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In 1990 James D. Lewis made a conjecture on the representability of algebraic Chow groups of projective algebraic manifolds. We prove that his conjecture holds for smooth complex complete intersections satisfying a numerical condition and consider some applications to motives. / Mathematics

Dans cette thèse, on s'intéresse à des propriétés arithmétiques de variétés algébriques. Elle contient deux parties et huit chapitres que l'on peut lire indépendamment. Dans la première partie on étudie la R-équivalence sur les points rationnels des variétés algébriques. Dans le chapitre I.1 on établit que pour certaines familles projectives et lisses X→Y de variétés géométriquement rationnelles sur un corps local k de caractéristique nulle le nombre des classes de R-équivalence de la fibre Xy(k) est localement constant quand y varie dans Y(k). Dans le chapitre I.2 on s'intéresse à des variétés rationnellement simplement connexes. On établit que la R-équivalence est triviale sur de telles variétés définies sur C(t). Dans le chapitre I.3 on introduit une autre relation d'équivalence sur les points rationnels des variétés définies sur un corps muni d'une valuation discrète et on étudie quelques propriétés de cette relation d'équivalence. Dans le chapitre I.4 on étudie la R-équivalence sur les variétés rationnellement connexes définies sur les corps réels clos ou p-adiqument clos. La deuxième partie de cette thèse est consacrée à l'étude de quelques questions liées à la cohomologie non ramifiée. Dans le chapitre II.1 on utilise le troisième groupe de cohomologie non ramifiée pour donner un exemple d'une variété projective et lisse géométriquement rationnelle X, définie sur un corps fini Fp, telle que l'application de groupes de Chow de codimension deux de la variété X dans le groupe de Chow de cycles de codimension deux sur la clôture algébrique, fixés par l’action de Galois, n'est pas surjective. Dans le chapitre II.2 on s'intéresse aux fibrations au-dessus d'une surface sur un corps fini dont la fibre générique est une variété de Severi-Brauer et on montre que le troisième groupe de cohomologie non ramifiée s'annule pour de telles variétés. Dans le chapitre II.3, on établit l'invariance birationnelle de certains termes de la suite spectrale de Bloch et Ogus pour des variétés sur un corps de dimension cohomologique bornée. Sur un corps fini, on relie un de ces invariants avec le conoyau de l'application classe de cycle l-adique pour les 1-cycles. Dans le chapitre II.4, on s'intéresse à “borner” la ramification des éléments des groupes de cohomologie Hr(K, Z/n), r>0, si K est le corps des fonctions d'une variété intègre définie sur un corps de caractéristique nulle k. / In this Ph.D. thesis, we investigate some arithmetic properties of algebraic varieties. The thesis consists of two parts, divided into eight chapters. The first part is devoted to the study of R-equivalence on rational points of algebraic varieties. In chapter I.1, we prove that for some families X→Y of smooth projective geometrically rational varieties defined over a finite extension of Qp, the number of R-equivalence classes on Xy(k) is a locally constant function on Y(k). In chapter I.2, we establish the triviality of R-equivalence for rationally simply connected varieties defined over C(t). In chapter I.3, we introduce and analyze a different equivalence relation on rational points of varieties defined over a field equipped with a discrete valuation, and then compare it with R-equivalence. In chapter I.4, we study R-equivalence for varieties over real closed and p-adically closed fields. The second part of the thesis deals with some questions involving unramified cohomology. In chapter II.1, we use the third unramified cohomology group to give an example of a smooth, projective, geometrically rational variety X defined over a finite field Fp, such that the map from the Chow group of codimension two cycles on X to the Chow group of codimension two cycles over an algebraic closure, fixed by the Galois action, is not surjective. In chapter II.2, we prove the vanishing of the third unramified cohomology group for certain fibrations over a surface defined over a finite field whose generic fibre is a Severi-Brauer variety. In chapter II.3, we show that certain terms of the Bloch-Ogus spectral sequence are birational invariants for varieties over fields of bounded cohomological dimension. Then in the case of a finite field, we relate one of these invariants to the cokernel of the l-adic cycle class map for 1-cycles. Finally, in chapter II.4, we establish a “bound” for ramification of elements of the group Hr(K, Z/n), r>0, where K is the function field of an integral variety defined over a field of characteristic zero.

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The influence of Chow groups on singular cohomology is motivated by classical results by Mumford and Roitman and has been investigated extensively. On the other hand, the converse influence is rather conjectural and it takes place in the framework of the ``philosophy of mixed motives'', which is mainly due to Grothendieck, Bloch and Beilinson. In the spirit of exploring this influence, Voisin formulated in 1996 a conjecture on 0--cycles on the self--product of surfaces of geometric genus one. There are few examples in which Voisin's conjecture has been verified, but it is still open for a general $K3$ surface. Our aim is to present a new example in which Voisin's conjecture is true, a family of Todorov surfaces. We give an explicit description of the family as quotient of complete intersection of four quadrics in $mathbb{P}^{6}$. We verify Voisin's conjecture for the family of Todorov surfaces of type $(2,12)$. Our main tool is Voisin's ``spreading of cycles'', we use it to establish a relation between 0--cycles on the Todorov surface and on the associated K3 surface. We give a motivic version of this result and some interesting motivic applications.

