This thesis generalizes and interprets Kesten\'s Incipient Infinite Cluster (IIC) measure in two ways. Firstly we generalize Járai\'s result which states that for planar lattices the local configurations around a typical point taken from crossing collection is described by IIC measure. We prove in Chapter 2 that for backbone, lowest crossing and set of pivotals, the same hold true with multiple armed IIC measures. We develop certain tools, namely Russo Seymour Welsh theorem and a strong variant of quasi-multiplicativity for critical percolation on 2-dimensional slabs in Chapters 3 and 4 respectively. This enables us to first show existence of IIC in Kesten\'s sense on slabs in Chapter 4 and prove that this measure can be interpreted as the local picture around a point of crossing collection in Chapter 5.

Dans cette thèse nous proposons et nous mettons en application plusieurs modèles décrivant la croissance et la morphologie du tissu urbain. Le premier de ces modèles est issu de la percolation en gradient (correlée) déjà proposé de la littérature. Le second, inédit, fait appel à un équation différentielle stochastique. Nos modèles sont paramétrables : les paramètres que nous avons choisi d’appliquer sont naturels et tiennent compte de l’accessibilité des sites. Le résultat des simulations est conforme à la réalité du terrain. Par ailleurs, nous étudions la percolation en gradient: nous démontrons , suivant Nolin, que la frontière de cluster principal se situe dans un voisinage de la courbe critique et nous estimons ses longueurs et largeurs. Enfin, nous menons une étude du processus de croissance SLE. Nous calculons (preuve assistée par ordinateur) l’espérance des carrés des modules pour SLE2 and SLE6. Ces résultats sont liés à la conjecture de Bieberbach. / In this thesis we propose and test models that describe the growth and morphology of cities. The first of these models is used from previously developed correlated gradient percolation model. The second model is related to a stochastic differential equation and has never been proposed before. Both models are parameterizable. The parameters we chose in applications are well justified by physical observations: proximily to axes and accessibility of sites. The result is consistent with actual data. We also study the gradient percolation as a mathematical object. We prove, following Nolin’s ideas, that the front of gradient percolation cluster is localised in a neighborhood of the critical curve with width and length depending on density gradient. Finally, we also study SLE growth processes. We calculate (computer assisted demonstration) the expected value of square of moduli for SLE2 and SLE6 related to the Bieberbach conjecture.

This thesis generalizes and interprets Kesten\''s Incipient Infinite Cluster (IIC) measure in two ways. Firstly we generalize Járai\''s result which states that for planar lattices the local configurations around a typical point taken from crossing collection is described by IIC measure. We prove in Chapter 2 that for backbone, lowest crossing and set of pivotals, the same hold true with multiple armed IIC measures. We develop certain tools, namely Russo Seymour Welsh theorem and a strong variant of quasi-multiplicativity for critical percolation on 2-dimensional slabs in Chapters 3 and 4 respectively. This enables us to first show existence of IIC in Kesten\''s sense on slabs in Chapter 4 and prove that this measure can be interpreted as the local picture around a point of crossing collection in Chapter 5.

Le but de ce travail de thèse consiste à étudier les propriétés physico-chimiques des verres chalcogénures afin de pouvoir les utiliser comme membranes de capteurs chimiques destinés pour le dosage des ions Hg²⁺. Dans un premier temps, les propriétés macroscopiques des systèmes vitreux AgY-As₂S₃ (Y = Br, I), HgS-GeS₂, AgI-HgS-As₂S₃ et AgI-HgS-GeS₂, telles que les densités et les températures caractéristiques (Tg et Tc) ont été mesurées et analysées selon les compositions des verres. Puis, dans un second temps, les propriétés de transport ont été étudiés à l'aide de la spectroscopie d'impédance complexe d'une part, ou d'autre part, par des mesures de la résistivité. Ces dernières montrent que les verres de chalcogénures dopés à l'halogénure d'argent présentent deux différents régimes de transports au-dessus du seuil de percolation xc ≈ 30 ppm : (i) domaine de percolation critique, et (ii) domaine contrôlé par modificateur. Vient ensuite la troisième partie, elle consiste à déchiffrer les relations composition/structure/propriété grâce à plusieurs études structurales. Des mesures par spectroscopie Raman, par diffraction de neutrons et de rayons X haute énergie, par diffusion des neutrons sous petits angles (SANS), ainsi que des modélisations RMC/DFT et AMID ont été réalisées. Enfin, la dernière partie de ce travail était une étude préliminaire des caractéristiques des nouveaux capteurs chimiques. Il a été consacré à l'étude des relations entre la composition et la sensibilité des membranes ainsi qu'aux limites de détection qui les définissent. / The aim of the thesis is to study the physicochemical properties of the silver halide doped chalcogenide glasses for the possibility to use them as chemical sensors for quantitative analysis of Hg²⁺ ions. First, the macroscopic properties of AgY-As₂S₃ (Y = Br, I), HgS-GeS₂, AgI-HgS-As₂S₃ and AgI-HgS-GeS₂ glassy systems such as the densities and the characteristic temperatures (Tg and Tc) were measured and analyzed according to the glass compositions. Second, the transport properties were studied using complex impedance and dc conductivity. Measurements show that the silver halide doped chalcogenide glasses exhibit two drastically different ion transport regimes above the percolation threshold at xc ≈ 30 ppm : (i) critical percolation, and (ii) modifier-controlled regimes. Third, to unveil the composition/structure/property relationships, various structural studies were carried out. Raman spectroscopy, high-energy X-ray diffraction, neutron diffraction and small-angle neutron scattering experiments, together with RMC/DFT and AMID modelling were employed. Finally, the last part was a preliminary study of the characteristics of new chemical sensors. It was devoted to study the relationship between the membranes' composition and sensitivity but also detection limits.

