Este trabalho será dividido em dois capítulos. Em ambos exibiremos a função de desvio e um princípio de grandes desvios para uma sequência de medidas que convergem, para uma medida minimizante no primeiro problema e para uma medida maximizante no segundo. O primeiro capítulo trata de aspectos da teoria de Aubry-Mather. Para um Lagrangiano L(x; v) : TN £ RN → R, satisfazendo algumas hipóteses naturais, e sob hipótese de genericidade, estamos interessados em mostrar um princípio de grandes desvios para uma sequência de medidas que convergem para a medida de Mather. D. Gomes e E. Valdinoci mostraram, para ε; h fixados, a existência de uma medida absolutamente contínua με; h que minimiza o problema de A-M discreto com entropia. Também analisaremos o problema discreto de Aubry-Mather, onde introduziremos o conceito de sub-ação e mostraremos, sob hipótese do Lagrangiano ser genérico, a unicidade de um certo tipo de sub-ação que chamaremos de calibradas. E finalmente mostraremos a existência de um outro tipo de sub-ação ditas separantes. / This work will be divided in two chapters. In both cases we present the rate function and a large deviation principle for a sequence of measures converging, to a minimizing measure in the first problem and to a maximizing measure in the second one. In the first chapter the setting will be the Aubry-Mather theory. For a Lagrangian L(x; v) : TN £RN → R, satisfying some natural hypothesis, and for a generic Lagrangian (it is known that in this case the Mather measure μ is unique and the support of μ is the Aubry set), we will show a large deviation principle for a sequence of measures that converge to the Mather measure. It follows from a result by D. Gomes and E. Valdinoci that, for ε; h fixed, there exists an absolutely continuous measure με; h that minimize the entropy penalized A-M problem. Also we will analyze the discrete A-M problem, where we introduce the concept of subaction and we will show, under the hypothesis of generic Lagrangian, the uniqueness of a kind of subaction, that we will call calibrated. And finally we will show the existence of another kind of subactions, a separating subaction.

Este trabalho será dividido em dois capítulos. Em ambos exibiremos a função de desvio e um princípio de grandes desvios para uma sequência de medidas que convergem, para uma medida minimizante no primeiro problema e para uma medida maximizante no segundo. O primeiro capítulo trata de aspectos da teoria de Aubry-Mather. Para um Lagrangiano L(x; v) : TN £ RN → R, satisfazendo algumas hipóteses naturais, e sob hipótese de genericidade, estamos interessados em mostrar um princípio de grandes desvios para uma sequência de medidas que convergem para a medida de Mather. D. Gomes e E. Valdinoci mostraram, para ε; h fixados, a existência de uma medida absolutamente contínua με; h que minimiza o problema de A-M discreto com entropia. Também analisaremos o problema discreto de Aubry-Mather, onde introduziremos o conceito de sub-ação e mostraremos, sob hipótese do Lagrangiano ser genérico, a unicidade de um certo tipo de sub-ação que chamaremos de calibradas. E finalmente mostraremos a existência de um outro tipo de sub-ação ditas separantes. / This work will be divided in two chapters. In both cases we present the rate function and a large deviation principle for a sequence of measures converging, to a minimizing measure in the first problem and to a maximizing measure in the second one. In the first chapter the setting will be the Aubry-Mather theory. For a Lagrangian L(x; v) : TN £RN → R, satisfying some natural hypothesis, and for a generic Lagrangian (it is known that in this case the Mather measure μ is unique and the support of μ is the Aubry set), we will show a large deviation principle for a sequence of measures that converge to the Mather measure. It follows from a result by D. Gomes and E. Valdinoci that, for ε; h fixed, there exists an absolutely continuous measure με; h that minimize the entropy penalized A-M problem. Also we will analyze the discrete A-M problem, where we introduce the concept of subaction and we will show, under the hypothesis of generic Lagrangian, the uniqueness of a kind of subaction, that we will call calibrated. And finally we will show the existence of another kind of subactions, a separating subaction.

