La complexité algorithmique est l'étude des ressources nécessaires — le temps, la mémoire, … — pour résoudre un problème de manière algorithmique. Dans ce cadre, la théorie de la complexité algébrique est l'étude de la complexité algorithmique de problèmes de nature algébrique, concernant des polynômes.Dans cette thèse, nous étudions différents aspects de la complexité algébrique. D'une part, nous nous intéressons à l'expressivité des déterminants de matrices comme représentations des polynômes dans le modèle de complexité de Valiant. Nous montrons que les matrices symétriques ont la même expressivité que les matrices quelconques dès que la caractéristique du corps est différente de deux, mais que ce n'est plus le cas en caractéristique deux. Nous construisons également la représentation la plus compacte connue du permanent par un déterminant. D'autre part, nous étudions la complexité algorithmique de problèmes algébriques. Nous montrons que la détection de racines dans un système de n polynômes homogènes à n variables est NP-difficile. En lien avec la question « VP = VNP ? », version algébrique de « P = NP ? », nous obtenons une borne inférieure pour le calcul du permanent d'une matrice par un circuit arithmétique, et nous exhibons des liens unissant ce problème et celui du test d'identité polynomiale. Enfin nous fournissons des algorithmes efficaces pour la factorisation des polynômes lacunaires à deux variables. / Computational complexity is the study of the resources — time, memory, …— needed to algorithmically solve a problem. Within these settings, algebraic complexity theory is the study of the computational complexity of problems of algebraic nature, concerning polynomials. In this thesis, we study several aspects of algebraic complexity. On the one hand, we are interested in the expressiveness of the determinants of matrices as representations of polynomials in Valiant's model of complexity. We show that symmetric matrices have the same expressiveness as the ordinary matrices as soon as the characteristic of the underlying field in different from two, but that this is not the case anymore in characteristic two. We also build the smallest known representation of the permanent by a determinant.On the other hand, we study the computational complexity of algebraic problems. We show that the detection of roots in a system of n homogeneous polynomials in n variables in NP-hard. In line with the “VP = VNP ?”question, which is the algebraic version of “P = NP?” we obtain a lower bound for the computation of the permanent of a matrix by an arithmetic circuit, and we point out the links between this problem and the polynomial identity testing problem. Finally, we give efficient algorithms for the factorization of lacunary bivariate polynomials.

Avec le développement des communications et de l'Internet, l'échange des informations cryptées a explosé. Cette évolution a été possible par le développement des protocoles de la cryptographie asymétrique qui font appel à des opérations arithmétiques telles que l'exponentiation modulaire sur des grands entiers ou la multiplication scalaire de point de courbe elliptique. Ces calculs sont réalisés par des plates-formes diverses, depuis la carte à puce jusqu'aux serveurs les plus puissants. Ces plates-formes font l'objet d'attaques qui exploitent les informations recueillies par un canal auxiliaire, tels que le courant instantané consommé ou le rayonnement électromagnétique émis par la plate-forme en fonctionnement.Dans la thèse, nous améliorons les performances des opérations résistantes à l'attaque Simple Power Analysis. Sur l'exponentiation modulaire, nous proposons d'améliorer les performances par l'utilisation de multiplications modulaires multiples avec une opérande commune optimisées. Nous avons proposé trois améliorations sur la multiplication scalaire de point de courbe elliptique : sur corps binaire, nous employons des améliorations sur les opérations combinées AB,AC et AB+CD sur les approches Double-and-add, Halve-and-add et Double/halve-and-add et l'échelle binaire de Montgomery ; sur corps binaire, nous proposons de paralléliser l'échelle binaire de Montgomery ; nous réalisons l'implantation d'une approche parallèle de l'approche Right-to-left Double-and-add sur corps premier et binaire, Halve-and-add et Double/halve-and-add sur corps binaire. / The development of online communications and the Internet have made encrypted data exchange fast growing. This has been possible with the development of asymmetric cryptographic protocols, which make use of arithmetic computations such as modular exponentiation of large integer or elliptic curve scalar multiplication. These computations are performed by various platforms, including smart-cards as well as large and powerful servers. The platforms are subject to attacks taking advantage of information leaked through side channels, such as instantaneous power consumption or electromagnetic radiations.In this thesis, we improve the performance of cryptographic computations resistant to Simple Power Analysis. On modular exponentiation, we propose to use multiple multiplications sharing a common operand to achieve this goal. On elliptic curve scalar multiplication, we suggest three different improvements : over binary fields, we make use of improved combined operation AB,AC and AB+CD applied to Double-and-add, Halve-and-add and Double/halve-and-add approaches, and to the Montgomery ladder ; over binary field, we propose a parallel Montgomery ladder ; we make an implementation of a parallel approach based on the Right-to-left Double-and-add algorithm over binary and prime fields, and extend this implementation to the Halve-and-add and Double/halve-and-add over binary fields.

