D'abord, on étudie trois façons d'associer une C*-algèbre à une transformation continue. Ensuite, nousdonnons une nouvelle définition de l'entropie. Nous trouvons des relations entre les états KMS des algèbrespréalablement définies et les états d'équilibre, donné par un principe variationnel. Dans la seconde partie,nous étudions les algèbres de Kajiwara-Watatani associées à un système des fonctions itérées. Nouscomparons ces algèbres avec l'algèbre de Cuntz et le produit croisé. Enfin, nous étudions les états KMS desalgèbres de Kajiwara-Watatani pour les actions provenant d'un potentiel et nous trouvouns des relationsentre ces états et les mesures trouvée dans une version de le théorème de Ruelle-Perron-Frobenius pour lessystèmes de fonctions itérées. / First, we study three ways of associating a C*-algebra to a continuous map. Then, we give a new definitionof entropy. We relate the KMS states of the previously defined algebras with the equilibrium states, givenby a variational principle. In the second part, we study the Kajiwara-Watatani algebras associated toiterated function system. We compare these algebras with the Cuntz algebra and the crossed product.Finally, we study the KMS states of the Kajiwara-Watatani algebras for actions coming from a potentialand we relate such states with measures found in a version of the Ruelle-Perron-Frobenius theorem foriterated function systems.

D'abord, on étudie trois façons d'associer une C*-algèbre à une transformation continue. Ensuite, nousdonnons une nouvelle définition de l'entropie. Nous trouvons des relations entre les états KMS des algèbrespréalablement définies et les états d'équilibre, donné par un principe variationnel. Dans la seconde partie,nous étudions les algèbres de Kajiwara-Watatani associées à un système des fonctions itérées. Nouscomparons ces algèbres avec l'algèbre de Cuntz et le produit croisé. Enfin, nous étudions les états KMS desalgèbres de Kajiwara-Watatani pour les actions provenant d'un potentiel et nous trouvouns des relationsentre ces états et les mesures trouvée dans une version de le théorème de Ruelle-Perron-Frobenius pour lessystèmes de fonctions itérées.

La géométrie fractale, développée par Mandelbrot dans les années 70, a connu un essor considérable ces 20 dernières années. Dans cette thèse, je m'intéresse à la génération de signaux dits fractals et multifractals. J'étudie en particulier 2 modèles, dont leur point commun est leur structure d'arbre de branchement sous jacente.<br />Le premier modèle est une généralisation des Systèmes de fonctions Itérés ou IFS, introduits par Hutchinson dans les années 80. Les IFS constituent un moyen simple et efficace pour produire des ensembles et des processus fractals en itérant un nombre fixed d'opérateurs. L'idée est d'autoriser un nombre aléatoire d'opérateurs aléatoires à chaque itération de l'algorithme. Nous donnons des conditions simples et faciles à vérifier sous lesquelles l'IFS admet un point fixe. Quelques propriétés du point fixe sont également étudiées. Le deuxième modèle, que nous appellons Multifractal Embedded Branching Process (MEBP), s'obtient à l'aide d'un changement de temps multifractal d'un processus à invariance d'échelle discrète, le processus EBP Canonique (CEBP). Nous donnons un algorithm efficace de simulation "on-line" de ces processus, permettant de générer X(n + 1) à partir de X(n) en O(log n) opérations. Nous obtenons également un borne supérieure pour le spectre multifractal du changement de temps et confirmons les résultats théoriques à l'aide de simulations. Les mouvements Browniens en temps multifractal sont des cas particuliers des processus MEBP, ce qui suggère une application potentielle des processus MEBP en finance. Enfin, nous proposons d'imiter un mouvement Brownien fractionnaire à l'aide d'un processus MEBP.

D'abord, on étudie trois façons d'associer une C*-algèbre à une transformation continue. Ensuite, nous donnons une nouvelle définition de l'entropie. Nous trouvons des relations entre les états KMS des algèbres préalablement définies et les états d'équilibre, donné par un principe variationnel. Dans la seconde partie, nous étudions les algèbres de Kajiwara-Watatani associees a un système des fonctions itérées. Nous comparons ces algèbres avec l'algèbre de Cuntz et le produit croisé. Enfin, nous étudions les états KMS des algèbres de Kajiwara-Watatani pour les actions provenant d'un potentiel et nous trouvouns des relations entre ces états et les mesures trouvee dans une version de le théorème de Ruelle-Perron-Frobenius pour les systèmes de fonctions itérées. / Primeiramente, estudamos três formas de associar uma C*-álgebra a uma transformação contínua. Em seguida, damos uma nova definição de entropia. Relacionamos, então, os estados KMS das álgebras anteriormente definidas com os estados de equilibro, vindos de um princípio variacional. Na segunda parte, estudamos as álgebras de Kajiwara-Watatani associadas a um sistema de funções iteradas. Comparamos tais álgebras com a álgebra de Cuntz e a álgebra do produto cruzado. Finalmente, estudamos os estados KMS das álgebras de Kajiwara-Watatani para ações vindas de um potencial e relacionamos tais estados KMS com medidas encontradas numa versão do teorema de Ruelle-Perron-Frobenius para sistemas de funções iteradas. / First, we study three ways of associating a C*-algebra to a continuous map. Then, we give a new de nition of entropy. We relate the KMS states of the previously de ned algebras with the equilibrium states, given by a variational principle. In the second part, we study the Kajiwara-Watatani algebras associated to iterated function system. We compare these algebras with the Cuntz algebra and the crossed product. Finally, we study the KMS states of the Kajiwara-Watatani algebras for actions coming from a potential and we relate such states with measures found in a version of the Ruelle-Perron- Frobenius theorem for iterated function systems.

