Dans cette thèse nous étudions deux problèmes. Le premier est la non-existence de pointsrationnels non spéciaux sur des quotients d’Atkin-Lehner de courbes de Shimura. Le se-cond est l’absence de surfaces abéliennes rationnelles à multiplication potentiellementquaternioniques munies d’une structure de niveau. Ces deux problèmes sont liés car unesurface abélienne rationnelle simple à multiplication potentiellement quaternionique cor-respond à un point rationnel non spécial sur un certain quotient d’Atkin-Lehner de courbede Shimura.Dans une première partie nous expliquons comment vérifier un critère de Parent etYafaev en grande généralité pour prouver que dans les conditions du cas non ramifié deOgg, et si p est assez grand par rapport à q, alors le quotient X^pq/w_q n’a pas de pointrationnel non spécial.Dans une seconde partie nous déterminons une borne effective pour les structures deniveaux possibles pour une surface abélienne rationnelle acquérant sur un corps quadra-tique imaginaire fixé multiplication par un ordre fixé dans une algèbre de quaternions. / In this thesis we study two problems. The first one is the non-existence of rational non-special points on Atkin-Lehner quotients of Shimura curves. The second one is the absence of rational abelian surfaces with potential quaternionique multiplication endowed with a level structure. These two problems are linked because a simple rational abelian surface with potential quaternionique multiplication is associated to a rational non-special point on an Atkin-Lehner quotients of Shimura curve. In a first part of our work we explain how to verify in wide generality a criterium of Parent and Yafaev in order to prove that in the conditions of Ogg's non ramified case, and if $p$ is big enough compared two $q$, then the quotient $X^{pq}/w_q$ has no non-special rational point. In a second part we determine an effective born for possible level structures on rational abelian surfaces having, over a fixed quadratic field, multiplication by a fixed order in a quaternion algebra

Le résultat principal de ce texte est une généralisation de la formule de Gross-Zagier p-adique de Perrin-Riou au cas de courbes de Shimura sur les corps totalement réels. Soit F un corps totalement réel. Soit f une forme modulaire de Hilbert sur F de poids parallel 2, qui est une forme nouvelle et est ordinaire en p. Soit E est une extension quadratique totalement imaginaire de F de discriminant premier à p et au conducteur de f. On peut construire une fonction L p-adique qui interpole valeurs spéciales de la fonction L complexe associée à f, E et caractères de Hecke d'ordre fini de E. La formule p-adique de Gross-Zagier relie la dérivée centrale de cette fonction L p-adique à la hauteur d'un divisor de Heegner sur une certaine courbe de Shimura. La stratégie de la preuve est proche de celle du travail original de Perrin-Riou. Dans la partie analytique, on construit le noyau analytique par calculs adéliques; dans la partie géométrique, on décompose le noyau géométrique en deux parties: places hors de p et places divisant p. Pour les places hors de p, les hauteurs p-adiques sont essentiellement des nombres d'intersection et sont calculées dans les travaux de S. Zhang, et il s'avère que cette partie est bien liée au noyau analytique. Pour les places divisant p, on utilise la méthode dans le travail de J. Nekovar pour montrer que la contribution de cette partie est nulle. / The main result of this text is a generalization of Perrin-Riou's p-adic Gross-Zagier formula to the case of Shimura curves over totally real fields. Let F be a totally real field. Let f be a Hilbert modular form over F of parallel weight 2, which is a new form and is ordinary at p. Let E be a totally imaginary quadratic extension of F of discriminant prime to p and to the conductor of f. We may construct a p-adic L function that interpolates special values of the complex L functions associated to f, E and finite order Hecke characters of E. The p-adic Gross-Zagier formula relates the central derivative of this p-adic L function to the p-adic height of a Heegner divisor on a certain Shimura curve. The strategy of the proof is close to that of the original work of Perrin-Riou. In the analytic part, we construct the analytic kernel via adelic computations, in the geometric part, we decompose the geometric kernel into two parts: places outside p and places dividing p. For places outside p, the p-adic heights are essentially intersection numbers and are computed in works of S. Zhang, and it turns out that this part is closely related to the analytic kernel. For places dividing p, we use the method in the work of J. Nekovar to show that the contribution of this part is zero.

L'étude du nombre de points rationnels d'une courbe définie sur un corps fini se divise naturellement en deux cas : lorsque le genre est petit (typiquement g<=50), et lorsqu'il tend vers l'infini. Nous consacrons une partie de cette thèse à chacun de ces cas. Dans la première partie de notre étude nous expliquons comment calculer l'équation de n'importe quel revêtement abélien d'une courbe définie sur un corps fini. Nous utilisons pour cela la théorie explicite du corps de classe fournie par les extensions de Kummer et d'Artin-Schreier-Witt. Nous détaillons également un algorithme pour la recherche de bonnes courbes, dont l'implémentation fournit de nouveaux records de nombre de points sur les corps finis d'ordres 2 et 3. Nous étudions dans la seconde partie une formule de trace d'opérateurs de Hecke sur des formes modulaires quaternioniques, et montrons que les courbes de Shimura associées forment naturellement des suites récursives de courbes asymptotiquement optimales sur une extension quadratique du corps de base. Nous prouvons également qu'alors la contribution essentielle en points rationnels est fournie par les points supersinguliers. / The study of the number of rational points of a curve defined over a finite field naturally falls into two cases: when the genus is small (typically g<=50), and when it tends to infinity. We devote one part of this thesis to each of these cases. In the first part of our study, we explain how to compute the equation of any abelian covering of a curve defined over a finite field. For this we use explicit class field theory provided by Kummer and Artin-Schreier-Witt extensions. We also detail an algorithm for the search of good curves, whose implementation provides new records of number of points over the finite fields of order 2 and 3. In the second part, we study a trace formula of Hecke operators on quaternionic modular forms, and we show that the associated Shimura curves of the form naturally form recursive sequences of asymptotically optimal curves over a quadratic extension of the base field. Moreover, we then prove that the essential contribution to the rational points is provided by supersingular points.