Neste trabalho foi realizado um mapeamento de ferramentas analíticas para representação e tratamento computacional de Sistemas Fuzzy. Este mapeamento evidenciou a existência de relações e a adequação do uso da Teoria Fuzzy na construção de modelos para a solução de problemas envolvendo Sistemas Dinâmicos e, em particular, de Sistemas Dinâmicos Caóticos. Propôs-se uma diferenciação entre dois tipos de Sistemas Dinâmicos Fuzzy (SDF\'s) - os Sistemas Dinâmicos Fuzzy Intrínsecos (SDFI\'s) e os Sistemas Dinâmicos Fuzzy Extrínsecos (SDFE\'s). Foram utilizados SDFE\'s na modelagem Fuzzy para a solução de problemas de fixação de trajetórias em sistemas caóticos. Foram desenvolvidos Estudos de Caso que permitiram verificar, por meio de simulações em bilhares e testes em circuito de Chua (este último implementado em protótipo físico) a adequação do uso desta técnica na solução destes problemas. No desenvolvimento da Tese foram obtidas as seguintes realizações relacionadas ao circuito de Chua (CCH): Tratamento computacional sobre circuito real; Utilização de um conversor analógico-digital de oito bits seguido por filtro passa-baixas para compensar a baixa resolução na leitura dos sinais; Utilização de circuito girador para implementar o indutor do CCH; Proposta e realização de um circuito inédito para definir o resistor de controle, via porta paralela do PC, de modo simples e de fácil reprodução. Com relação aos bilhares foram obtidas as seguintes realizações: Definição de um novo tipo de bilhar (Bilhar Newtoniano de Garms & Andrade); Desenvolvimento da análise detalhada das equações de simulação dos bilhares empregados nos Estudos de Caso. Ao rediscutir-se a Lógica Seqüencial Fuzzy definiu-se e desenvolveu-se, por meio da aplicação de realimentação em Circuitos Seqüenciais Fuzzy nos Sistemas Dinâmicos, um Astável Fuzzy (oscilações não-periódicas), o qual exemplifica um SDFI. Finalmente realizaram-se algumas interpretações da Física pela Teoria Fuzzy, utilizando-se o conceito de SDFI\'s. / A mapping of analytical tools for representation and computational treatment of Fuzzy Systems was made in this thesis. This mapping evidenced the existence of relations and the adequacy of the use of the Fuzzy Theory in the models construction for the problems solution involving dynamic systems e, in particular, of chaotic systems. A differentiation was considered about two types of Fuzzy Dynamic Systems - the Intrinsic Fuzzy Dynamic Systems (IFDS) and the Extrinsic Fuzzy Dynamic Systems (EFDS). The EFDS in the Fuzzy modeling is used for the problems solution of trajectories setting in chaotic systems. Case Studies had been developed that allow to verify, by means of simulation in billiards and tests in circuit of Chua (implemented in physical prototype), the adequacy of the use of this strategy in the solution of these problems. Related with Chua circuit, can be mentioned the following achievements: Computational treatment on real circuit; Use of a 8-bits AD converter followed by lowpass filter to compensate this low resolution signals reading; Use of gyrator circuit to implement the inductor used in this circuit; Proposal and accomplishment of a circuit to define the control resistor, via PC parallel port, of simple reproduction. Related with billiards, the following achievements are mentioned: Definition of a new billiard - Garms & Andrade Newtonian Billiard; Development of detailed equations of the simulations billiards analysis. When discussing again the Sequential Logic Fuzzy, is defined and developed, by means of the application of feedback in Sequential Circuits Fuzzy in the Dynamic Systems, an Astable Fuzzy (non-periodic oscillations), which exemplifies an IFDS. Finally, some interpretations of the Physics for the Fuzzy Theory are also presented with the use of the IFDS concept.

