L’utilisation du manuel scolaire dans l’enseignement-apprentissage des mathématiques semble occuper une place importante, et ce, pour plusieurs raisons dont une perception de fiabilité de ce matériel (Lebrun, 2006). Nous pouvons également souligner que le manuel scolaire ne sert pas uniquement de soutien aux apprentissages des élèves; il serait aussi une source importante de renseignement pour la personne enseignante dans sa préparation et sa planification, au point même qu’il se substituerait parfois aux programmes de formation lors de l’identification des contenus à enseigner (Spallanzani et al., 2001). Ces constats nous invitent à nous intéresser au contenu du manuel scolaire. Plusieurs études portent sur un aspect particulier du manuel de mathématique, comme la nature des problèmes algébriques qu’on y retrouve (Marchand et Bednarz, 1999; Cotnoir, 2010), ou encore l’utilisation des illustrations lors de la résolution de problème arithmétiques (Biron et Chaput, 2001). Tout en étant très pertinents, ces travaux ne donnent pas accès à un portrait complet des dispositifs mis en œuvre pour aborder un contenu mathématique particulier. C’est pourquoi nous avons décidé d'examiner un concept mathématique précis, soit la notation exponentielle qui, par ailleurs, a fait l’objet de peu de recherches (Cangelosi et al., 2013; Mullet et Cheminat, 1995; Pitta-Panzatti et al., 2007; Sastre et Mullet, 1998; Weber, 2002). Dans cette étude, nous voulons répondre à la question générale suivante : quel contenu retrouve-t-on dans les manuels scolaires de mathématiques québécois, de la 5e année du primaire à la 3e année du secondaire, en lien avec l’enseignement-apprentissage de la notation exponentielle? Pour ce faire, nous avons réalisé une analyse de contenu (Landry, 1997) en reprenant certains éléments de l’analyse thématique (Paillé et Mucchielli, 2010). Nous avons élaboré une grille d’analyse et un guide de codification qui nous ont permis d’observer le vocabulaire (Pierce et Fontaine, 2009) et le symbolisme (Bessot et Eberhard, 1982; Biron, 2012; Pimm, 1987, Roegiers, 1998a) employés dans les manuels scolaires en lien avec la notation exponentielle, à travers les définitions, les exercices et les problèmes (Gouvernement du Québec, 1988; Lakatos, 1984; Ouvrier-Buffet, 2006; Vinner, 1976, 1977, 2002; Wilson, 1990) qui y sont présentés. Les principaux résultats de cette étude mettent en évidence des aspects communs entre les collections et les cycles d'enseignement. Notamment, nous observons une concentration assez importante de l’information sur la notation exponentielle, souvent à l’intérieur d’une sous-section d’un même chapitre. Aussi, sur le plan du symbolisme (Pimm, 1987), il y a peu de mention explicite en lien avec la position et la taille relative de l’exposant par rapport à la base dans les définitions, si ce n'est que parfois par l’observation de cette convention dans les exemples. Ces mêmes exemples possèdent souvent des particularités qui peuvent entrainer une confusion dans la compréhension de la notation exponentielle, confusion qui peut être amplifié par une absence complète de contrexemple dans l’ensemble des définitions et des exercices (Wilson, 1990). Il apparait aussi que l’approche privilégiée pour l’appropriation de la notation exponentielle repose essentiellement, pour la grande majorité des collections, sur les exercices qui représentent près de la moitié des items analysés dans l’étude. Soulignons également que les problèmes proposés sont relativement variés quant aux contextes, mais sont presque tous à solution unique et à données complètes (Gouvernement du Québec, 1988). En ce qui a trait aux différences entre les collections et les cycles d'enseignement, notons que les définitions sont plutôt en mots pour l’amorce de l’enseignement-apprentissage de la notation exponentielle au primaire, alors qu’une présence accrue des définitions symboliques et en « mots et symboliques » apparait au secondaire. Aussi, les fonctions de ces exercices changent selon les cycles d’enseignement. Au primaire, ce sont les fonctions d'encodage, de décodage, de déduction d’une valeur manquante et de comparaison d’effet qui dominent. Au 1er cycle du secondaire, ce sont les fonctions de déduction d’une valeur manquante et de conjecture-vérification que nous retrouvons. Finalement, c’est la fonction de réduction qui est la plus présente au 2e cycle du secondaire.