Le calcul scientifique est souvent associé au calcul numérique. Pourtant dans de nombreuses disciplines scientifiques il est nécessaire d'aller au-delà du calcul approché : nécessité de certification des résultats, calculs dans des structures mathématiques discrètes, instabilité des algorithmique numériques. Le calcul exact s'attache donc à donner des résultats exacts ou certifiés. Cependant, la principale obstruction à l'utilisation du Calcul Formel est bien souvent les faibles performances des systèmes commerciaux y compris pour les opérations fondamentales comme l'algèbre linéaire. L'objectif de ces travaux est donc de réduire l'écart entre le calcul exact et le calcul numérique, tant sur le plan algorithmique, que sur le plan logiciel. Les défis sont multiples : développer une arithmétique efficace dans les structures discrètes ; concevoir des algorithmes ayant un terme dominant de complexité optimal même en tenant compte de la croissance des données intermédiaires ; transcrire ces algorithmes dans des logiciels combinant efficacité pérenne, interfaçage et généricité.

Le problème de la factorisation et celui du logarithme discret sont deux fondements essentiels de nombreux algorithmes de la cryptographie à clé publique. Dans le champ des algorithmes pour attaquer ces problèmes éminemment ardus, le crible algébrique et ses algorithmes cousins occupent une place de première importance. La première partie de ce mémoire est consacrée à la présentation de la " famille " du crible algébrique, et à plusieurs de mes contributions dans ce domaine. D'autres travaux sont abordés dans la partie suivante, notamment en lien avec le problème du logarithme discret sur les jacobiennes de courbes, et à ma contribution à de nouveaux algorithmes pour ce problème dans certains cas particuliers. La partie 3 du mémoire aborde mes travaux sur le thème de l'algèbre linéaire creuse sur les corps finis, motivés par le contexte d'application des algorithmes précédemment cités. La partie 4, enfin, traite de mes travaux dans le domaine de l'arithmétique, notamment concernant l'arithmétique des polynômes sur GF(2). La proximité des travaux apparaissant dans ces parties 3 et 4 avec des problématiques d'implantation indique le souci permanent, dans mes travaux, de ne pas laisser de côté cet aspect.

Soit q ⩾ 2 une puissance première fixe. L’objectif principal de cette thèse est d’étudier le comportement asymptotique de la fonction arithmétique Π_q(n,k) comptant le nombre de polynômes moniques de degré n et ayant exactement k facteurs irréductibles (avec multiplicité) sur le corps fini F_q. Warlimont et Car ont montré que l’objet Π_q(n,k) est approximativement distribué de Poisson lorsque 1 ⩽ k ⩽ A log n pour une constante A > 0. Plus tard, Hwang a étudié la fonction Π_q(n,k) pour la gamme complète 1 ⩽ k ⩽ n. Nous allons d’abord démontrer une formule asymptotique pour Π_q(n,k) en utilisant une technique analytique classique développée par Sathe et Selberg. Nous reproduirons ensuite une version simplifiée du résultat de Hwang en utilisant la formule de Sathe-Selberg dans le champ des fonctions. Nous comparons également nos résultats avec ceux analogues existants dans le cas des entiers, où l’on étudie tous les nombres naturels jusqu’à x avec exactement k facteurs premiers. En particulier, nous montrons que le nombre de polynômes moniques croît à un taux étonnamment plus élevé lorsque k est un peu plus grand que logn que ce que l’on pourrait supposer en examinant le cas des entiers. Pour présenter le travail ci-dessus, nous commençons d’abord par la théorie analytique des nombres de base dans le contexte des polynômes. Nous introduisons ensuite les fonctions arithmétiques clés qui jouent un rôle majeur dans notre thèse et discutons brièvement des résultats bien connus concernant leur distribution d’un point de vue probabiliste. Enfin, pour comprendre les résultats clés, nous donnons une discussion assez détaillée sur l’analogue de champ de fonction de la formule de Sathe-Selberg, un outil récemment développé par Porrit et utilisons ensuite cet outil pour prouver les résultats revendiqués. / Let q ⩾ 2 be a fixed prime power. The main objective of this thesis is to study the asymptotic behaviour of the arithmetic function Π_q(n,k) counting the number of monic polynomials that are of degree n and have exactly k irreducible factors (with multiplicity) over the finite field F_q. Warlimont and Car showed that the object Π_q(n,k) is approximately Poisson distributed when 1 ⩽ k ⩽ A log n for some constant A > 0. Later Hwang studied the function Π_q(n,k) for the full range 1 ⩽ k ⩽ n. We will first prove an asymptotic formula for Π_q(n,k) using a classical analytic technique developed by Sathe and Selberg. We will then reproduce a simplified version of Hwang’s result using the Sathe-Selberg formula in the function field. We also compare our results with the analogous existing ones in the integer case, where one studies all the natural numbers up to x with exactly k prime factors. In particular, we show that the number of monic polynomials grows at a surprisingly higher rate when k is a little larger than logn than what one would speculate from looking at the integer case. To present the above work, we first start with basic analytic number theory in the context of polynomials. We then introduce the key arithmetic functions that play a major role in our thesis and briefly discuss well-known results concerning their distribution from a probabilistic point of view. Finally, to understand the key results, we give a fairly detailed discussion on the function field analogue of the Sathe-Selberg formula, a tool recently developed by Porrit and subsequently use this tool to prove the claimed results.