Dans cette thèse, nous utilisons le degré et la topologie $\tau$ introduits en 1996 par Kryszewski et Szulkin pour généraliser, au cas des fonctionnelles fortement indéfinies, les théorèmes de la fontaine de T. Bartsch (1993), de T. Bartsch et M. Willem (1995) et de W. Zou (2001). Aucune méthode de réduction n'est utilisée. Nous appliquons les nouveaux théorèmes pour prouver l'existence d'une infinité de solutions pour quelques systèmes différentiels.

L'objectif de cette thèse est d'étudier l'existence, la multiplicité et le comportement des solutions positives de systèmes d'équations aux dérivées <br />partielle faisant intervenir le (p,q)-Laplacien ou des opérateurs anisotropiques dans les cas sous-critique et critique.<br /> Dans le 1er chapitre on s' intéresse au système suivant (S):<br />\begin{eqnarray}<br />\left\{\begin{array}{lll}-\Delta_p u&=&\lambda f(x,u,v)\quad\mbox{dans}\quad\Omega,\\<br />-\Delta_q v&=&\mu g(x,u,v)\quad\mbox{dans}\quad\Omega,<br />\end{array}<br />\right.<br />\end{eqnarray}<br />avec $f$ et $g$ présentent des termes sous-critiques en u et v . On a pu construire deux suites de Palais-Smale sur la variété de Nehari convergeant <br />fortement dans $W{1,p}(\Omega)\times W{1,q}(\Omega)$ vers deux solutions distinctes.<br /> Dans le 2ème chapitre, on considère la même classe du système (S) dans le cas critique et dans $\mathbb{R}^N$. A la différence du chapitre 1, dans <br />ce cas on retrouve qu'une seule solution positive et pour $p=q$ on retrouve une seconde solution.<br /> Dans le chapitre 3, on généralise l'étude de Brézis-Nirenberg à une équation et puis à un système critique du type (S). On donne une définition plus générale de la notion de niveau critique.<br /> Le Dernier chapitre traîte d'une nouvelle classe de systèmes d'équations elliptiques anisotropiques (puissance dépend de la direction) avec des termes de réaction de type puissance de façon que l'espace fonctionnel naturel devient un espace de Sobolev anisotrope. On démontre l'existence ainsi que la régularité des solutions faibles du système puis l'existence d'une solution dans le cas où on a une sous et une sur-solution du système.