Dans les dernières années, la didactique des mathématiques s’est intéressée aux pratiques enseignantes sans mettre les pratiques évaluatives au centre de leurs préoccupations. Pourtant, l’évaluation en mathématiques est une partie importante du travail des enseignantes et des enseignants du primaire qui sont appelés à déterminer les forces et les difficultés des élèves, particulièrement chez les élèves qui éprouvent des difficultés. Nous en savons donc très peu sur cette partie des pratiques enseignantes. Par ailleurs, des obstacles persistent pour les enseignantes et les enseignants concernant l’identification des élèves en difficulté en mathématiques puisqu’un flou persiste concernant la définition de ce qu’est un élève en difficulté. De plus, il est difficile d’identifier les sources d’erreurs des élèves puisqu’elles peuvent être multiples et que la posture de l’enseignante ou de l’enseignant peut influencer leur catégorisation. Ainsi, nous pouvons nous demander ce que sont les pratiques évaluatives en mathématiques auprès des élèves en difficulté dans un tel contexte. Afin de mener à bien ce questionnement sur les pratiques évaluatives en mathématiques, l’évaluation est associée à un processus, puis les pratiques évaluatives représentent les actions menées par l’enseignante ou l’enseignant durant ce processus et elles sont circonscrites à l’intérieur des pratiques enseignantes. Ce regard sur les pratiques évaluatives a permis de jeter les bases pour décrire et comprendre celles-ci par le biais de huit éléments d’analyse : 1) quelles sont les intentions de l’enseignante ou de l’enseignant qui guident cette évaluation? 2) Sur quel(s) objet(s) porte l’évaluation? 3) Quel moyen est utilisé? 4) À quel moment de l’apprentissage est réalisée l’évaluation? 5) Qui évalue l’élève? 6) Quelles sont les interactions durant la passation? 7) Comment sont traitées les données recueillies grâce à l’évaluation? 8) Quel jugement et quelle décision peuvent être émis à la suite de cette évaluation? Finalement, après une pré-analyse, ce cadre a été complété par l’apport de la temporalité et de l’effet de contrat qu’est l’effet Topaze. L’ensemble de ce cadre nous permet de répondre à notre objectif de recherche visant la description et la compréhension des pratiques évaluatives en mathématiques d’une enseignante œuvrant auprès d’élèves en difficulté. La nature exploratoire de cette recherche nous a menées à faire une étude de cas auprès d’une enseignante, Violetta, en adaptation scolaire et sociale évaluant sa classe dans trois champs des mathématiques (arithmétique, statistique et géométrie). À l’aide d’entrevues semi-dirigées pré-action et postaction et de séances d’observation en classe, nous avons pu faire une analyse de ses pratiques évaluatives au regard des éléments du cadre conceptuel. Il ressort de cette analyse que pour Violetta, la phase interactive de son processus d’évaluation est la plus marquante. En effet, elle intervenait beaucoup lors de la passation et ce, sans même que les élèves ne la sollicitent. Il semble que ses interventions sont portées par le désir que ses élèves mènent à bien la tâche d’évaluation. À ce propos, de nombreux effets Topaze ont été observés lors de la passation des différents outils d’évaluation et Violetta semble faire ce type d’effet pour, entre autres, individualiser ses interventions, tenter d’avoir accès à une partie des raisonnements de ses élèves et éviter leur perception d’échec. Cependant, cela semble contradictoire avec son intention de voir le niveau d’autonomie des élèves puisque celle-ci se retrouve grandement réduite par les effets Topaze. Les deux autres phases du processus d’évaluation, soit pré-active et postactive, ne semblent pas être les plus prépondérantes des pratiques évaluatives de Violetta. De plus, dans le cadre des pratiques évaluatives de Violetta, la temporalité semble être gérée parfois de manière hétérogène et parfois de manière homogène. À certains moments, les élèves pouvaient procéder à leur rythme lors de certaines passations, sans intervention de l’enseignante, alors qu’à d’autres moments, les interventions de Violetta poussaient les élèves à commencer et à terminer en même temps. En nous intéressant à un aspect des pratiques enseignantes que sont les pratiques évaluatives d’après un cadre de référence mixte (pédagogique et didactique), nous ouvrons la porte à une meilleure compréhension des pratiques enseignantes des enseignantes et des enseignants en mathématiques au primaire. Et d’une manière plus spécifique, nous avons documenté les pratiques évaluatives en mathématiques d’une enseignante dans le contexte particulier qu’est la classe d’adaptation scolaire et sociale au primaire. De plus, nous avons pu documenter la gestion de la temporalité par l’enseignante lors d’évaluations. Finalement, nous avons pu faire une analyse et une réflexion concernant l’effet Topaze lors des pratiques évaluatives en mathématiques de l’enseignante.

