Thesis (M.A.)--Boston University

Thesis (doctoral)--Georg-Augustus-Universität zu Göttingen, 1902. / Vita.

The Approximation Problem and specifically, "direct" rational Chebyshev approximation is discussed. A brief summary is made of "direct" Chebyshev approximation. The remainder of the thesis is devoted to various aspects of a "Remes-type" Algorithm for rational Chebyshev approximation, as proposed by Fraser and Hart. It is finally concluded that the inherent difficulties of the method would generally outweigh the advantages of the rational approximation which it obtains. / Science, Faculty of / Mathematics, Department of / Graduate

Lee, King Leung. / Thesis (M.Phil.)--Chinese University of Hong Kong, 2011. / Includes bibliographical references (leave 95). / Abstracts in English and Chinese. / Chapter 1 --- Introduction --- p.6 / Chapter 1.1 --- Organization --- p.10 / Chapter 2 --- Semigroups and Cones --- p.13 / Chapter 2.1 --- Relation between Semigroups and Cones --- p.13 / Chapter 2.2 --- Subadditive Functions on Semigroups --- p.23 / Chapter 2.3 --- Relation between Cones and Bases --- p.29 / Chapter 3 --- General Theories of Okounkov Bodies --- p.33 / Chapter 3.1 --- Okounkov Bodies and Volumes --- p.33 / Chapter 3.2 --- Relation of Subadditive Functions on Semigroups and Okounkov Bodies --- p.39 / Chapter 3.3 --- Convex Functions on Okounkov Bodies --- p.47 / Chapter 4 --- Okounkov Bodies and Complex Geometry --- p.55 / Chapter 4.1 --- Holomorphic Line Bundles --- p.55 / Chapter 4.2 --- Chebyshev Transform --- p.65 / Chapter 4.3 --- Bernstein-Markov Norms --- p.74 / Chapter 5 --- Applications of Okounkov Bodies --- p.81 / Chapter 5.1 --- Relative Energy of Weights --- p.81 / Chapter 5.2 --- Computational Methods and Some Examples --- p.89 / Bibliography --- p.95

We present a combinatorial interpretation of Chebyshev polynomials. The nth Chebyshev polynomial of the first kind, Tn(x), counts the sum of all weights of n-tilings using light and dark squares of weight x and dominoes of weight −1, and the first tile, if a square must be light. If we relax the condition that the first square must be light, the sum of all weights is the nth Chebyshev polynomial of the second kind, Un(x). In this paper we prove many of the beautiful Chebyshev identities using the tiling interpretation.

My research is concentrated on applications of linear algebra in engineering, including wavelet analysis and structured matrices. This paper will appear in the book Mathematical Systems Theory (J. Rosenthal and D. Gilliam, editors) IMA Volumes in Mathematics, Springer 2002. / Singapore-MIT Alliance (SMA)

