In this thesis we study various ways in which every two general points on a variety can be connected by curves of a fixed genus, thus mimicking the notion of a rationally connected variety but for arbitrary genus. We assume the existence of a covering family of curves which dominates the product of a variety with itself either by allowing the curves in the family to vary in moduli, or by assuming the family is trivial for some fixed curve of genus g. A suitably free curve will be one with a large unobstructed deformation space, the images of whose deformations can join any number of points on a variety. We prove that, at least in characteristic zero, the existence of such a free curve of higher genus is equivalent to the variety being rationally connected. If one restricts to the case of genus one, similar results can be obtained even allowing the curves in the family to vary in moduli. In later chapters we study algebraic properties of such varieties and discuss attempts to prove the same rational connectedness result in positive characteristic.

Dans cette thèse, on s'intéresse à des propriétés arithmétiques de variétés algébriques. Elle contient deux parties et huit chapitres que l'on peut lire indépendamment. Dans la première partie on étudie la R-équivalence sur les points rationnels des variétés algébriques. Dans le chapitre I.1 on établit que pour certaines familles projectives et lisses X→Y de variétés géométriquement rationnelles sur un corps local k de caractéristique nulle le nombre des classes de R-équivalence de la fibre Xy(k) est localement constant quand y varie dans Y(k). Dans le chapitre I.2 on s'intéresse à des variétés rationnellement simplement connexes. On établit que la R-équivalence est triviale sur de telles variétés définies sur C(t). Dans le chapitre I.3 on introduit une autre relation d'équivalence sur les points rationnels des variétés définies sur un corps muni d'une valuation discrète et on étudie quelques propriétés de cette relation d'équivalence. Dans le chapitre I.4 on étudie la R-équivalence sur les variétés rationnellement connexes définies sur les corps réels clos ou p-adiqument clos. La deuxième partie de cette thèse est consacrée à l'étude de quelques questions liées à la cohomologie non ramifiée. Dans le chapitre II.1 on utilise le troisième groupe de cohomologie non ramifiée pour donner un exemple d'une variété projective et lisse géométriquement rationnelle X, définie sur un corps fini Fp, telle que l'application de groupes de Chow de codimension deux de la variété X dans le groupe de Chow de cycles de codimension deux sur la clôture algébrique, fixés par l’action de Galois, n'est pas surjective. Dans le chapitre II.2 on s'intéresse aux fibrations au-dessus d'une surface sur un corps fini dont la fibre générique est une variété de Severi-Brauer et on montre que le troisième groupe de cohomologie non ramifiée s'annule pour de telles variétés. Dans le chapitre II.3, on établit l'invariance birationnelle de certains termes de la suite spectrale de Bloch et Ogus pour des variétés sur un corps de dimension cohomologique bornée. Sur un corps fini, on relie un de ces invariants avec le conoyau de l'application classe de cycle l-adique pour les 1-cycles. Dans le chapitre II.4, on s'intéresse à “borner” la ramification des éléments des groupes de cohomologie Hr(K, Z/n), r>0, si K est le corps des fonctions d'une variété intègre définie sur un corps de caractéristique nulle k. / In this Ph.D. thesis, we investigate some arithmetic properties of algebraic varieties. The thesis consists of two parts, divided into eight chapters. The first part is devoted to the study of R-equivalence on rational points of algebraic varieties. In chapter I.1, we prove that for some families X→Y of smooth projective geometrically rational varieties defined over a finite extension of Qp, the number of R-equivalence classes on Xy(k) is a locally constant function on Y(k). In chapter I.2, we establish the triviality of R-equivalence for rationally simply connected varieties defined over C(t). In chapter I.3, we introduce and analyze a different equivalence relation on rational points of varieties defined over a field equipped with a discrete valuation, and then compare it with R-equivalence. In chapter I.4, we study R-equivalence for varieties over real closed and p-adically closed fields. The second part of the thesis deals with some questions involving unramified cohomology. In chapter II.1, we use the third unramified cohomology group to give an example of a smooth, projective, geometrically rational variety X defined over a finite field Fp, such that the map from the Chow group of codimension two cycles on X to the Chow group of codimension two cycles over an algebraic closure, fixed by the Galois action, is not surjective. In chapter II.2, we prove the vanishing of the third unramified cohomology group for certain fibrations over a surface defined over a finite field whose generic fibre is a Severi-Brauer variety. In chapter II.3, we show that certain terms of the Bloch-Ogus spectral sequence are birational invariants for varieties over fields of bounded cohomological dimension. Then in the case of a finite field, we relate one of these invariants to the cokernel of the l-adic cycle class map for 1-cycles. Finally, in chapter II.4, we establish a “bound” for ramification of elements of the group Hr(K, Z/n), r>0, where K is the function field of an integral variety defined over a field of characteristic zero.