Neste trabalho foi realizado um mapeamento de ferramentas analíticas para representação e tratamento computacional de Sistemas Fuzzy. Este mapeamento evidenciou a existência de relações e a adequação do uso da Teoria Fuzzy na construção de modelos para a solução de problemas envolvendo Sistemas Dinâmicos e, em particular, de Sistemas Dinâmicos Caóticos. Propôs-se uma diferenciação entre dois tipos de Sistemas Dinâmicos Fuzzy (SDF\'s) - os Sistemas Dinâmicos Fuzzy Intrínsecos (SDFI\'s) e os Sistemas Dinâmicos Fuzzy Extrínsecos (SDFE\'s). Foram utilizados SDFE\'s na modelagem Fuzzy para a solução de problemas de fixação de trajetórias em sistemas caóticos. Foram desenvolvidos Estudos de Caso que permitiram verificar, por meio de simulações em bilhares e testes em circuito de Chua (este último implementado em protótipo físico) a adequação do uso desta técnica na solução destes problemas. No desenvolvimento da Tese foram obtidas as seguintes realizações relacionadas ao circuito de Chua (CCH): Tratamento computacional sobre circuito real; Utilização de um conversor analógico-digital de oito bits seguido por filtro passa-baixas para compensar a baixa resolução na leitura dos sinais; Utilização de circuito girador para implementar o indutor do CCH; Proposta e realização de um circuito inédito para definir o resistor de controle, via porta paralela do PC, de modo simples e de fácil reprodução. Com relação aos bilhares foram obtidas as seguintes realizações: Definição de um novo tipo de bilhar (Bilhar Newtoniano de Garms & Andrade); Desenvolvimento da análise detalhada das equações de simulação dos bilhares empregados nos Estudos de Caso. Ao rediscutir-se a Lógica Seqüencial Fuzzy definiu-se e desenvolveu-se, por meio da aplicação de realimentação em Circuitos Seqüenciais Fuzzy nos Sistemas Dinâmicos, um Astável Fuzzy (oscilações não-periódicas), o qual exemplifica um SDFI. Finalmente realizaram-se algumas interpretações da Física pela Teoria Fuzzy, utilizando-se o conceito de SDFI\'s. / A mapping of analytical tools for representation and computational treatment of Fuzzy Systems was made in this thesis. This mapping evidenced the existence of relations and the adequacy of the use of the Fuzzy Theory in the models construction for the problems solution involving dynamic systems e, in particular, of chaotic systems. A differentiation was considered about two types of Fuzzy Dynamic Systems - the Intrinsic Fuzzy Dynamic Systems (IFDS) and the Extrinsic Fuzzy Dynamic Systems (EFDS). The EFDS in the Fuzzy modeling is used for the problems solution of trajectories setting in chaotic systems. Case Studies had been developed that allow to verify, by means of simulation in billiards and tests in circuit of Chua (implemented in physical prototype), the adequacy of the use of this strategy in the solution of these problems. Related with Chua circuit, can be mentioned the following achievements: Computational treatment on real circuit; Use of a 8-bits AD converter followed by lowpass filter to compensate this low resolution signals reading; Use of gyrator circuit to implement the inductor used in this circuit; Proposal and accomplishment of a circuit to define the control resistor, via PC parallel port, of simple reproduction. Related with billiards, the following achievements are mentioned: Definition of a new billiard - Garms & Andrade Newtonian Billiard; Development of detailed equations of the simulations billiards analysis. When discussing again the Sequential Logic Fuzzy, is defined and developed, by means of the application of feedback in Sequential Circuits Fuzzy in the Dynamic Systems, an Astable Fuzzy (non-periodic oscillations), which exemplifies an IFDS. Finally, some interpretations of the Physics for the Fuzzy Theory are also presented with the use of the IFDS concept.

<p>The focus of this dissertation is on phenomena exhibited by multistable systems. Two phenomena of particular importance are chaos control and stochastic resonance. In this work, both models that can predict ordered responses and experiments in which ordered responses occur are explored. In addition, parameter identification methods are presented and improved. </p><p>Chaos control, when implemented with delays, can be an effective way to stabilize unstable periodic orbits within a multistable system experiencing a chaotic response. Delayed control is easy to implement physically but greatly increases the complexity of analyzing such systems. In this work, the spectral element method was adapted to evaluate unstable periodic orbits stabilized by feedback control implemented with delays. Examples are presented for Duffing systems in which the delay is equal to the forcing period. The spectral approach is also extended to analyze the control of chaos with arbitrary delays. Control with arbitrary delays can also be used to stabilize equilibria within the chaotic response. These methods for arbitrary delays are explored in self-excited, chaotic systems.