D'abord, on étudie trois façons d'associer une C*-algèbre à une transformation continue. Ensuite, nous donnons une nouvelle définition de l'entropie. Nous trouvons des relations entre les états KMS des algèbres préalablement définies et les états d'équilibre, donné par un principe variationnel. Dans la seconde partie, nous étudions les algèbres de Kajiwara-Watatani associees a un système des fonctions itérées. Nous comparons ces algèbres avec l'algèbre de Cuntz et le produit croisé. Enfin, nous étudions les états KMS des algèbres de Kajiwara-Watatani pour les actions provenant d'un potentiel et nous trouvouns des relations entre ces états et les mesures trouvee dans une version de le théorème de Ruelle-Perron-Frobenius pour les systèmes de fonctions itérées. / Primeiramente, estudamos três formas de associar uma C*-álgebra a uma transformação contínua. Em seguida, damos uma nova definição de entropia. Relacionamos, então, os estados KMS das álgebras anteriormente definidas com os estados de equilibro, vindos de um princípio variacional. Na segunda parte, estudamos as álgebras de Kajiwara-Watatani associadas a um sistema de funções iteradas. Comparamos tais álgebras com a álgebra de Cuntz e a álgebra do produto cruzado. Finalmente, estudamos os estados KMS das álgebras de Kajiwara-Watatani para ações vindas de um potencial e relacionamos tais estados KMS com medidas encontradas numa versão do teorema de Ruelle-Perron-Frobenius para sistemas de funções iteradas. / First, we study three ways of associating a C*-algebra to a continuous map. Then, we give a new de nition of entropy. We relate the KMS states of the previously de ned algebras with the equilibrium states, given by a variational principle. In the second part, we study the Kajiwara-Watatani algebras associated to iterated function system. We compare these algebras with the Cuntz algebra and the crossed product. Finally, we study the KMS states of the Kajiwara-Watatani algebras for actions coming from a potential and we relate such states with measures found in a version of the Ruelle-Perron- Frobenius theorem for iterated function systems.

D'abord, on étudie trois façons d'associer une C*-algèbre à une transformation continue. Ensuite, nous donnons une nouvelle définition de l'entropie. Nous trouvons des relations entre les états KMS des algèbres préalablement définies et les états d'équilibre, donné par un principe variationnel. Dans la seconde partie, nous étudions les algèbres de Kajiwara-Watatani associees a un système des fonctions itérées. Nous comparons ces algèbres avec l'algèbre de Cuntz et le produit croisé. Enfin, nous étudions les états KMS des algèbres de Kajiwara-Watatani pour les actions provenant d'un potentiel et nous trouvouns des relations entre ces états et les mesures trouvee dans une version de le théorème de Ruelle-Perron-Frobenius pour les systèmes de fonctions itérées. / Primeiramente, estudamos três formas de associar uma C*-álgebra a uma transformação contínua. Em seguida, damos uma nova definição de entropia. Relacionamos, então, os estados KMS das álgebras anteriormente definidas com os estados de equilibro, vindos de um princípio variacional. Na segunda parte, estudamos as álgebras de Kajiwara-Watatani associadas a um sistema de funções iteradas. Comparamos tais álgebras com a álgebra de Cuntz e a álgebra do produto cruzado. Finalmente, estudamos os estados KMS das álgebras de Kajiwara-Watatani para ações vindas de um potencial e relacionamos tais estados KMS com medidas encontradas numa versão do teorema de Ruelle-Perron-Frobenius para sistemas de funções iteradas. / First, we study three ways of associating a C*-algebra to a continuous map. Then, we give a new de nition of entropy. We relate the KMS states of the previously de ned algebras with the equilibrium states, given by a variational principle. In the second part, we study the Kajiwara-Watatani algebras associated to iterated function system. We compare these algebras with the Cuntz algebra and the crossed product. Finally, we study the KMS states of the Kajiwara-Watatani algebras for actions coming from a potential and we relate such states with measures found in a version of the Ruelle-Perron- Frobenius theorem for iterated function systems.