De nouvelles technologies, notamment les puces à adn, multiplient la quantité de données disponibles pour la biologie moléculaire. dans ce contexte, des méthodes informatiques et mathématiques sont activement développées pour extraire le plus d'information d'un grand nombre de données. en particulier, le problème d'inférence de réseaux de régulation génique a été abordé au moyen de multiples modèles mathématiques et statistiques, des plus basiques (corrélation, modèle booléen ou linéaire) aux plus sophistiqués (arbre de régression, modèles bayésiens avec variables cachées). malgré leurs qualités pour des problèmes similaires, les modèles à noyaux ont été peu utilisés pour l'inférence de réseaux de régulation génique. en effet, ces méthodes fournissent en général des modèles difficiles a interpréter. dans cette thèse, nous avons développé deux façons d'obtenir des méthodes à noyaux interprétables. dans un premier temps, d'un point de vue théorique, nous montrons que les méthodes à noyaux permettent d'estimer, a partir d'un ensemble d'apprentissage, une fonction de transition et ses dérivées partielles de façon consistante. ces estimations de dérivées partielles permettent, sur des exemples réalistes, de mieux identifier le réseau de régulation génique que des méthodes standards. dans un deuxième temps, nous développons une méthode à noyau interprétable grâce à l'apprentissage à noyaux multiples. ce modèle fournit des résultats du niveau de l'état de l'art sur des réseaux réels et des réseaux simulés réalistes. / New technologies in molecular biology, in particular dna microarrays, have greatly increased the quantity of available data. in this context, methods from mathematics and computer science have been actively developed to extract information from large datasets. in particular, the problem of gene regulatory network inference has been tackled using many different mathematical and statistical models, from the most basic ones (correlation, boolean or linear models) to the most elaborate (regression trees, bayesian models with latent variables). despite their qualities when applied to similar problems, kernel methods have scarcely been used for gene network inference, because of their lack of interpretability. in this thesis, two approaches are developed to obtain interpretable kernel methods. firstly, from a theoretical point of view, some kernel methods are shown to consistently estimate a transition function and its partial derivatives from a learning dataset. these estimations of partial derivatives allow to better infer the gene regulatory network than previous methods on realistic gene regulatory networks. secondly, an interpretable kernel methods through multiple kernel learning is presented. this method, called lockni, provides state-of-the-art results on real and realistically simulated datasets.

In a large class of modern applications, we have to estimate the initial (or final) state of an infinite-dimensional system (typically a system governed by a Partial Differential Equation) from its partial measurement over some finite time interval. This kind of identification problems arises in medical imaging. For instance, the detection of sick cells (tumor) by thermo-acoustic tomography can be viewed as an initial data reconstruction problem. Some other methods need the identification of a source term, which can be rewritten, under some assumptions, under the form of an initial data reconstruction problem. In this thesis, we are dealing with the reconstruction of the initial state of a system of evolution, working as much as possible on the infinite-dimensional system, using the new algorithm developed by Ramdani, Tucsnak and Weiss (Automatica 2010). We perform in particular the numerical analysis of the algorithm in the case of Schrödinger and wave equations, with internal observation. We study the suitable functional spaces for its use in Maxwell’s equations, with internal and boundary observation. In the last chapter, we try to extend the framework of this algorithm when the initial system is perturbed or when the inverse problem is ill-posed, with application to thermoacoustic tomography.

info:eu-repo/semantics/nonPublished

Mémoire numérisé par la Direction des bibliothèques de l'Université de Montréal.

Ma recherche est consacrée à l'étude des équations et des systèmes d'équations aux dérivées partielles non-linéaires elliptiques et paraboliques et à leurs applications. Mes travaux s'articulent autour des thèmes suivants :<br /><br />-Théorie générale des EDP complètement non-linéaires et solutions de viscosité d'EDP ;<br />-Estimations elliptiques et théorie de la régularité pour systèmes d'EDP elliptiques sous forme non divergence ; <br />-Méthodes variationnelles pour la résolution d'EDP de la physique quantique - équation de Schrodinger et systèmes d'équations de Schrodinger ;<br />-Estimations à priori et méthodes topologiques pour la résolution d'EDP et de systèmes d'EDP elliptiques ; <br />-Symétrie et monotonie des solutions positives d'EDP et de systèmes d'EDP dans des domaines non bornés ;<br />-Problèmes aux limites surdéterminés et problèmes à frontière libre.