</p><p>Stochastic resonance occurs in multistable systems when an increase in noise results in an ordered response. It is well known that noise excitation of multistable systems results in the system escaping from potential wells or switching between wells. In stochastic resonance, a small external signal is amplified due to these switching events. Methods for modeling stochastic resonance in both underdamped and overdamped systems are presented. In addition, stochastic resonance in a bistable, composite beam excited by colored noise is investigated experimentally. The experimental results are compared with analytical models, and the effect of modal masses on the analytical expressions is explored. Finally, an alternative approach for calculating the effect of colored noise excitation is proposed.</p><p>In order to implement analysis methods related to delay differential equations or stochastic resonance, the parameters of the system must be known in advance or determined experimentally. Parameter identification methods provide a natural connection between experiment and theory. In this work, the harmonic balance parameter identification method was applied to beam energy harvesters and is improved using weighting matrices. The method has been applied to a nonlinear, bistable, piezoelectric beam with a tip mass. Then, an experimental method of determining the number of restoring force coefficients necessary to accurately model the systems was demonstrated. The harmonic balance method was also applied to a bistable, beam system undergoing stochastic resonance. Finally, a new weighting strategy is presented based on the signal to noise ratio of each harmonic.</p> / Dissertation

Inicialmente, consideramos o mapa Logístico com os vários fenômenos nele presentes, para depois, ao perturbarmos esse mapa, adicionando periodicamente um termo de amplitude constante, identificarmos os novos fenômenos e as alterações que a introdução da perturbação faz aparecer. Apresentamos o circuito eletrônico de Matsumoto e, em seguida, o consideramos em um regime caótico perturbado por uma tensão elétrica senoidal externa. A introdução desta perturbação faz o circuito permanecer caótico, tornar-se periódico ou quasi-periódico no toro de duas frequências. Aplicamos diversos métodos de controle de caos a três sistemas (mapa Logístico, mapa de Hénon e circuito de Matsumoto). Para a estabilização de uma órbita periódica, consideramos os métodos de Ott-Grebogi-Yorke (OGY), de Romeiras, de Pyragas, de Sinha, de Singer e de H¨ubbler. Para o direcionamento da trajetória para um ponto de equilíbrio, usamos o método de Sinha. Para a transferência da trajetória para um dos atratores coexistentes no sistema de Matsumoto, usamos o método de Jackson-H¨ubbler (OPCL). Usando um conjunto de pertubações constantes em um parâmetro previamente escolhido, mostramos como é possével dirigir rapidamente uma trajetória, de qualquer um dos três sistemas considerados nesta tese, para um determinado alvo. Além disso, é mostrado como esse método pode ser aplicado experimentalmente. / Initially, we consider the Logistic map with its many non-linear phenomena. Then, we use this knowledge to discern new phenomena that shall appear when the map is perturbed, that is the Logistic map perturbed by a periodic and constant term. The Matsumoto\'s circuit is presented and, after we set this circuit to behave chaotically, we perturb it with a sinoidal wave, characterized by its frequency and amplitude. This perturbation is responsible for the appearence of a quasi-periodic and periodic oscillations, or the maintenance of chaos. We presented and applied many methods for controlling chaotic oscillations in three systems (the Logistic and Henon maps, and the Matsumoto\'s circuit), showing many ways for stabilizing a periodic orbit, using the methods of Ott-Grebogi-York (OGY), Romeiras, Singer, Sinhas and Huebbler. For targeting the trajectory to a equilibrium point, the Sinha\'s method was used. To transfer the system trajectory from one to another of the coexisting attractors presented in the Matsumoto\'s circuit, we use the Jackson-Huebbler (OPCL) method. Using a set of constant perturbations, in a previously chosen parameter, we showed how we can rapidly direct a trajectory of any of the considered three systems to a aimed target. Besides, it is shown how this method can be experimentally applied.

Nesta tese, uma família de memórias associativas bidirecionais caóticas (família C-BAM) é proposta, implementada e testada com o objetivo de estender a relevância da presença e do estudo do fenômeno caótico a modelos de redes associativas. Na modelagem da família C-BAM, todos os neurônios da memória associativa bidirecional caótica (BAM), BAM com atraso e BAM exponencial (eBAM) foram substituídos por neurônios caóticos. Cada parâmetro do neurônio caótico na família C-BAM tem sua influência estimada através do planejamento de experimentos, em diferentes dinâmicas. Com base no planejamento de experimentos, valores de parâmetros são selecionados a fim de ilustrar a emergência de comportamentos dinâmicos como bifurcação, caos determinístico e crise. A existência de dinâmicas caóticas é confirmada pelo cálculo dos expoentes de Lyapunov. Experimentos empíricos mostraram que a dinâmica caótica modifica a acessibilidade à memória da família C-BAM. Ao invés de recuperar um único par, como a família BAM fazia, a versão caótica é capaz de gerar uma grande diversidade de padrões recuperados, envolvendo complexas transições entre os padrões armazenados, para algumas variações paramétricas. Tal comportamento permite à família C-BAM acessar padrões inacessíveis às redes BAMs originais. Além disso, a nova acessibilidade