Les travaux effectués dans le cadre de cette thèse « Analyse de robustesse par contraintes intégrales quadratiques - Application aux lanceurs spatiaux » ont été menés en collaboration entre le Département Automatique de Supélec, EADS Astrium ST, l’Agence Spatiale Européenne (ESA) et l’université de Stuttgart. Le but était d’adapter et d’utiliser des méthodes analytiques de validation de loi de commande d'un lanceur en phase balistique pour améliorer les résultats obtenus par l’approche probabiliste fondée sur des simulations, technique actuellement majoritaire dans l’industrie. Dans ce cadre, l’utilisation des contraintes intégrales quadratiques (IQC) a permis de caractériser la stabilité et la performance robuste de la loi de commande d’un modèle représentatif du lanceur. Nous avons étudié l’influence de la dynamique non-linéaire des lanceurs sur la stabilité et la performance robuste. Dans ce cadre, nous avons factorisé les équations du mouvement en prenant en compte les incertitudes de la matrice d’inertie ainsi que les couplages gyroscopiques. Le second axe traita de l’influence des actionneurs de type modulateur de largeur impulsions (PWM) sur la stabilité du système par deux études IQC. La conclusion de ces travaux de thèse met l’accent sur l’importance de l’utilisation de méthodes analytiques dans le domaine spatial. Ces méthodes permettent l’obtention de garanties rigoureuses de stabilité et de performance des systèmes. De plus, toutes les méthodes d’analyse possèdent leur extension pour la synthèse de correcteurs robustes. Ainsi on imagine aisément l’immense gain que pourrait produire l’utilisation de ces méthodes pour la synthèse de correcteurs robustes. / The introduction of analytical techniques along the steps of the development of a space launcher will allow significant reductions in terms of costs and manpower, and will enable, by a more systematical way of tuning and assessing control laws, to get flyable designs much faster. In this scope, IQC based tools already present promising result and show that they may be the most appropriate ones for the robustness analysis of large complex systems. They account for the system structure and allow dealing specifically with each subsystems, it means that we can improve the representation contained in the multipliers easily and reuse the set up to assess the improvements. The flexibility of the method is a huge advantage. We experienced it during two phases. The first was dedicated to the analysis of the three-degree-of-freedom uncertain nonlinear equation of motion of a rigid body. Secondly, we studied the influence of the pulse-width modulator behavior of the attitude control system on the launcher stability. IQC-based stability analysis allowed defining estimations of the stability domain with respect to uncertainties and system parameters. Moreover, the results obtained with IQC can go way beyond stability analysis with performance analysis with description of the particular performance criteria of the field with appropriate multipliers. Later on controller synthesis and merging of IQC method with worst-case search algorithms could extend greatly the frame of use of this analytical tool and give it the influence it deserves.