Dans le cadre de notre mémoire, nous avons comme objectif de décrire et de comprendre comment le contexte statistique, avec son caractère quasi-proportionnel, influence le raisonnement chez les élèves au 3e cycle du primaire. D'abord, nous développons quatre problèmes. En résolvant ces problèmes, les élèves d'une classe du 3e cycle du primaire fourniront un aperçu de leur raisonnement proportionnel et statistique et des stratégies qu'ils utilisent pour la résolution de ces tâches qui favorisent un traitement statistique ou proportionnel. Le chapitre 1 de notre mémoire sert à présenter la problématique de la recherche. Ensuite, le chapitre 2 concerne le cadre conceptuel et les questions spécifiques de la recherche. Le chapitre 3 expose les considérations de la méthodologie, notamment de la description des tâches, de l'analyse et du traitement des données. Par la suite, dans le chapitre 4, nous présentons et analyserons nos données. Finalement, dans les chapitres 5 et 6, la discussion des résultats sert à mettre en relation des principaux résultats de la présente recherche. Aussi, quelques pistes à poursuivre dans d'autres recherches sont suggérées.

Thèse numérisée par la Direction des bibliothèques de l'Université de Montréal.

Investi depuis 1972 dans une conception pédagogique de l'enseignement des mathématiques et de la statistique orientée par la philosophie éducative de la pédagogie Freinet, nous n'avons eu de cesse de questionner, chaque année scolaire ou universitaire davantage, notre action d'enseigner. Dès cette époque, pour enseigner les mathématiques et la statistique en lycée, nous avons tenté, de manière relativement pionnière, d'organiser des dispositifs pédagogiques qui intégraient les techniques et les instruments de la pédagogie Freinet. Ce travail pédagogique fut réalisé dans une permanente interaction, à la fois, avec les groupes d'étude de l'I.C.E.M. (Institut Coopératif de l'École Moderne), avec ceux des I.R.E.M. (Institut de Recherche sur l'Enseignement des Mathématiques) et enfin ceux qui, dans le cadre universitaire, étaient rattachés au champ de la didactique des mathématiques <br />L'organisation coopérative de la classe que nous proposions, visait à prendre en charge le développement de l'autonomie du sujet apprenant, au sein d'une communauté éducative (la classe) dans le contexte complexe d'un établissement scolaire (le lycée). Les dispositifs pédagogiques s'appuyaient sur des instruments tels que le journal de classe, le débat, les plans et bilans de travail, la réunion coopérative, la libre recherche mathématique et les documents autocorrectifs et auto-évaluatifs, que nous étions appropriés et que nous tentions d'adapter aux spécificités de l'enseignement des mathématiques et de la statistique en lycée.<br />Dans notre quête de compréhension de ce phénomène d'enseignement-apprentissage, la question de l'autocorrection et l'auto-évaluation en mathématiques et en statistique en lycée constitua notre principal axe d'investigation. C'est sur cette thématique que nous avons construit notre problématique de thèse de doctorat de 3ème cycle de didactique des mathématiques, dirigée par le Pr Georges Glaeser et soutenue à l'ULP de Strasbourg le 4 juillet 1983 sur le sujet de l'étude didactique d'un test autocorrectif en trigonométrie.<br />Nous avons alors poursuivi nos recherches et études en nous centrant à la fois sur la question de l'auto-évaluation et celle de l'apprentissage fondé sur le tâtonnement expérimental de l'apprenant, dans l'enseignement des mathématiques et de la statistique en lycée puis à l'université.<br />La reconstruction de notre parcours intellectuel à laquelle nous a amené l'écriture de la note de synthèse, a fait ressortir une thématique forte intégrant ces questions. Il s'agit de celle de l'instrumentation et de l'autonomisation du sujet apprenant, processus que l'enseignant cherche à stimuler par son action d'enseignement. Toutefois, le titre ne les désigne pas directement, mais il vise à attirer l'attention sur les processus d'autocorrection et d'auto-évaluation, un des points forts de notre ingénierie pédagogique . Dans une certaine mesure, les questions sous-jacentes furent : Comment dans les contextes scolaire et universitaire, l'enseignant peut-il agir pour permettre au sujet à la fois d'apprendre les contenus qu'il a désignés, et de développer son autonomie à l'égard du maître ou de ses substituts dans l'acte même d'apprendre les mathématiques et la statistique ? Pourquoi et dans quel but cherche-t-il à agir ainsi ? Ces questions se fondent sur de nombreux facteurs que nous avons cherché à expliciter. L'un d'eux repose sur le parti pris que le maître a un rôle à jouer dans le faire apprendre, et que cette part du maître est aussi à chercher dans le guidage et dans l'accompagnement. Qui plus est, nous plaçons la question de l'autonomie du sujet apprenant dans une finalité éducative des formations en mathématiques et en statistique que nous désignons par éducation mathématique et éducation statistique.