Dans cette thèse, on définit un invariant fonctoriel d'enchevêtrements dans le tore épaissi qui généralise l'intégrale de Kontsevich. Cet invariant est tout d'abord construit analytiquement à partir d'une version universelle de la connexion de Knizhnik-Zamolodchikov-Bernard elliptique. On donne ensuite une version combinatoire de sa construction, basée sur la notion d' " associateur elliptique " introduite par Enriquez. L'outil principal de cette dernière construction est un théorème qui caractérise la catégorie des enchevêtrements en genre quelconque par une propriété universelle exprimée dans le langage des catégories tensorielles.

Dans le dernier siècle, nombreux sciences ont enrichi leur syntaxe pour pouvoir modeler des interactions. Entre eux on peut compter l'informatique, la physique quantique, et aussi la biologie et l’économie : toutes ces sciences sont des exemples de domaines qui ont besoin d'une syntaxe et d'une sémantique soit pour la concurrence que pour la séquentialité.Les diagrammes des cordes sont bien adapté à cet effet. Dans leur syntaxe on peut retrouver deux compositions : une composition parallèle et une composition séquentielle, qui peuvent interagir à travers une loi d'interchange. Si on considère cette loi comme une égalité, les diagrammes de cordes sont une syntaxe pour les catégories monoidales strictes, avec une représentation graphique plus intuitive que les formules algébriques traditionnelles.Dans cette thèse, on étude cette syntaxe de dimension 2 et sa sémantique. On considéré la réécriture des diagrammes et on donne des applications de cet méthode :- une preuve détaillée du théorème de cohérence de MacLanes pour les catégories monoidales symétriques basée sur un système de réécriture convergent donnée en arXiv:1606.01722;;- une interprétation des dérivations de preuves avec les diagrammes de preuve pour le fragment MELL de la logique linéaire, qui capture l’équivalence de preuves. On peut vérifier la séquentialité en temps linéaire, c'est à dire vérifier si un diagramme corresponds à une preuve. Cette interprétation est une extension de celle pour le fragment MLL donnée en arXiv:1606.09016 en donnant aussi un résultat de élimination du coupure. / In the last century, several sciences enriched their syntax in order to model interactions.Not only computer science and quantum physics, but also biology and economicsare examples of fields requiring syntax and semantics for concurrency as wellas for sequentiality.String diagrams are suitable for that purpose. In that syntax, we have two compositions:the parallel one and the sequential one, which may interact by the interchangerule. If we consider this rule as an equality, string diagrams are a syntax for strictmonoidal categories, with a more intuitive graphical representation than traditionalalgebraic formulas.In this thesis, we study this 2-dimensional syntax and its semantics. We considerdiagram rewriting and we give two applications of those methods:• a detailed proof of Mac Lane’s coherence theorem for symmetric monoidal categoriesbased on convergent diagram rewriting, which is given in arXiv:1606.01722;• an interpretation of proof derivations by string diagrams for the MELL fragmentof linear logic, which captures proof equivalence. We get a linear sequentializabilitytest to verify if a diagram corresponds to a proof . This interpretationextends the one for the MLL fragment given in arXiv:1606.09016,providing also a cut-elimination result.

Dans cette thèse, on définit un invariant fonctoriel d'enchevêtrements dans le tore épaissi qui généralise l'intégrale de Kontsevich. Cet invariant est tout d'abord construit analytiquement à partir d'une version universelle de la connexion de Knizhnik-Zamolodchikov-Bernard elliptique. On donne ensuite une version combinatoire de sa construction, basée sur la notion d' « associateur elliptique » introduite par Enriquez. L'outil principal de cette dernière construction est un théorème qui caractérise la catégorie des enchevêtrements en genre quelconque par une propriété universelle exprimée dans le langage des catégories tensorielles. / We construct a functorial invariant of tangles embedded in the thickened torus. This invariant generalizes the Kontsevich integral, and can be analytically derivated from a universal version of the elliptic Knizhnik-Zamolodchikov-Bernard equation. The main part of the thesis is devoted to the combinatorial version of its construction, using the notion of « elliptic associator » introduced by Enriquez. A key ingredient is a universal property satisfied by the category of framed tangles in the torus. This universal property is established in the language of monoidal categories, and extends Reshetikhin-Turaev-Shum's coherence theorem to the case of framed tangles in any closed genus g surface.

Thèse numérisée par la Division de la gestion de documents et des archives de l'Université de Montréal.

Thèse numérisée par la Division de la gestion de documents et des archives de l'Université de Montréal