In this thesis, we develop a stochastic calculus for the space-time Lévy white noise introduced in [1] as an alternative for the Gaussian white noise perturbing an stochastic partial differential equation (SPDE). We give a new proof for the Itô formula for some integral processes related to this Lévy white noise. Then, we consider a general non-linear SPDE on R_+* R driven by this Lévy white noise and we show that this equation has a unique random-field solution. Using Rosenthal's inequality, we develop a maximal inequality for the moments of order p≥2 of the stochastic integral with respect to this noise. Based on this inequality, we show that the stochastic wave equation equation has a unique solution, which is weakly intermittent in the sense of [2, 3]. Finally, we develop a Malliavin calculus with respect to the compensated Poisson random measure associated to the Lévy white noise. Under certain conditions, we show that the solution is Malliavin differentiable and its Malliavin derivative satisfies an integral equation. [1] Integration with respect to Lévy colored noise, with application to SPDEs: Stochastics An International Journal of Probability and Stochastic Processes , 87, 363-381. [2] Intermittence and nonlinear parabolic stochastic partial differential equations. Electronic Journal of Probability. Vol 21, 548-568. [3] Analysis of stochastic partial differential equations. CBMS Regional Conference Series in Mathematics, Vol 119. American Mathematical Society.

Etude des propriétés de symétrie des solutions de quelques problèmes aux limites de type elliptique.

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L'objectif de cette thèse est d'étudier les propriétés de variétés toriques particulières. La thèse est divisée en trois parties, les deux premières étant fortement liées. Dans la première partie, nous étudions des variétés algébriques associées aux processus de Markov sur les arbres. A chaque processus de Markov sur un arbre on peut associer une variété algébrique. Motivé par la biologie, nous nous concentrons sur les processus de Markov dé finis par une action de groupe. Nous étudions les conditions pour que la variété obtenue soit torique. Nous donnons un résultat où les variétés obtenues sont normales, ainsi que des exemples où elles ne le sont pas. L'une des principales méthodes que nous utilisons est la généralisation des notions de prises et de réseaux introduites dans [BW07] à des groupes abéliens arbitraires. Dans notre contexte, les réseaux forment un groupe qui agit sur la variété. Par ailleurs, l'espace ambiant de lavariété est la représentation régulière de ce groupe. Le principal problème ouvert que nous essayons de résoudre dans cette partie est une conjecture de Sturmfels et Sullivant [SS05, Conjecture 2] indiquant que le schéma a fine associé au modèle 3-Kimura estdé fini par un idéal engendré en degré 4. Notre meilleur résultat dit que le schéma projectif associé peut être dé fini par un idéal engendré en degré 4. Avec Maria Donten -Bury, nous proposons une méthode pour engendrer l'idéal associé à la variété pour tous les modèles. Nous montrons que notre méthode fonctionne pour de nombreux modèles ainsi que pour les arbres si et seulement si la conjecture de Sturmfels et Sullivant est vraie. Nous présentons quelques applications, par exemple au problème d'identi abilité en biologie. La deuxième partie concerne les variétés algébriques associées aux graphes trivalents pour le modèle de Jukes-Cantor binaire. Il s'agit d'un travail en commun avec Weronika Buczyńska, Jarosław Buczyński et Kaie Kubjas. La variété associée á un graphe peut être représentéevpar un semi-groupe gradué. Nous étudions les liens entre les propriétés du graphe et le semigroupe. Le théorème principal borne le degré en lequel le semi-groupe est engendré par le premier nombre de Betti du graphe, plus un. Dans la dernière partie, nous étudions la structure de la catégorie dérivée des faisceaux cohérents des variétés toriques lisses. Dans un travail commun avec Michał Lasoń [LM11], nous construisons une collection fortement exceptionnelle complète de fi brés en droites pour une grande classe de variétés toriques complètes lisses dont le nombre de Picard est égal á trois. De nombreuses questions concernant le type de collections auxquelles on peut s'attendre sur les variétés toriques de certains types sont encore ouvertes. A ce titre, nous prouvons que Pn éclaté en deux points ne possède pas de collection fortement exceptionnelle complète de fibrés en droites pour n assez grand. Ceci fournit une collection infi nie de contre-exemples à la conjecture de King. Le premier contre-exemple est dû à Hille et Perling [HP06]. Récemment, des contre-exemples ont également été trouvés par E mov [E ] dans le cadre des variétés de Fano. Nous allons travailler sur le corps des nombres complexes C. Toutes les variétés considérées sont des variétés algébriques dans le sens de [Har77]. / The aim of this thesis is to investigate the properties of special toric varieties. The thesis is divided into three parts. The first two of them are strongly related to each other.In the fi rst, main part we study algebraic varieties associated to Markov processes on trees. To each Markov process on a tree one can associate an algebraic variety. Motivated by biology, we focus on Markov processes de fined by a group action. We investigate underwhich conditions the obtained variety is toric. We provide conditions ensuring that the obtained varieties are normal, as well as give examples when they are not. One of the main tools we use is the generalization of the notions of sockets and networks introduced in [BW07] to arbitrary abelian groups. In our setting the networks form a group, that acts on the variety. Moreover the ambient space of the variety is the regular representation of this group. The main open problem that we address in this part is a conjecture of Sturmfels and Sullivant [SS05, Conjecture 2] stating that the afi ne scheme associated to the 3-Kimura model is de fined by an ideal generated in degree 4. Our strongest result states that the associated projective scheme can be generated in degree 4. Together with Maria Donten -Bury we also propose a method for generating the ideal defi ning the variety for any model. We prove that our method works for many models and trees if and only if the conjecture of Sturmfels and Sullivant holds. We present some applications, for example to theidenti ability problem in biology. The second part concerns algebraic varieties associated to trivalent graphs for the binary Jukes-Cantor model. It is a joint work with Weronika Buczyńska, Jarosław Buczyński and Kaie Kubjas. In case of the graph, the associated variety can be represented by a graded semigroup. We investigate the connections between properties of the graph and the semigroup. The main theorem bounds the degree in which the semigroup is generated by the first Betti number of the graph plus one. Due to connections with the first part much of the terminology that we use is either a specialization or generalization of previous de finitions. From the one hand, as we are working with graphs with possible loops the notions of leaves, nodes and valency are more subtile than for trees. From the other hand, as we are dealing only with the binary Jukes-Cantor model, sockets and networks have got a very special form. In the last part we study the structure of the derived category of coherent sheaves for smooth toric varieties. As a result of a joint work with Michał Lasoń [LM11] we construct a full, strongly exceptional collection of line bundles for a large class of smooth, complete toric varieties with Picard number three. Many questions concerning what kind of collections should be expected on toric varieties of certain types are still open. As a contribution we prove that Pn blown up in two points does not have a full, strongly exceptional collection of line bundles for n large enough. This provides an in finite collection of counterexamples to King's conjecture. The first such counterexample is due to Hille andPerling [HP06]. Recently also counterexamples in the Fano case were found by E mov [E ].