<br />Les sujets avec lesquels nous avons travaillé, sont des adolescents et des adultes, c'est à dire des sujets ayant déjà parcouru une longue histoire personnelle de plus d'une quinzaine d'années. Pour ceux-ci, la conception piagétienne des stades conduirait à postuler l'accomplissement de leur développement mental au stade supérieur de la maîtrise des opérations formelles.<br />Notre conduite de praticien-chercheur fut d'une certaine façon déterminée par un paradigme selon lequel (de Peretti 1982) « la recherche-action et l'analyse des pratiques impliquent de lier constamment la formation au terrain professionnel : il faut envisager la formation des enseignants et de leurs formateurs selon un axe qui relie fortement la théorie à la pratique, à la recherche, à la didactique des disciplines et au vécu des élèves, dans un va-et-vient où le terrain nourrit la théorie et où l'élaboration théorique éclaire le travail sur le terrain » Nous présentons notre propos en deux temps. <br />Le premier est centré sur un itinéraire intellectuel entre la conviction militante de l'enseignant et le doute scientifique du chercheur dans le champ de l'enseignement des mathématiques et de la statistique, préoccupé des questions liées à l'autocorrection, l'auto-évaluation, l'instrumentation, la conceptualisation et l'autonomisation.<br />Le second est articulé :<br />• rétrospectivement, sur une thématique intégrant les questions précédentes et la préoccupation du praticien et du chercheur, à savoir celle de la formation à et par l'autonomie des sujets apprenants en mathématiques et en statistique dans les contextes scolaire et universitaire, conçue comme une opérationnalisation pédagogique et didactique des processus d'instrumentation, de conceptualisation et d'autonomisation. <br />• prospectivement, sur un questionnement ouvert sur la contribution au développement de deux domaines connexes, à savoir celui de la pédagogie et de la didactique de la statistique, et celui des nouvelles technologies de l'information et de la communication appliquées à la formation, à l'éducation et à la recherche dans le domaine des sciences de l'éducation, en ce qu'elles fournissent des instruments d'aide à l'analyse, au traitement et à l'interprétation des informations, mais aussi en ce qu'elles sont à la fois des objets et des instruments de formation et d'éducation.<br /><br />Enfant, né quelque part... , nous avons parcouru un chemin qui nous a conduit vers l'enseignant-chercheur dont Jean-Claude Gillet, dans une approche praxéologique, parle en ces termes (Gillet 1998b p.27) « un professionnel de la formation et de la recherche universitaire amené à prendre des décisions multiples pour construire un modèle pédagogique qui intègre pensée et action, valeurs et intentions, sens et efficacité, acteur au service d'autres acteurs, les sujets en formation qui seront (sont) eux aussi à leur tour amenés à prendre des décisions, à les penser ... »<br />A posteriori, notre conduite d'enseignant s'est progressivement inscrite dans un schéma proche de celui décrit par Donald A. Schön, (Schön 1994 p.94) « Quand quelqu'un réfléchit sur l'action, il devient un chercheur dans un contexte de pratique. Il ne dépend pas des catégories découlant d'une théorie et d'une technique préétablies mais il édifie une nouvelle théorie du cas particulier. Sa recherche ne se limite pas à une délibération sur les moyens qui dépendent d'un accord préalable sur les fins. Il ne maintient aucune séparation entre la fin et les moyens, mais définit plutôt ceux-ci, de façon interactive, à mesure qu'il structure une situation problématique. Il ne sépare pas la réflexion de l'action, il ne ratiocine pas pour prendre une décision qu'il lui faudra plus tard convertir en action. Puisque son expérimentation est une forme d'action, sa mise en pratique est inhérente à sa recherche. Ainsi la réflexion en cours d'action et sur l'action peut continuer de se faire même dans des situations d'incertitude ou de singularité, parce que cette réflexion n'obéit pas aux contraintes