Dissertação apresentada para obtenção do grau de Doutor em Ciências de Engenharia, na Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto, sob a orientação dos Professores Doutores Alírio Egidio Rodrigues e Alberto Sereno

Neste trabalho estabelecemos o Teorema Central do Limite para o modelo O(N) de Heisenberg hierárquico na criticalidade via equação a derivadas parciais no limite N -> infinito. Por simplicidade consideramos apenas o caso d = 4, sendo o teorema também válido para d > 4. Pelo estudo de uma dada equação a derivadas parciais (EDP) determinamos a temperatura inversa crítica do modelo esférico hierárquico contínuo para um d > 2 qualquer, havendo conexão entre criticalidade e o ponto fixo da EDP. Por meio de uma análise geométrica da trajetória crítica obtemos informações sobre a dinâmica e distribuição dos zeros de Lee-Yang. / In this work we stablish the Central Limit Theorem for the hierarchical O(N) Heisenberg model at criticality via partial differential equation in the limit N -> infinity. For simplicity we only treat the d = 4 case but the theorem is still valid for d > 4. By studying a given partial differential equation (PDE) we determine for any d > 2 the critical inverse temperature of the continuum hierarchical spherical model, and we show a connection between criticality and the fixed point of PDE. By means of a geometric analysis of the critical trajectory we obtain some informations about Lee-Yang zeros´s dynamics and distribution.

Neste trabalho estabelecemos o Teorema Central do Limite para o modelo O(N) de Heisenberg hierárquico na criticalidade via equação a derivadas parciais no limite N -> infinito. Por simplicidade consideramos apenas o caso d = 4, sendo o teorema também válido para d > 4. Pelo estudo de uma dada equação a derivadas parciais (EDP) determinamos a temperatura inversa crítica do modelo esférico hierárquico contínuo para um d > 2 qualquer, havendo conexão entre criticalidade e o ponto fixo da EDP. Por meio de uma análise geométrica da trajetória crítica obtemos informações sobre a dinâmica e distribuição dos zeros de Lee-Yang. / In this work we stablish the Central Limit Theorem for the hierarchical O(N) Heisenberg model at criticality via partial differential equation in the limit N -> infinity. For simplicity we only treat the d = 4 case but the theorem is still valid for d > 4. By studying a given partial differential equation (PDE) we determine for any d > 2 the critical inverse temperature of the continuum hierarchical spherical model, and we show a connection between criticality and the fixed point of PDE. By means of a geometric analysis of the critical trajectory we obtain some informations about Lee-Yang zeros´s dynamics and distribution.

Na aproximação de potencial local (L\\downarrow1) a transformação de grupo de renormalização para o modelo O(N) de Heisenberg hierárquico é descrita por uma equação a derivadas parciais (EDP). Neste trabalho investigamos, na criticalidade (sistema à temperatura inversa crítica), a somabilidade da série de potências em 1/N que formalmente satisfaz essa EDP. / In the local potential approximation (L\\downarrow1) the renormalization group transformation for the hierarchical O(N) Heisenberg model is described by a partial differential equation (PDE). In this work we investigate, at criticality (system at inverse critical temperature), the summability of the formal power series in 1/N which formally satisfies that PDE.

Made available in DSpace on 2016-04-27T16:58:48Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Roberto Seidi Imafuku.pdf: 3845972 bytes, checksum: 59d89fa15452f04bf6d1849c648d5105 (MD5) Previous issue date: 2008-10-17 / Secretaria da Educação do Estado de São Paulo / This research was developed with the goal of verifying the difficulties and the knowledge shown by students related to the transition of the study of functions of one variable to the case of two variables, regarding dependent and independent variables well as the interdependence between them, to the dominion and the graphic, to the relation between the graphic of the dominion of the function and also which manifestations are revealed in the study of the partial derivatives of the first order. In order to do so we developed two questionnaires based upon the Theory of the Registers of Semiotic Representation of Raymond Duval, the questionnaires having been answered by students of the fourth and fifth term of the course of Mathematics of a private university in the greater São Paulo area. The first questionnaire was applied to students of the fourth term and it made possible to verify not only one first analysis of their difficulties, but also how pertinent the questions were, as well as how fitting the wording was. It has been found that some of the questions needed rephrasing, and also that the addition of new questions was necessary, which contributed to the making of a new questionnaire, which was answered by students of the fifth term. This research revealed some difficulties that students show when studying functions of two variables, such as the comprehension of the system of the 3D axis, the lack of clarity when determining and representing the dominium of the function, difficulty when performing the conversion from the representation of the natural language to the algebric language in contextualised situations, the confusion between the graphic representation of the dominion and the function, and the obstacles for the interpretation of the graphic of a function of two variables, difficulties that have negative effect on the study of partial derivatives. The registers of semiotic representation proved themselves an efficient tool for the explanation of the knowledge and the complexity that the study of functions with two variables represent for students / Esta pesquisa foi desenvolvida com o objetivo de verificar as dificuldades e saberes manifestados por estudantes relativos à transição do estudo das funções de uma variável para o caso de duas, no que diz respeito às variáveis dependentes e independentes e à interdependência entre elas, ao domínio e o gráfico, à relação entre o gráfico do domínio e o gráfico da função e, também quais manifestações são reveladas no estudo das derivadas parciais de primeira ordem. Para isso, elaboramos dois questionários fundamentados na Teoria dos Registros de Representação Semiótica de Raymond Duval, os quais foram aplicados a estudantes do quarto e quinto semestre de um curso de Licenciatura em Matemática de uma universidade particular da grande São Paulo. O primeiro questionário foi aplicado a alunos do quarto semestre e possibilitou, além de uma primeira análise das dificuldades, verificar a pertinência das questões, bem como a adequação dos enunciados. Foi constatado que algumas questões necessitavam de uma reestruturação e, também, que era necessário o acréscimo de novas questões, o que contribuiu na elaboração do questionário definitivo, que foi aplicado a estudantes do quinto semestre. Esta pesquisa revelou algumas dificuldades que os alunos apresentam quando estudam as funções de duas variáveis, como: a não compreensão do sistema de eixos 3D, a falta de clareza na determinação e representação do domínio da função, a dificuldade em realizar a conversão do registro da língua natural para o algébrico em situações contextualizadas, a confusão entre o registro gráfico do domínio e da função, e os obstáculos para a interpretação do gráfico de uma função de duas variáveis, dificuldades estas que se refletem negativamente no estudo das derivadas parciais. Os registros de representação semiótica se mostraram uma eficaz ferramenta para a explicitação dos saberes e da complexidade que o estudo de funções de duas variáveis representa para os alunos

