included praedita” arose from the inconvenience of demonstrate that there was a general property for solid bounded by flat faces since the general property for the polygons was already known. We will also work with Cauchy and Lhuilier’s works, which contributed a lot of the evolution of property mentioned by Euler. As closing, we will detach some observations about Euler’s Characteristic, a subject that was develop from Euler’s concerns and now is part of Algebraic Topology.

Esta dissertação expõe o estudo realizado sobre o artigo de R. Brown, citado na bibliografia, e sobre os conceitos necessários para a compreensão deste material. Entre os principais conceitos e resultados preliminares discutidos, podemos citar: topologia de espaços de funções, teoria de homotopia, espaços compactos ANR, característica de Euler de um compacto ANR, teorema de Lefschetz, espaços fibrados, e campos de caminhos. Os principais resultados discutidos na dissertação são os teoremas centrais do artigo de Brown: toda n-variedade topológica compacta admite um campo de caminhos com no máximo uma singularidade; e, uma n-variedade topológica compacta orientável admite um campo de caminhos sem singularidades se, e somente se, sua característica de Euler é zero. Discutimos também, suas respectivas consequências em teoria de ponto fixo / This essay has the purpose of exposing the studies on the paper by R. Brown, quoted on the references, and on the concepts necessary to the comprehension of it. Among the main concepts and preliminary results discussed, we can cite: topology of function spaces, homotopy theory, ANR compact spaces, Euler characteristic of a compact ANR, Lefschetz theorem, fiber spaces, and field paths. The main results discussed in the text are the central theorems presented on Brown\'s paper: every compact topological n-manifold admits a path field with at most one singularity, and a compact orientable topological n-manifold M admits a nonsingular path field if and only if the Euler characteristic of M is zero. We also discussed their consequences on fixed point theory

Neste trabalho estudamos superfícies com a propriedade que suas componentes irredutíveis são superfícies tóricas. Em particular, apresentamos uma fórmula para calcular a obstrução de Euler local destas superfícies. Como uma aplicação desta fórmula, calculamos a obstrução de Euler local para algumas famílias de superfícies determinantais. Além disso, definimos a característica de Euler evanescente de uma superfície tórica normal Xσ, damos uma fórmula para calcular tal invariante e relacionamos este número com a segunda multiplicidade polar de Xσ. Apresentamos também, uma fórmula para a obstrução de Euler de uma função f : Xσ → C e para o número de Brasselet de tal função. Como uma aplicação deste resultado, calculamos a obstrução de Euler de um tipo de polinômio definido em uma família de superfícies determinantais. / In this work we study surfaces with the property that their irreducible components are toric surfaces. In particular, we present a formula to compute the local Euler obstruction of such surfaces. As an application of this formula we compute the local Euler obstruction for some families of determinantal surfaces. Furthermore, we define the vanishing Euler characteristic of a normal toric surface Xσ, we give a formula to compute it, and we relate this number with the second polar multiplicity of Xσ. We also present a formula for the Euler obstruction of a function f : Xσ → C and for the Brasselet number of it. As an application of this result we compute the Euler obstruction of a type of polynomial on a family of determinantal surfaces.

Neste trabalho estudamos superfícies com a propriedade que suas componentes irredutíveis são superfícies tóricas. Em particular, apresentamos uma fórmula para calcular a obstrução de Euler local destas superfícies. Como uma aplicação desta fórmula, calculamos a obstrução de Euler local para algumas famílias de superfícies determinantais. Além disso, definimos a característica de Euler evanescente de uma superfície tórica normal Xσ, damos uma fórmula para calcular tal invariante e relacionamos este número com a segunda multiplicidade polar de Xσ. Apresentamos também, uma fórmula para a obstrução de Euler de uma função f : Xσ → C e para o número de Brasselet de tal função. Como uma aplicação deste resultado, calculamos a obstrução de Euler de um tipo de polinômio definido em uma família de superfícies determinantais. / In this work we study surfaces with the property that their irreducible components are toric surfaces. In particular, we present a formula to compute the local Euler obstruction of such surfaces. As an application of this formula we compute the local Euler obstruction for some families of determinantal surfaces. Furthermore, we define the vanishing Euler characteristic of a normal toric surface Xσ, we give a formula to compute it, and we relate this number with the second polar multiplicity of Xσ. We also present a formula for the Euler obstruction of a function f : Xσ → C and for the Brasselet number of it. As an application of this result we compute the Euler obstruction of a type of polynomial on a family of determinantal surfaces.

Desenvolvemos as ideias centrais da Homologia Simplicial e provamos a invariância topológica dos grupos de homologia para espaços homeomorfos. Discutimos também a invariância topológica da característica de Euler-Poincaré mostrando a sua relação com os grupos de homologia através dos números de Betti. Adicionalmente apresentamos conceitos da Álgebra Abstrata, especificamente da teoria de Grupos, importantes para o entendimento formal da álgebra homológica. Ao final, propomos atividades didáticas com objetivo de trazer as ideias de triangulação e invariância topológica ao contexto da sala de aula. / We develop central ideas of Simplicial Homology and prove the topological invariance of homology groups for homeomorphic spaces. We also discuss topological invariance of Euler- Poincaré characteristic showing its relation with the homology groups through Betti numbers. In addition, we present concepts of abstract algebra, specifically of group theory, which are important to formal understanding of homological algebra. In the end, we propose didactic activities in order to bring the ideas of triangulation and topological invariance to context of math classes on basic education.