Lorsqu’on fait face à des systèmes non linéaires, les notions classiques de stabilité ne suffisent pas à garantir un comportement approprié vis-à-vis de problématiques telles que le suivi de trajectoires, la synchronisation et la conception d’observateurs. La stabilité incrémentale a été proposée en tant qu’outil permettant de traiter de tels problèmes et de garantir que le système présente des comportements qualitatifs pertinents. Cependant, comme c’est souvent le cas avec les systèmes non linéaires, la complexité de l’analyse conduit les ingénieurs à rechercher des relaxations, ce qui introduit du conservatisme. Dans cette thèse, nous nous intéressons à la stabilité incrémentale d’une classe spécifique de systèmes, à savoir les systèmes affines par morceaux, qui pourraient fournir un outil avantageux pour aborder la stabilité incrémentale de systèmes dynamiques plus génériques.Les systèmes affines par morceaux ont un espace d’états partitionné, et sa dynamique dans chaque région est régie par une équation différentielle affine. Ils peuvent représenter des systèmes contenant des non linéarités affines par morceaux, ainsi que servir comme des approximations de systèmes non linéaires plus génériques. Ce qui est plus important, leur description est relativement proche de celle des systèmes linéaires, ce qui permet d’obtenir des conditions d’analyse exprimées comme des inégalités matricielles linéaires qui peuvent être traités numériquement de façon efficace par des solveurs existants.Dans la première partie de ce document de thèse, nous passons en revue la littérature sur l’analyse des systèmes affines par morceaux en utilisant des techniques de Lyapunov et la dissipativité. Nous proposons ensuite de nouvelles conditions pour l’analyse du gain L2 incrémental et la stabilité asymptotique incrémentale des systèmes affines par morceaux exprimés en tant qu’inégalités matricielles linéaires. Ces conditions sont montrées être moins conservatives que les résultats précédents et sont illustrées par des exemples numériques.Dans la deuxième partie, nous considérons le cas des systèmes affines par morceaux incertains représentés comme l’interconnexion entre un système nominal et un bloc d’incertitude structuré. En utilisant la théorie de la séparation des graphes, nous proposons des conditions qui étendent le cadre des contraintes quadratiques intégrales afin de considérer le cas où le système nominal est affine par morceaux, à la fois dans les cas non incrémental et incrémental. Via la théorie de la dissipativité, ces conditions sont ensuite exprimées en tant qu’inégalités matricielles linéaires.Finalement, la troisième partie de ce document de thèse est consacrée à l’analyse de systèmes non linéaires de Lur’e incertains. Nous développons une nouvelle technique d’approximation permettant de réécrire ces systèmes de façon équivalente comme des systèmes affines par morceaux incertains connectés avec l’erreur d’approximation. L’approche proposée garantit que l’erreur d’approximation est Lipschitz continue avec la garantie d’une borne supérieure prédéterminée sur la constante de Lipschitz. Cela nous permet d’utiliser les techniques susmentionnées pour analyser des classes plus génériques de systèmes non linéaires. / When dealing with nonlinear systems, regular notions of stability are not enough to ensure an appropriate behavior when dealing with problems such as tracking, synchronization and observer design. Incremental stability has been proposed as a tool to deal with such problems and ensure that the system presents relevant qualitative behavior. However, as it is often the case with nonlinear systems, the complexity of the analysis leads engineers to search for relaxations, which introduce conservatism. In this thesis, we focus on the incremental stability of a specific class of systems, namely piecewise-affine systems, which could provide a valuable tool for approaching the incremental stability of more general dynamical systems.Piecewise-affine systems have a partitioned state space, in each region of which the dynamics are governed by an affine differential equation. They can represent systems containing piecewise-affine nonlinearities, as well as serve as approximations of more general nonlinear systems. More importantly, their description is relatively close to that of linear systems, allowing us to obtain analysis conditions expressed as linear matrix inequalities that can be efficiently handled numerically by existing solvers.In the first part of this memoir, we review the literature on the analysis of piecewise-affine systems using Lyapunov and dissipativity techniques. We then propose new conditions for the analysis of incremental L2-gain and incremental asymptotic stability of piecewise-affine systems expressed as linear matrix inequalities. These conditions are shown to be less conservative than previous results and illustrated through numerical examples.In the second part, we consider the case of uncertain piecewise-affine systems represented as the interconnection between a nominal system and a structured uncertainty block. Using graph separation theory, we propose conditions that extend the framework of integral quadratic constraints to consider the case when the nominal system is piecewise affine, both in the non-incremental and incremental cases. Through dissipativity theory, these conditions are then expressed as linear matrix inequalities.Finally, the third part of this memoir is devoted to the analysis of uncertain Lur’e-type nonlinear systems. We develop a new approximation technique allowing to equivalently rewrite such systems as uncertain piecewise-affine systems connected with the approximation error. The proposed approach ensures that the approximation error is Lipschitz continuous with a guaranteed pre-specified upper bound on the Lipschitz constant. This enables us to use the aforementioned techniques to analyze more general classes of nonlinear systems.