Made available in DSpace on 2016-04-27T16:58:55Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Leandro Marques.pdf: 1478606 bytes, checksum: bc2e15ec7b9e5f29ad817740bd573c12 (MD5) Previous issue date: 2009-06-22 / Secretaria da Educação do Estado de São Paulo / The objective of this work is to show how the Engineer course students use the didatic book to study the Partial Derivates. It s known the importance of the Calculus subject in the courses linked to the exact sciences, in which students show heavily burdens, while learning this subject. A lot has been researched about the use of technologies of information in the classroom, trying to make the teaching process more effective, but in practice, the levels of dismissing and failure show that it is not been very satisfactory. The new technologies are making the book a more efficient tool, and you can have it in hands easier than the other technologic tools. Like this, we developed our research with the propose to investigate how students manipulate the books, looking for information and what contributions the use of this tool for the learning of the topic about Partial Derivates. To look for evidences that show us how it happened, we elaborated a research tool with elementary questions based in the Raymond Duval s Theory of the Registers of Semiotics Representation that was used with students from different levels from the mechanic engineering from a private university in São Paulo. The research reveled that the students have as a priority the algebraic records in their resolutions and this representation is known as a valid answer and other representations are just auxiliaries. Most of the students showed a relative good work dealing with the functions treatment of two varieties in their algebraic representation, but they showed some hardship when they are expressed in their natural language. Bother groups show us similarities when using the book for the exploration of the topics. The way some questions were solved told us the book was an efficient tool for the learning process / O trabalho tem por objetivo mostrar como estudantes de um curso de Engenharia mobilizam o livro didático no estudo de derivadas parciais. Sabe-se da importância da disciplina de Cálculo nos cursos ligados à ciências exatas e que muitos alunos apresentam sérias dificuldades na aprendizagem dos conteúdos que a compõem. Muito se tem pesquisado sobre o uso de tecnologias da informação em sala de aula, para tentar tornar o ensino e a aprendizagem mais eficaz, porém na prática, os índices de abandono e repetência indicam que isso não está ocorrendo de maneira satisfatória. As novas tecnologias vêm tornando o livro didático uma ferramenta cada vez mais eficiente e que se pode tê-lo à mão de modo relativamente mais fácil do outras ferramentas tecnológicas. Assim desenvolvemos nossa pesquisa no intuito de investigar como os alunos manipulam o livro didático, na busca por informações e quais contribuições que a utilização dessa ferramenta pode trazer para a aprendizagem do tópico sobre Derivadas Parciais. Para buscar indícios que nos apontassem como isso ocorria, elaboramos um instrumento de pesquisa com questões fundamentadas na Teoria dos Registros de Representação Semiótica de Raymond Duval, que foi aplicado a alunos em estágios distintos do curso de engenharia mecânica de uma universidade particular da cidade de São Paulo. A pesquisa revelou que os alunos priorizam o registro algébrico em suas resoluções e que esta representação é tida como resposta válida e que outras representações são apenas auxiliares . A maioria dos alunos apresentou relativamente bom desempenho no tratamento de funções de duas variáveis na sua representação algébrica, porém demonstraram dificuldades quando elas são expressas no registro da língua natural. Os dois grupos apresentaram similaridades na manipulação do livro para a exploração conteúdo. A forma como foram resolvidas algumas questões indicou que o livro foi uma ferramenta eficaz para o processo de aprendizagem

Na aproximação de potencial local (L\\downarrow1) a transformação de grupo de renormalização para o modelo O(N) de Heisenberg hierárquico é descrita por uma equação a derivadas parciais (EDP). Neste trabalho investigamos, na criticalidade (sistema à temperatura inversa crítica), a somabilidade da série de potências em 1/N que formalmente satisfaz essa EDP. / In the local potential approximation (L\\downarrow1) the renormalization group transformation for the hierarchical O(N) Heisenberg model is described by a partial differential equation (PDE). In this work we investigate, at criticality (system at inverse critical temperature), the summability of the formal power series in 1/N which formally satisfies that PDE.