We study the Poincaré duality map from equivariant Chow cohomology to equivariant Chow groups in the case of torus actions on complete, possibly singular, varieties with isolated fixed points. Our main results yield criteria for the Poincaré duality map to become an isomorphism in this setting. The methods rely on the localization theorem for equivariant Chow cohomology and the notion of algebraic rational cell. We apply our results to complete spherical varieties and their generalizations. / En este artículo estudiamos el homomorfismo de dualidad de Poincaré, el cual relaciona cohomología de Chow equivariante y grupos de Chow equivariante en aquellos casos donde un toro algebraico actúa sobre una variedad singular compacta y con puntos fijos aislados. Nuestros resultados proporcionan criterios bajo los cuales el homomorfismo de dualidadde  Poincaré es un isomorfismo. Para ello, usamos el teorema de localización en cohomología de Chow equivariante y la noción de célula algebraica racional. Aplicamos nuestros resultados a las variedades esféricas compactas y sus generalizaciones.

Soient $X$ et $Y$ des variétés au dessus d’un corps $F$. Dans de nombreuses situations, il s’avère important de savoir si un cycle algébrique modulo équivalence rationnelle y sur Y, défini au dessus du corps des fonctions $F(X)$ de $X$, est en fait déjà défini au niveau du corps de base $F$. Dans cet essai, on traite de cette question, en faisant varier la variété $X$ parmi des variétés telles que des quadriques, des variétés projectives homogènes ou des espaces principaux homogènes. Dans chaque situation, on utilise des outils appropriés tels que les opérations de Steenrod, des résultats de décomposition motivique, ou certains invariants cohomologiques de groupes algébriques. / Let $X$ and $Y$ be some varieties over a field $F$. In many situations, it is important to know if an algebraic cycle modulo rational equivalence $y$ on $Y$ defined over the function field $F(X)$ of $X$ is actually defined over the base field $F$. In this dissertation, we study that matter, making the variety $X$ vary among varieties such as quadrics, projective homogeneous varieties or principal homogeneous spaces. In each situation, we use appropriate tools, such as Steenrod operations, motivic decomposition results or cohomological invariants of algebraic groups.

Nous présentons trois résultats dans cette thèse. Dans le chapitre 2 nous montrons l’existence d’un zéro-cycle cx sur une hypersurface X de type Calabi–Yau dans une varieté homogène projective complexe. Plus précisement, nous montrons que l’intersection de n diviseurs sur X, où n = dim X, est proportionnelle à la classe d’un point supporté sur une courbe rationnelle dans X. Dans le chapitre 3 nous donnons une nouvelle preuve du théorème de Beauville et Voisin portant sur la décomposition de la petite diagonale d’une surface K3 notée S. La preuve que nous donnons est explicite et utilise le plongement de degré 2g-2 de S dans l’espace projectif de la dimension g. Elle est différente de celle donnée par Beauville et Voisin, qui repose sur l’existence d’une famille à un paramètre de courbes elliptiques. Le chapitre 4 est consacré à l’étude des similitudes entre la variété de Fano des droites d’une cubique de dimension 4, qui est une variété hyper-Kählerienne étudiée par Beauville et Donagi, et la variété hyper-Kählerienne de dimension 4 construite par Debarre et Voisin dans [11]. Nous introduisons un analogue de la notion de triangle pour ces variétés et prouvons que la variété des triangles, qui est de dimension 6, est une sous-variété Lagrangienne du cube de la variété hyper-Kählerienne construite par Debarre et Voisin. / We present in this thesis three results. In Chapter 2 we prove the existence of a canonical zero-cycle cX on a Calabi–Yau hypersurfacee X in a complex projective homogeneous variety. Namely, we show that the intersection of any n divisors on X , n = dim X is proportional to the class of a point on a rational curve in X. In Chapter 3 we give a new proof of the theorem of Beauville and Voisin about the decomposition of the small diagonal of a K3 surface S. Our proof is explicit and uses the degree 2g-2 embedding of S in projective space of dimension g. It is different from the one used by Beauville and Voisin, which employed the existence of one-parameters familie of elliptic curves. Chapter 4 is devoted to the study of similarities between the Fano varieties of lines on a cubic fourfold, a hyper-Kähler fourfold studied by Beauville and Donagi, and the hyper-Kähler fourfold constructed by Debarre and Voisin in [11]. We exhibit an analog of the notion of "triangle" for these varieties and prove that the 6-dimensional variety of "triangles" is a Lagrangian subvariety in the cube of the constructed hyper-Kähler fourfold.