à memória, na qual seqüências de recuperação (com diferentes tamanhos) compostas de padrões treinados e não treinados têm emergido, pode ser usada para modelar a habilidade de um indivíduo saltar passos na solução de uma tarefa. Esta tese seleciona a rede C-BAM para ilustrar que a seqüência de recuperação da rede pode modelar a habilidade de um noviço ou a habilidade de um especialista executar uma tarefa. Embora a família C-BAM possa alcançar todos os padrões armazenados durante o comportamento caótico, ela não consegue convergir para um padrão específico. Duas estratégias de controle são propostas para permitir que as redes caóticas convirjam para a memória desejada: o método de controle por pinagem e um método de controle adaptativo. Conseqüentemente, os modelos C-BAM podem, de fato, realizar a hetero-associação de memórias antes inacessíveis, e a rede C-BAM pode estabilizar-se no estado final de uma tarefa, dado o primeiro estado / In this thesis, a family of bidirectional associative memories (C-BAM family) is proposed, implemented and tested to extend the study of chaotic phenomenon in associative models. In the C-BAM model, all the original neurons of bidirectional associative memory (BAM), BAM with delay and exponenetial BAM (eBAM) were substituted for chaotic neurons. Based on the experimental design, values of C-BAM family parameters are set to illustrate the emergence of a diversity of dynamic behavior, such as bifurcation, deterministic chaos and crisis. The existence of the chaotic dynamics is confirmed by calculation of Lyapunov exponents. Empiric experiments showed that the chaotic dynamics modifies the behavior of memory accessibility. Instead of recalling a single pair, as BAM did, its chaotic version yielded a wide diversity of recalled patterns, involving complex transitions via memorized patterns for some parametric variations. Hence, C-BAM family can access patterns that original BAM family cannot. Moreover, the new way of memory accessibility, in which several recall sequences (with distinct sizes) composed of trained and nontrained patterns have emerged, can be used to model the ability of skipping steps by an individual in a task solution. This thesis selected C-BAM network to illustrate that the retrieval sequence can model the ability of a novice or the ability of an expert to execute a task. There are also illustrated cases in which a novice recall can be transformed into an expert recall through parametric variation. Although C-BAM family can reach all stored patterns during the chaotic behavior, it can not converge towards a specific pattern, consequently a desired output is not produced. In this thesis, two control strategies are proposed in order to make the chaotic networks to converge towards the desired memory: the pinning control method and the adaptive control method. Consequently, the C-BAM models can effectively realize the correct heteroassociation to former non-accessible memories and the C-BAM network can quickly be stabilized in the final state of a task, given the first state

Nesta tese, uma família de memórias associativas bidirecionais caóticas (família C-BAM) é proposta, implementada e testada com o objetivo de estender a relevância da presença e do estudo do fenômeno caótico a modelos de redes associativas. Na modelagem da família C-BAM, todos os neurônios da memória associativa bidirecional caótica (BAM), BAM com atraso e BAM exponencial (eBAM) foram substituídos por neurônios caóticos. Cada parâmetro do neurônio caótico na família C-BAM tem sua influência estimada através do planejamento de experimentos, em diferentes dinâmicas. Com base no planejamento de experimentos, valores de parâmetros são selecionados a fim de ilustrar a emergência de comportamentos dinâmicos como bifurcação, caos determinístico e crise. A existência de dinâmicas caóticas é confirmada pelo cálculo dos expoentes de Lyapunov. Experimentos empíricos mostraram que a dinâmica caótica modifica a acessibilidade à memória da família C-BAM. Ao invés de recuperar um único par, como a família BAM fazia, a versão caótica é capaz de gerar uma grande diversidade de padrões recuperados, envolvendo complexas transições entre os padrões armazenados, para algumas variações paramétricas. Tal comportamento permite à família C-BAM acessar padrões inacessíveis às redes BAMs originais. Além disso, a nova acessibilidade à memória, na qual seqüências de recuperação (com diferentes tamanhos) compostas de padrões treinados e não treinados têm emergido, pode ser usada para modelar a habilidade de um indivíduo saltar passos na solução de uma tarefa. Esta tese seleciona a rede C-BAM para ilustrar que a seqüência de recuperação da rede pode modelar a habilidade de um noviço ou a habilidade de um especialista executar uma tarefa. Embora a família C-BAM possa alcançar todos os padrões armazenados durante o comportamento caótico, ela não consegue convergir para um padrão específico. Duas estratégias de controle são propostas para permitir que as redes caóticas convirjam para a memória desejada: o método de controle por pinagem e um método de controle adaptativo. Conseqüentemente, os modelos C-BAM podem, de fato, realizar a hetero-associação de memórias antes inacessíveis, e a rede C-BAM pode estabilizar-se no estado final de uma tarefa, dado o primeiro estado / In this thesis, a family