Este trabalho será dividido em dois capítulos. Em ambos exibiremos a função de desvio e um princípio de grandes desvios para uma sequência de medidas que convergem, para uma medida minimizante no primeiro problema e para uma medida maximizante no segundo. O primeiro capítulo trata de aspectos da teoria de Aubry-Mather. Para um Lagrangiano L(x; v) : TN £ RN → R, satisfazendo algumas hipóteses naturais, e sob hipótese de genericidade, estamos interessados em mostrar um princípio de grandes desvios para uma sequência de medidas que convergem para a medida de Mather. D. Gomes e E. Valdinoci mostraram, para ε; h fixados, a existência de uma medida absolutamente contínua με; h que minimiza o problema de A-M discreto com entropia. Também analisaremos o problema discreto de Aubry-Mather, onde introduziremos o conceito de sub-ação e mostraremos, sob hipótese do Lagrangiano ser genérico, a unicidade de um certo tipo de sub-ação que chamaremos de calibradas. E finalmente mostraremos a existência de um outro tipo de sub-ação ditas separantes. / This work will be divided in two chapters. In both cases we present the rate function and a large deviation principle for a sequence of measures converging, to a minimizing measure in the first problem and to a maximizing measure in the second one. In the first chapter the setting will be the Aubry-Mather theory. For a Lagrangian L(x; v) : TN £RN → R, satisfying some natural hypothesis, and for a generic Lagrangian (it is known that in this case the Mather measure μ is unique and the support of μ is the Aubry set), we will show a large deviation principle for a sequence of measures that converge to the Mather measure. It follows from a result by D. Gomes and E. Valdinoci that, for ε; h fixed, there exists an absolutely continuous measure με; h that minimize the entropy penalized A-M problem. Also we will analyze the discrete A-M problem, where we introduce the concept of subaction and we will show, under the hypothesis of generic Lagrangian, the uniqueness of a kind of subaction, that we will call calibrated. And finally we will show the existence of another kind of subactions, a separating subaction.

D'abord, on étudie trois façons d'associer une C*-algèbre à une transformation continue. Ensuite, nous donnons une nouvelle définition de l'entropie. Nous trouvons des relations entre les états KMS des algèbres préalablement définies et les états d'équilibre, donné par un principe variationnel. Dans la seconde partie, nous étudions les algèbres de Kajiwara-Watatani associees a un système des fonctions itérées. Nous comparons ces algèbres avec l'algèbre de Cuntz et le produit croisé. Enfin, nous étudions les états KMS des algèbres de Kajiwara-Watatani pour les actions provenant d'un potentiel et nous trouvouns des relations entre ces états et les mesures trouvee dans une version de le théorème de Ruelle-Perron-Frobenius pour les systèmes de fonctions itérées. / Primeiramente, estudamos três formas de associar uma C*-álgebra a uma transformação contínua. Em seguida, damos uma nova definição de entropia. Relacionamos, então, os estados KMS das álgebras anteriormente definidas com os estados de equilibro, vindos de um princípio variacional. Na segunda parte, estudamos as álgebras de Kajiwara-Watatani associadas a um sistema de funções iteradas. Comparamos tais álgebras com a álgebra de Cuntz e a álgebra do produto cruzado. Finalmente, estudamos os estados KMS das álgebras de Kajiwara-Watatani para ações vindas de um potencial e relacionamos tais estados KMS com medidas encontradas numa versão do teorema de Ruelle-Perron-Frobenius para sistemas de funções iteradas. / First, we study three ways of associating a C*-algebra to a continuous map. Then, we give a new de nition of entropy. We relate the KMS states of the previously de ned algebras with the equilibrium states, given by a variational principle. In the second part, we study the Kajiwara-Watatani algebras associated to iterated function system. We compare these algebras with the Cuntz algebra and the crossed product. Finally, we study the KMS states of the Kajiwara-Watatani algebras for actions coming from a potential and we relate such states with measures found in a version of the Ruelle-Perron- Frobenius theorem for iterated function systems.

