Cette thèse est dédiée à l'analyse mathématique et la simulation numérique des équations intervenant dans la modélisation de l’électrophysiologie cardiaque. D'abord, nous donnons une justification mathématique rigoureuse du processus d’homogénéisation périodique à l’aide de la méthode d'éclatement périodique. Nous considérons des conductivités électriques tensorielles qui dépendent de l’espace et des modèles ioniques non linéaires physiologiques et phénoménologiques. Nous montrons l'existence et l'unicité d’une solution du modèle microscopique en utilisant une approche constructive de Faedo- Galerkin suivie par un argument de compacité dans L2. Ensuite, nous montrons la convergence de la suite de solutions du problème microscopique vers la solution du problème macroscopique. À cause des termes non linéaires sur la variété oscillante, nous utilisons l’opérateur d’éclatement sur la surface et un argument de compacité de type Kolmogorov pour les modèles phénoménologiques et de type Minty pour les modèles physiologiques. En outre, nous considérons le modèle monodomaine couplé au modèle physiologique de Beeler-Reuter. Nous proposons un schéma volumes finis et nous analysons sa convergence. D'abord, nous dérivons la formulation variationnelle discrète correspondante et nous montrons l'existence et l'unicité de sa solution. Par compacité, nous obtenons la convergence de la solution discrète. Comme le schéma TPFA (two point flux approximation) est inefficace pour approcher les flux diffusifs avec des tenseurs anisotropes, nous proposons et analysons, ensuite, un schéma combiné non-linéaire qui préserve le principe de maximum. Ce schéma est basé sur l’utilisation d’un flux numérique de Godunov pour le terme de diffusion assurant que les solutions discrètes soient bornées sans restriction sur le maillage du domaine spatial ni sur les coefficients de transmissibilité. Enfin, dans la perspective d'étudier la solvabilité des modèles électromécaniques couplés avec des modèles ioniques physiologiques, nous considérons un modèle avec une description linéarisée de la réponse élastique passive du tissu cardiaque, une linéarisation de la contrainte d'incompressibilité et une approximation tronquée des diffusivités non linéaires intervenant dans les équations du modèle bidomaine. La preuve utilise des approximations par des systèmes non-dégénérés et la méthode Faedo-Galerkin suivie par un argument de compacité. / This thesis is concerned with the mathematical analysis and numerical simulation of cardiac electrophysiology models. We use the unfolding method of homogenization to rigorously derive the macroscopic bidomain equations. We consider tensorial and space dependent conductivities and physiological and simplified ionic models. Using the Faedo-Galerkin approach followed by compactness, we prove the existence and uniqueness of solution to the microscopic bidomain model. The convergence of a sequence of solutions of the microscopic model to the solution of the macroscopic model is then obtained. Due to the nonlinear terms on the oscillating manifold, the boundary unfolding operator is used as well as a Kolmogorov compactness argument for the simplified models and a Minty type argument for the physiological models. Furthermore, we consider the monodomain model coupled to Beeler- Reuter's ionic model. We propose a finite volume scheme and analyze its convergence. First, we show existence and uniqueness of its solution. By compactness, the convergence of the discrete solution is obtained. Since the two-point flux approximation (TPFA) scheme is inefficient in approximating anisotropic diffusion fluxes, we propose and analyze a nonlinear combined scheme that preserves the maximum principle. In this scheme, a Godunov approximation to the diffusion term ensures that the solutions are bounded without any restriction on the transmissibilities or on the mesh. Finally, in view of adressing the solvability of cardiac electromechanics coupled to physiological ionic models, we considered a model with a linearized description of the passive elastic response of cardiac tissue, a linearized incompressibility constraint, and a truncated approximation of the nonlinear diffusivities appearing in the bidomain equations. The existence proof is done using nondegenerate approximation systems and the Faedo-Galerkin method followed by a compactness argument.

Doctor of Philosophy / Department of Mechanical and Nuclear Engineering / Daniel V. Swenson / The objective of the thesis is to provide a fully coupled thermo-hydro-mechanical (THM) tool, T2STR, which enables quantitative understanding and prediction of thermal as well as mechanical effects on flow in the porous media under multiphase conditions. This is achieved by incorporating a finite element based hydro-thermo-mechanical stress capability into the well-established IFDM (Integrated Finite Difference Method) based flow simulation code TOUGH2. TOUGH2 is a program for calculation of multi-phase, multi-component, non-isothermal flow in porous media. It implements several equation of state modules to represent different fluid mixtures. The dual mesh technique is natural for combining both discretization methods and is used innovatively and effectively. A generalized approach is developed to accommodate the switching of variables implemented in TOUGH2 to adapt the phase changes. The forward coupling is achieved by using the thermal, hydrostatic, and poroelastic effects in the stress calculations. The backward coupling includes the effect of strain on the fluid flow. T2STR also allows the user to study the variation in porosity, permeability and capillary pressure as function of mean effective stress in the porous media. Multiple materials can be used to model the reservoir in T2STR, parallel to the implementation in TOUGH2. T2STR is implemented to carry out as a fully coupled, one way coupled (only deformation as function of hydro-thermal effects), or original TOUGH2 implementation. It provides the ability to switch on and off the thermal and/or poroelastic effects. T2STR is developed to model the fractured porous media using discrete fractures. The modeling of fractured porous media is limited to a staggered coupling approach. The fluid parameters like permeability, porosity are modified based on the stresses and/or aperture changes due to deformation. A set of verification problems, used to validate the code and display the capabilities of the code, are discussed. A graphical user interface is designed to pre-process the necessary data. Macros are developed for excel and Tecplot to post-process the results for easy visualization.