of bidirectional associative memories (C-BAM family) is proposed, implemented and tested to extend the study of chaotic phenomenon in associative models. In the C-BAM model, all the original neurons of bidirectional associative memory (BAM), BAM with delay and exponenetial BAM (eBAM) were substituted for chaotic neurons. Based on the experimental design, values of C-BAM family parameters are set to illustrate the emergence of a diversity of dynamic behavior, such as bifurcation, deterministic chaos and crisis. The existence of the chaotic dynamics is confirmed by calculation of Lyapunov exponents. Empiric experiments showed that the chaotic dynamics modifies the behavior of memory accessibility. Instead of recalling a single pair, as BAM did, its chaotic version yielded a wide diversity of recalled patterns, involving complex transitions via memorized patterns for some parametric variations. Hence, C-BAM family can access patterns that original BAM family cannot. Moreover, the new way of memory accessibility, in which several recall sequences (with distinct sizes) composed of trained and nontrained patterns have emerged, can be used to model the ability of skipping steps by an individual in a task solution. This thesis selected C-BAM network to illustrate that the retrieval sequence can model the ability of a novice or the ability of an expert to execute a task. There are also illustrated cases in which a novice recall can be transformed into an expert recall through parametric variation. Although C-BAM family can reach all stored patterns during the chaotic behavior, it can not converge towards a specific pattern, consequently a desired output is not produced. In this thesis, two control strategies are proposed in order to make the chaotic networks to converge towards the desired memory: the pinning control method and the adaptive control method. Consequently, the C-BAM models can effectively realize the correct heteroassociation to former non-accessible memories and the C-BAM network can quickly be stabilized in the final state of a task, given the first state

Inicialmente, consideramos o mapa Logístico com os vários fenômenos nele presentes, para depois, ao perturbarmos esse mapa, adicionando periodicamente um termo de amplitude constante, identificarmos os novos fenômenos e as alterações que a introdução da perturbação faz aparecer. Apresentamos o circuito eletrônico de Matsumoto e, em seguida, o consideramos em um regime caótico perturbado por uma tensão elétrica senoidal externa. A introdução desta perturbação faz o circuito permanecer caótico, tornar-se periódico ou quasi-periódico no toro de duas frequências. Aplicamos diversos métodos de controle de caos a três sistemas (mapa Logístico, mapa de Hénon e circuito de Matsumoto). Para a estabilização de uma órbita periódica, consideramos os métodos de Ott-Grebogi-Yorke (OGY), de Romeiras, de Pyragas, de Sinha, de Singer e de H¨ubbler. Para o direcionamento da trajetória para um ponto de equilíbrio, usamos o método de Sinha. Para a transferência da trajetória para um dos atratores coexistentes no sistema de Matsumoto, usamos o método de Jackson-H¨ubbler (OPCL). Usando um conjunto de pertubações constantes em um parâmetro previamente escolhido, mostramos como é possével dirigir rapidamente uma trajetória, de qualquer um dos três sistemas considerados nesta tese, para um determinado alvo. Além disso, é mostrado como esse método pode ser aplicado experimentalmente. / Initially, we consider the Logistic map with its many non-linear phenomena. Then, we use this knowledge to discern new phenomena that shall appear when the map is perturbed, that is the Logistic map perturbed by a periodic and constant term. The Matsumoto\'s circuit is presented and, after we set this circuit to behave chaotically, we perturb it with a sinoidal wave, characterized by its frequency and amplitude. This perturbation is responsible for the appearence of a quasi-periodic and periodic oscillations, or the maintenance of chaos. We presented and applied many methods for controlling chaotic oscillations in three systems (the Logistic and Henon maps, and the Matsumoto\'s circuit), showing many ways for stabilizing a periodic orbit, using the methods of Ott-Grebogi-York (OGY), Romeiras, Singer, Sinhas and Huebbler. For targeting the trajectory to a equilibrium point, the Sinha\'s method was used. To transfer the system trajectory from one to another of the coexisting attractors presented in the Matsumoto\'s circuit, we use the Jackson-Huebbler (OPCL) method. Using a set of constant perturbations, in a previously chosen parameter, we showed how we can rapidly direct a trajectory of any of the considered three systems to a aimed target. Besides, it is shown how this method can be experimentally applied.

This thesis focuses on deterministic chaos and selected methods of chaos control. It briefly describes the matter of deterministic chaos and presents commonly used tools of analysis of dynamical systems exhibiting chaotic behavior. A list of frequently studied chaotic systems is presented and followed by a description of methods of chaos control and the optimization of these methods. The practical part is dedicated to the stabilization of two model systems and one real system with described methods.

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