CoordenaÃÃo de AperfeiÃoamento de Pessoal de NÃvel Superior / Este trabalho aborda construÃÃes geomÃtricas elementares e de polÃgonos regulares realizadas com rÃgua nÃo graduada e compasso respeitando as regras ou operaÃÃes elementares usadas na Antiguidade pelos gregos. Tais construÃÃes serÃo inicialmente tratadas de uma forma puramente geomÃtrica e, a fim de encontrar um critÃrio que possa determinar a possibilidade de construÃÃo de polÃgonos regulares, passarÃo a ser discutidas por um viÃs algÃbrico. Este tratamento algÃbrico evidenciarà uma relaÃÃo entre a geometria e a Ãlgebra, em especial, a relaÃÃo entre os vÃrtices de um polÃgono regular e as raÃzes de polinÃmios de uma variÃvel com coeficientes racionais. Este tratamento algÃbrico nos levarà naturalmente ao conceito de construtibilidade de nÃmeros e pontos no plano de um corpo, o que exigirà o uso de extensÃes algÃbricas de corpos, e os critÃrios para a construtibi- lidade destes nos levarà a um critÃrio de construtibilidade dos polÃgonos pretendidos. / This work discusses basic geometric constructions and constructions of regular polygons with ruler and compass made respecting the rules or elementary operations used by the ancient Greeks. Such constructs are initially treated in a purely geometric form and, in order to find a criterion that can determine the possibility of construction of regular polygons, will be discussed by an algebraic bias. This algebraic treatment will show a relationship between geometry and algebra, in particular, the relationship between the vertices of a regular polygon and the roots of polynomials in a variable with rational coefficients. This algebraic treatment leads us naturally to the concept of constructibility of numbers and points in a field, which will require the use of algebraic field extensions, and the criteria for the constructibility of these leads to a criterion for constructibility of polygons.

Constructible numbers are the numbers that can be constructed by using compass and straightedge in a finite sequence. They can be produced from natural numbers using only addition, subtraction, multiplication, division, and square root operations. These operations can be repeated, which creates more complicated expressions for a mathematical object. Calculation by computers only gives an approximation of the exact value, which could lead to a loss of accuracy. An alternative to approximation is exact arithmetic, which is the computation to find an exact value without rounding errors. In this thesis, we have presented a method of computing with the exact value of constructible numbers, specifically the rational numbers and its field extension as well as repeated field extension, through the basic operations. However, we only limit our implementation to the quadratic polynomial and the operations between two numbers of the same extension field. Future work on polynomials with higher degrees and algorithms to include operations with numbers from different extension fields and expression of number as an element of a new extension field remains to be done.

Made available in DSpace on 2016-04-27T16:58:52Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Aloisio Daniel Vendeniatti.pdf: 1272014 bytes, checksum: 1262d89ac2880970c73eca396d22ca43 (MD5) Previous issue date: 2009-04-24 / Secretaria da Educação do Estado de São Paulo / The goal of this essay is to show aspects of genesis of number π, inherent to the question of squaring the circle, which consists in constructing a square which has the same area as a given circle. This problem does not refer to a practical application of mathematics, but to the theoretic question that involves the distinction between a valid approach and thinking accuracy. The first attempt to squaring the circle dates back in the fifth century before Christ. After that, it was established that this construction should be carried through using a finite number of times, also the non-graduated ruler and the drawing compass itself. In the constructions with ruler and drawing compass we are referring to the first three postulates of Euclides Elements: 1) It´s possible to join two points by a straight line, 2) to expand a straight line until the necessary point, and 3) to draw a circumference around any point and with any radius. These postulates are the base of these constructions, sometimes called euclidean´s constructions. A real number α is constructible, if feasible building a segment of legth α with ruler and drawing compass, since a segment is taken as a unity. We show the idea of translating the geometrical problem of constructions made with ruler and drawing compass to the algebraic language and this allowed us to solve the problem of squaring the circle. We exposed that all constructible numbers are algebraic, over the rational numbers, establishing the impossibility of squaring the circle, with Lindemann´s demonstration, in 1882, of the number π transcendence. This problem has been fascinating people for more than twenty centuries. We tried to supply all mathematical tools needed for this demonstration. Demonstrations play a fundamental role in the development of this essay, which purpose is not only to contribute to the math teacher formation, but also to detail the resolution of the problem of squaring the circle / O objetivo deste trabalho é apresentar aspectos da gênese do número π, inerentes à questão da quadratura do círculo, a qual consiste em construir um quadrado de área igual à área de um círculo de raio r dado. Esse problema não diz respeito a uma aplicação prática da matemática, mas sim a uma questão teórica que envolve uma distinção entre uma boa aproximação e a exatidão do pensamento. O registro da primeira tentativa de se quadrar o círculo remonta a Anaxágoras, no século V a.C. Posteriormente, ficou estabelecido que essa construção deveria ser realizada utilizando-se, um número finito de vezes, a régua não graduada e o compasso. Nas construções com régua e compasso, estamos nos referindo aos três primeiros postulados dos Elementos de Euclides: 1) é possível unir dois pontos por uma reta, 2) prolongar uma linha reta até onde seja necessário e 3) traçar uma circunferência em torno de qualquer ponto e com qualquer raio. Esses postulados são a base dessas construções, muitas vezes chamadas de construções euclidianas. Um número real α é construtível, se for possível "construir com régua e compasso um segmento de comprimento igual a α, a partir de um segmento tomado como unidade". Apresentamos a idéia de traduzir o problema geométrico das construções com régua e compasso para a linguagem algébrica, e isso permitiu solucionar o problema da quadratura do círculo. Expomos que todo número construtível é algébrico sobre os racionais, estabelecendo a impossibilidade de quadrar o círculo com a demonstração de Lindemann, em 1882, da transcendência do número π. Vemos que esse problema fascinou estudiosos por mais de 20 séculos. Procuramos fornecer todas as ferramentas matemáticas necessárias para essa demonstração. As demonstrações desempenham um papel fundamental no desenvolvimento deste trabalho, que tem por finalidade não só contribuir para a formação do professor de matemática, mas também detalhar a resolução do problema da quadratura do círculo