D'abord, on étudie trois façons d'associer une C*-algèbre à une transformation continue. Ensuite, nous donnons une nouvelle définition de l'entropie. Nous trouvons des relations entre les états KMS des algèbres préalablement définies et les états d'équilibre, donné par un principe variationnel. Dans la seconde partie, nous étudions les algèbres de Kajiwara-Watatani associees a un système des fonctions itérées. Nous comparons ces algèbres avec l'algèbre de Cuntz et le produit croisé. Enfin, nous étudions les états KMS des algèbres de Kajiwara-Watatani pour les actions provenant d'un potentiel et nous trouvouns des relations entre ces états et les mesures trouvee dans une version de le théorème de Ruelle-Perron-Frobenius pour les systèmes de fonctions itérées. / Primeiramente, estudamos três formas de associar uma C*-álgebra a uma transformação contínua. Em seguida, damos uma nova definição de entropia. Relacionamos, então, os estados KMS das álgebras anteriormente definidas com os estados de equilibro, vindos de um princípio variacional. Na segunda parte, estudamos as álgebras de Kajiwara-Watatani associadas a um sistema de funções iteradas. Comparamos tais álgebras com a álgebra de Cuntz e a álgebra do produto cruzado. Finalmente, estudamos os estados KMS das álgebras de Kajiwara-Watatani para ações vindas de um potencial e relacionamos tais estados KMS com medidas encontradas numa versão do teorema de Ruelle-Perron-Frobenius para sistemas de funções iteradas. / First, we study three ways of associating a C*-algebra to a continuous map. Then, we give a new de nition of entropy. We relate the KMS states of the previously de ned algebras with the equilibrium states, given by a variational principle. In the second part, we study the Kajiwara-Watatani algebras associated to iterated function system. We compare these algebras with the Cuntz algebra and the crossed product. Finally, we study the KMS states of the Kajiwara-Watatani algebras for actions coming from a potential and we relate such states with measures found in a version of the Ruelle-Perron- Frobenius theorem for iterated function systems.

D'abord, on étudie trois façons d'associer une C*-algèbre à une transformation continue. Ensuite, nous donnons une nouvelle définition de l'entropie. Nous trouvons des relations entre les états KMS des algèbres préalablement définies et les états d'équilibre, donné par un principe variationnel. Dans la seconde partie, nous étudions les algèbres de Kajiwara-Watatani associees a un système des fonctions itérées. Nous comparons ces algèbres avec l'algèbre de Cuntz et le produit croisé. Enfin, nous étudions les états KMS des algèbres de Kajiwara-Watatani pour les actions provenant d'un potentiel et nous trouvouns des relations entre ces états et les mesures trouvee dans une version de le théorème de Ruelle-Perron-Frobenius pour les systèmes de fonctions itérées. / Primeiramente, estudamos três formas de associar uma C*-álgebra a uma transformação contínua. Em seguida, damos uma nova definição de entropia. Relacionamos, então, os estados KMS das álgebras anteriormente definidas com os estados de equilibro, vindos de um princípio variacional. Na segunda parte, estudamos as álgebras de Kajiwara-Watatani associadas a um sistema de funções iteradas. Comparamos tais álgebras com a álgebra de Cuntz e a álgebra do produto cruzado. Finalmente, estudamos os estados KMS das álgebras de Kajiwara-Watatani para ações vindas de um potencial e relacionamos tais estados KMS com medidas encontradas numa versão do teorema de Ruelle-Perron-Frobenius para sistemas de funções iteradas. / First, we study three ways of associating a C*-algebra to a continuous map. Then, we give a new de nition of entropy. We relate the KMS states of the previously de ned algebras with the equilibrium states, given by a variational principle. In the second part, we study the Kajiwara-Watatani algebras associated to iterated function system. We compare these algebras with the Cuntz algebra and the crossed product. Finally, we study the KMS states of the Kajiwara-Watatani algebras for actions coming from a potential and we relate such states with measures found in a version of the Ruelle-Perron- Frobenius theorem for iterated function systems.