Dans cette thèse, on étudie plusieurs sujets sur la géométrie des variétés rationnellement connexes. Une variété complexe est dite rationnellement connexe si par deux points généraux, il passe une courbe rationnelle. Le premier sujet qu'on étudie est la base d'une fibration lagrangienne d'une variété projective irréductible symplectique de dimension quatre. On prouve qu'il y a aux plus deux possibilités pour la base. Dans la deuxième partie, on classifie certain type de variétés de Fano. Enfin, on étudie les structures des variétés rationnellement connexes singulières qui portent des pluri-formes non nulles / In this dissertation, we study several subjects on the geometry of rationally connected varieties. A complex variety is called rationally connected if for two general points, there is a rational curve passing through them. The first subject we study is the base of a Lagrangian fibration of a projective irreducible symplectic fourfold. We prove that there are at most two possibilities for the base. In the second part, we classify certain type of Fano varieties. In the end, we study the structures of singular rationally connected varieties which carry non-zero pluri-forms

Cette thèse se concentre sur l'étude de quelques propriétés arithmétiques de certaines variétés algébriques qui sont ``les plus simples'' en un sens géométrique et qui sont définies sur des corps de type géométrique. Elle se compose de trois chapitres. Dans le premier chapitre, indépendant des deux autres, on s'intéresse à la propriété d'approximation faible pour une variété projective lisse rationnellement connexe X définie sur le corps de fonctions K=k(C) d'une courbe algébrique C sur un corps k. Supposons que X possède un K-point rationnel. En utilisant des méthodes géométriques, on démontre que X(K) est Zariski dense dans X si k est un corps fertile, et que l'approximation faible en un certain ensemble de places de bonne réduction vaut pour X sous des hypothèses supplémentaires convenables. Lorsque k est un corps fini, on obtient l'approximation faible en une place quelconque de bonne réduction pour une surface cubique lisse sur K ainsi qu'un résultat sur l'approximation faible d'ordre zéro pour des hypersurfaces cubiques de dimension supérieure sur K.Les deux autres chapitres forment la seconde partie de la thèse, où on travaille sur le corps des fractions K d'un anneau intègre local R, hensélien, excellent de dimension 2 dont le corps résiduel k est souvent supposé fini et où on emploie des outils plus algébriques. On étudie d'abord la ramification et la cyclicité des algèbres à division sur un tel corps K. On démontre en particulier que toute classe de Brauer d'ordre n premier à la caractéristique résiduelle sur K est d'indice divisant n^2 et que la cyclicité d'une classe de Brauer d'ordre premier peut être testée localement sur les corps complétés par rapport aux valuations discrètes de K. Ces résultats sont appliqués dans le dernier chapitre pour étudier l'arithmétique des formes quadratiques sur K. On montre que toute forme quadratique de rang \ge 9 sur K possède un zéro non trivial. Si K est le corps des fractions d'un anneau de séries formelles A[[t]] sur un anneau de valuation discrète complet A, on a prouvé le principe local-global pour toute forme quadratique de rang \ge 5 sur K. Pour K général on a établi le principe local-global pour les formes de rang 5. Le cas des formes de rang 6,7 ou 8 est ouvert. / This thesis is concerned with the study of some arithmetic properties of certain algebraic varieties which are ``simplest'' in some geometric sense and which are defined over fields of geometric type. It consists of three chapters. In the first chapter, which is independent of the other two, we consider the weak approximation property for a smooth projective rationally connecte d variety X defined over the function field K=k(C) of an algebraic curve C over a field k. Suppose that X admits a K-rational point. Using geometric methods we prove that X(K) is Zariski dense in X if k is a large field, and that under suitable hypotheses weak approximation with respect to a set of places of good reduction holds for X. When k is a finite field, we obtain weak approximation at any given place of good reduction for a smooth cubic surface over K as well as a zero-th order weak approximation result for higher dimensional cubic hypersurfaces over K.The second part of the thesis consists of the last two chapters, where we work over the fraction field K of a 2-dimensional, excellent, henselian local domain R whose residue field k is often assumed to be finite, and where we use more algebraic tools. We first study the ramification and the cyclicity of division algebras over such a field K. We show in particular that every Brauer class over K of order n, which is prime to the residue characteristic, has index dividing n^2, and that the cyclicity of a Brauer class of prime order can be tested locally over the completions of K with respect to discrete valuations. These results are used in the last chapter to study the arithmetic of quadratic forms over K. We prove that every quadratic form of rank \ge 9 over K has a nontrivial zero. When K is the fraction field of a power series ring A[[t]] over a complete discrete valuation ring A, we prove the local-global principle for quadratic forms of rank \ge 5 over K. For general K we prove the local-global principle for quadratic forms of rank 5. The local-global principle for quadratic forms of rank 6, 7 or 8 is still open in the general case.