Dans cette Thèse par article, nous nous intéressons au domaine de l'optimisation sans contrainte, non linéaire et différentiable. En considérant la recherche d'un optimum de la fonction f : R[indice supérieur n] [flèche vers la droite] R, on se restreint dans ce travail à chercher une racine x* de la fonction F = [triangle pointant vers le bas] f : R[indice supérieur n] [flèche vers la droite] R[indice supérieur n], c'est-à-dire un point stationnaire de la fonction f. Notre objectif a été de proposer une vision "différente" des méthodes d'ordres supérieurs. À cet effet, cette Thèse regroupera quatre articles qui soulignent le cheminement de notre travail de doctorat et la logique de notre recherche. Dans un premier article, qui servira d'introduction et de mise en contexte de cette Thèse, nous revenons sur les méthodes connues d'ordres supérieurs. Les méthodes de Newton, Chebyshev, Halley et SuperHalley ont en effet été étudiées dans différents travaux. Dans cet article, nous exhibons certaines problématiques reliées à ces méthodes : comment formuler correctement et intelligemment les méthodes utilisant des dérivées d'ordres supérieurs, comment mieux calculer leur complexité, comment vérifier leur convergence. Dans un second article, l'idée des méthodes d'ordres supérieures perçues comme directions de déplacement est proposée. En réalité, cet article exploratoire pose les bases de notre idée principale, les pistes de réflexion, les sources d'optimisme quand [i.e. quant] à l'efficacité de telles méthodes. Nous y proposons deux familles de méthodes : celle de type Halley, qui généralise et regroupe les méthodes de Halley et SuperHalley ; et celle de type Chebyshev, qui englobe et développe les algorithmes de Newton, Chebyshev, et les méthodes d'extrapolations de Jean-Pierre Dussault. Par ailleurs, dans ce chapitre, nous démontrons les propriétés de convergence (dans le cas réel) de telles méthodes et les illustrons dans un cas spécifique. Le troisième article constitue quant à lui le coeur de notre travail. Certaines pistes proposées dans le précédent article ont été abandonnées (la famille de méthode Halley) au profit d'autres plus prometteuses (la famille Chebyshev). Dans ce chapitre, nous élaborons et définissons précisément les méthodes de type Chebyshev d'ordres supérieurs. Une formulation plus globale nous permet d'y regrouper les méthodes d'extrapolations d'ordres supérieurs à 3. La convergence dans R[indice supérieur n] est démontrée (et non plus simplement dans le cas scalaire). Pour cela, nous nous appuyons sur la méthode de Shamanskii, que l'on retrouvera en fin d'article et au chapitre 4. Dans cet article, nous accordons une importance primordiale à la notion d'efficacité d'un algorithme, et en ce sens, nous définissons plus minutieusement (que la quasi-totalité des articles consultés) la notion de coût de calcul d'un algorithme. Cela nous permet de montrer que les méthodes de Chebyshev d'ordres supérieurs concurrencent les méthodes de Shamanskii (c'est-à-dire la méthode de Shamanskii à différents ordres d'itérations), connues pour être des références difficilement battables. En ce sens, plus les problèmes étudiés ont une grande taille, plus l'efficacité de nos méthodes est optimale, en comparaison avec d'autres algorithmes. La partie annexe concerne un complément, effectué dans le cadre de notre recherche. N'ayant pas été publié, nous en énoncons les résultats principaux comme piste de recherche. En effet, nos travaux ont concerné les problèmes en optimisation sans distinction autre que celle du domaine précis d'étude (des fonctions différentiables, sans contraintes, non linéaires). Or dans de nombreux cas, les problèmes que l'on cherche à minimiser ont des structures particulières : certaines fonctions ont des Hessiens creux, dont les éléments nuls sont structurés et identifiables. Autrement dit, il est concevable d'affiner nos travaux pour des cas plus spécifiques, ceux des systèmes dits "sparse". En particulier, les systèmes par bande constituent une illustration récurrente de ce type de fonctions. Nous revenons donc avec certains détails de coûts de calculs et d'efficacités de certains algorithmes présentés dans nos articles.

No description available.

Thesis (Ph. D.)--University of Washington, 1998. / Vita. Includes bibliographical references (leaves [141]-148).

Dissertação (mestrado) - Universidade Federal de Santa Catarina, Centro de Ciências Físicas e Matemáticas. Programa de Pós-Graduação em Matemática e Computação Científica. / Made available in DSpace on 2012-10-23T07:18:50Z (GMT). No. of bitstreams: 1 235906.pdf: 730825 bytes, checksum: 25d5e053cb093d9fd481ef9ec6be7b74 (MD5) / Neste trabalho, apresentamos resultados de estabilidade e análise de convergência dos métodos Chebyshev-espectrais para equações diferenciais parciais parabólicas. Abordamos a teoria dos métodos Fourier-espectrais considerando apenas os resultados necessários ao desenvolvimento da teoria dos métodos Chebyshev-espectrais. A existência e unicidade de soluções foram obtidas através do método Faedo-Galerkin. Estabelecemos resultados de estabilidade e convergência de esquemas semi-discretos e totalmente discretos para as equações de advecção-difusão (uni e bidimensional) e do calor bidimensional. No caso de esquemas totalmente discretos, utilizamos o método implícito teta, com teta entre 1/2 e 1, para avançar no tempo. A taxa de convergência é espectral com relação ao espaço e polinomial no tempo (segunda ordem para teta pertencente a (1/2,1] e quarta ordem para teta=1/2).