Dans cette thèse, on étudie deux modèles décrivant l'évolution d'un bassin sédimentaire sous une contrainte sur le taux d'érosion. Ces modèles sont obtenus par l'application de la loi de conservation de masse sur le flux de matières, ce qui conduit à l'équation de Darcy ou à l'équation de Darcy-Barenblatt selon l'expression du flux choisie parmi deux expressions possibles d'après les géologues. L'équation de Darcy-Barenblatt est obtenue de celle de Darcy en ajoutant un terme de diffusion. En outre, la contrainte d'érosion maximale est implicitement contenue dans la formulation du modèle de Darcy-Barenblatt mais pas dans celle de Darcy en dimension 2. Après la présentation de ces modèles dans l'introduction de la thèse, la première partie est consacrée au modèle de Darcy-Barenblatt. On a obtenu un résultat d'existence d'une solution par une méthode de point fixe de Schauder-Tikhonov. Ensuite, on a montré un résultat de régularité en utilisant des résultats de Meyers et de Necas sur les équations elliptiques à coefficients höldériens, ce résultat de régularité est propre à une dimension inférieur ou égale à 2. La première partie se termine par la démonstration d'un résultat d'unicité de la solution. Le modèle de Darcy est étudié dans la deuxième partie de la thèse, on a obtenu une solution du problème discrétisé en temps, mais en dimension 2 d'espace le passage à la formulation continue fait apparaitre des produits de deux convergences faibles et soulève des difficultés théoriques non surmontées. En dimension 1, on a obtenu une solution continue pour le cas de la sédimentation marine en résolvant un problème à frontière libre de type Bernoulli d'évolution.