Orientador: Prof. Dr. Sinuê Dayan Barbero Lodovici / Dissertação (mestrado) - Universidade Federal do ABC, Programa de Pós-Graduação em Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional, 2016. / Geometry is present in many of our contemporary activities, which allows us to search for more contextualized teaching strategies in order to make the learning process more meaningful to the student. Folding square papers to create origami, seems, to some extent, something simple, seeing that since our childhood, we play folding paper, making boats, balloons or even aircrafts. However, much more than just folding randomly, Origami is based on basic geometry and without realizing it, we work with angles, planes, lines and points, enabling several ways to work with Geometry with this technique inside the classroom, in a playful and interesting way, arising the students¿ curiosity. Thus this thesis aims to present a proposal to approach in a more playful way the fundamental knowledge of Euclidean Geometry through Origami. In this work we broach two of the three classic and insolvable problems of Euclidean geometry using the ruler and the ideal compass, showing some possible elementary frames with only these two instruments. We also mention the constructability of certain numbers using the ruler and the ideal compass. Finally, we discourse about the Japanese technique of Origami, the axioms that substantiate its geometry as well as demonstrate the resolution for two of these insolvable problems: the angle trisection and the duplication of a cube. / A Geometria faz-se presente em várias de nossas atividades contemporâneas, o que nos permite buscar estratégias de ensino mais contextualizadas, de maneira que a aprendizagem seja mais significativa ao aluno. Fazer dobraduras em papel parece, até certo ponto, algo simples, visto que, desde a nossa infância brincamos com a dobradura em papel, seja fazendo barcos, balões ou aviões. Porém, muito além do ato de apenas dobrar de maneira qualquer, o Origami é fundamentado em conhecimentos básicos da Geometria e sem percebermos, trabalhamos com ângulos, planos, retas e pontos, possibilitando diversas formas de se trabalhar a Geometria com esta técnica em sala de aula, de maneira lúdica e interessante, despertando a curiosidade do aluno. Desta forma, esta dissertação busca apresentar uma proposta para abordar de maneira mais lúdica os conhecimentos fundamentais da Geometria Euclidiana através do Origami. Neste presente trabalho abordamos sobre dois dos três problemas clássicos e insolúveis da Geometria Euclidiana utilizando a régua e o compasso ideais, abordando algumas construções elementares possíveis com apenas esses dois intrumentos. Abordamos também sobre a construtibilidade de determinados números utilizando a régua e o compasso ideais. Por fim, discorremos sobre a técnica japonesa do Origami, os axiomas que fundamentam sua geometria, bem como a demonstração da resolução de dois desses problemas insolúveis: a trissecção do ângulo e a duplicação do cubo.

Submitted by Luciana Ferreira (lucgeral@gmail.com) on 2015-01-27T14:46:39Z No. of bitstreams: 2 license_rdf: 23148 bytes, checksum: 9da0b6dfac957114c6a7714714b86306 (MD5) Dissertação - Emerson José da Silva - 2014.pdf: 7690015 bytes, checksum: 913769b0dd5913e4688da0ec1491b760 (MD5) / Approved for entry into archive by Luciana Ferreira (lucgeral@gmail.com) on 2015-01-28T12:58:40Z (GMT) No. of bitstreams: 2 license_rdf: 23148 bytes, checksum: 9da0b6dfac957114c6a7714714b86306 (MD5) Dissertação - Emerson José da Silva - 2014.pdf: 7690015 bytes, checksum: 913769b0dd5913e4688da0ec1491b760 (MD5) / Made available in DSpace on 2015-01-28T12:58:40Z (GMT). No. of bitstreams: 2 license_rdf: 23148 bytes, checksum: 9da0b6dfac957114c6a7714714b86306 (MD5) Dissertação - Emerson José da Silva - 2014.pdf: 7690015 bytes, checksum: 913769b0dd5913e4688da0ec1491b760 (MD5) Previous issue date: 2014-08-21 / In this work we revisit the subject Geometric Constructions into ruler and compass, using the dynamic geometry software 'Ruler and Compass' as an auxiliary tool in the teaching and learning of geometry, building examples and suggestions for activities with the software. Brought to the fore the possibility of building into ruler and compass, solutions to several problems that can be presented as algebraic expressions. Yet addressed the possibility of constructing a number, using only ruler and compass and discuss the famous and historical problems of geometrical construction: doubling the cube, squaring the circle and the trisection of the angle. We add appendices which present other possible constructions and also bring suggestions for activities with ruler and compass software. Keywords / Neste trabalho revisitamos o assunto Construções Geométricas via régua e compasso, utilizando o software de Geometria Dinâmica ‘Régua e Compasso’ como uma ferramenta auxiliar no ensino e aprendizagem de Geometria, construindo exemplos e sugestões de atividades com o software. Trouxemos à tona a possibilidade da construção, via régua e compasso, de soluções para vários problemas que podem ser apresentados por expressões algébricas. Abordamos ainda a possibilidade da construção de um número, utilizando-se apenas a régua e o compasso e discutimos os célebres e históricos problemas de construção geométrica: duplicação do cubo, quadratura do círculo e trissecção do ângulo. Acrescemos ainda apêndices onde apresentamos outros tipos de construções possíveis e também trazemos sugestões de atividades com o software ‘Régua e Compasso’.