Cette thèse s'inscrit dans l'étude mathématique de la percolation, qui regroupe une famille de modèles présentant une transition de phase. Des avancées majeures au cours des quinze dernières années, notamment l'invention du SLE et la preuve de l'invariance conforme de la percolation de Bernoulli critique, nous permettent aujourd'hui d'avoir une image très complète de la percolation de Bernoulli sur le réseau triangulaire. Cependant, de nombreuses questions demeurent ouvertes, et ont motivé notre travail.La première d'entre elle est l'universalité de la percolation plane, qui affirme que les propriétés macroscopiques de la percolation plane critique ne devraient pas dépendre du réseau sous-jacent à sa définition. Nous montrons, dans le cadre de la percolation Divide and Color, un résultat qui va dans le sens de cette universalité et identifions, dans ce contexte, des phénomènes macroscopiques indépendants du réseau microscopique. Une version plus faible d'universalité est donnée par la théorie de Russo-Seymour-Welsh (RSW), et sa validité est connue pour la percolation de Bernoulli (sans dépendance) sur les réseaux plans suffisamment symétriques. Nous étudions de nouveaux arguments de type RSW pour des modèles de percolation avec dépendance. La deuxième question que nous avons abordée est celle de l'absence d'une composante connexe ouverte infinie au point critique, une question importante du point de vue physique, puisqu'elle traduit la continuité de la transition de phase. Dans deux travaux en collaboration avec Hugo Duminil-Copin et Vladas Sidoravicius, nous montrons que la transition de phase est continue pour la percolation de Bernoulli sur le graphe Z^2x{0,...,k}, et pour la percolation FK sur le réseau carré avec paramètre q inférieur ou égal à 4. Enfin, la dernière question qui nous a guidés est la localité du point critique : la donnée des boules de grands rayons d'un graphe suffit-elle à identifier avec une bonne précision la valeur du point critique? Dans un travail en collaboration avec Sébastien Martineau, nous répondons de manière affirmative à cette question dans le cadre des graphes de Cayley de groupes abéliens. / This thesis is part of the mathematical study of percolation theory, which includes a family of models with a phase transition. Major advances in the 2000s, including the invention of SLE and the proof of conformal invariance of critical Bernoulli percolation, provide us with a very complete picture of the Bernoulli percolation process on the triangular lattice. Fortunately, many questions remain open, and motivated our work.The first of these is the universality of planar percolation, which states that the macroscopic properties of critical planar percolation should not depend on the underlying graph. We study this question in the framework of Divide and Color percolation, and prove in this context a result that goes in the direction of universality. A weaker universality statement is given by the theory of Russo-Seymour-Welsh (RSW), which is known to hold for planar Bernoulli percolation (without dependence) on sufficiently symmetric graphs. We study new RSW-type arguments for percolation models with dependence.The second question is the absence of an infinite cluster at the critical point, an important question from a physical point of view, equivalent to the continuity of the phase transition. In two different joint works with Hugo Duminil-Copin and Vladas Sidoravicius, we show that the phase transition is continuous for Bernoulli percolation on the graph Z^2 x {0,...,k} and for FK percolation on the square lattice with parameter q smaller than or equal to 4.Finally, the last question that guided us is the locality of the critical point: is it possible to determine with good accuracy the critical value for Bernoulli percolation on a graph if we know only the balls with large radii? Jointly with Sébastien Martineau, we answer positively to this question in the framework of Cayley graphs of abelian groups.