des dichotomies de la science appliquée . » <br />Questionner notre action d'enseigner a requis l'inscription de nos thématiques et problématiques dans le champ de la didactique des mathématiques et de la statistique ainsi que dans celui de la pédagogie, dans la mesure où comme l'écrivent Michel Develay et Jean-Pierre Astolfi (Astolfi, JP, Develay, M. 1989) « La réflexion didactique permet (...) de traduire en actes pédagogiques une intention éducative. (...) L'enseignant [est] alors un éternel artisan de génie qui doit contextualiser les outils que lui propose la recherche en didactique en fonction des conditions de ses pratiques . »<br />Ce questionnement nous entraîna vers une profusion de notions pour expliciter notre praxis. Nonobstant, dès le début, les notions d'autocorrection, d'auto-évaluation et d'apprentissage fondé sur le tâtonnement expérimental émergèrent et constituèrent les principaux objets de nos recherches. Les résultats qui sortirent de nos investigations, apportèrent quelques éclairages dans le cadre de la didactique et de la pédagogie des mathématiques et de la statistique. Nous avons explicité un modèle d'organisation d'une séquence d'enseignement-apprentissage intégrant en particulier ces processus, ainsi que notre instrument d'analyse des situations d'enseignement-apprentissage que nous nommons le triangle pédagogico-didactique complexifié. Nous avons essayé de mieux cerner les notions d'esprit statistique et d'éducation statistique en rapport aux instruments intellectuels visés par l'enseignement et dont l'interprétation statistique en constitue un point fort.<br />Après-coup nous avons pu systématiser ces notions en les emboîtant à la façon des poupées gigognes et de manière intégrative, autour d'un pôle constitué par l'autonomie du sujet apprenant. Pour en rendre compte, nous recourons au schéma suivant qui replace le processus d'autonomisation et l'autonomie du sujet comme une finalité de l'élévation des niveaux de conceptualisation et de formation dans le domaine des mathématiques et de la statistique que nous avons présenté.<br /> <br />Figure : De la formation en statistique à l'autonomie du sujet<br />Certes nous mesurons combien de questions dont l'ancrage est tout banalement dans la situation habituelle de l'enseignement des mathématiques et de la statistique, demeurent en suspens. <br />Nous avons tenté de situer nos travaux d'étude à la fois dans une approche praxéologique de l'action d'enseigner, et dans celle d'une épistémologie des savoirs scolaires constitués par les mathématiques et la statistique, pour mieux comprendre les enjeux d'une formation à et par l'autonomie des sujets apprenants dans les contextes scolaire et universitaire en mathématiques et statistique et les obstacles à surmonter tant du point de vue de l'enseignant que de celui de l'apprenant.<br />Nous avons aussi essayé de montrer comment dans notre conception de l'enseignement et de la formation en mathématiques et en statistique pour des étudiants de sciences de l'éducation ont ré-émergé les (N).T.I.C. <br />Certes, nous avons conscience de l'extrême modestie de notre apport à la compréhension et à l'instrumentation de l'action d'enseigner, centrée sur l'autonomisation du sujet apprenant en milieu scolaire ou universitaire. Néanmoins, nous souhaitons que nos réflexions puissent susciter des travaux de recherche, dans le cadre des sciences de l'éducation, dont l'ambition soit de contribuer au progrès de la connaissance relative à l'enseignement des mathématiques et de la statistique.

En élaborant le présent mémoire, nous avons cherché à mieux comprendre comment se développe la notion de preuve dans le cheminement d'apprentissage d'un élève du secondaire. Dans cette optique, nous avons d'abord fait le point sur notre propre expérience d'enseignement et sur nos réflexions personnelles, suscitées entre autres par deux expérimentations conduites par nous dans le cadre du cours d'Initiation à la recherche en didactique des mathématiques. Nous avons ensuite cherché à retracer quels objectifs des programmes du MEQ se rapportent à l'apprentissage de la preuve, et que suggèrent ces programmes pour que ces objectifs soient atteints. Nous avons pu constater que cet apprentissage y passe avant tout par l'étude de la géométrie. La lecture de deux articles de R. Thom et R. Bkouche nous a permis de mieux cerner les liens privilégiés entre géométrie et apprentissage de la preuve. Ceux-ci sont profonds, incontournables, entre autres parce que les concepts et raisonnements géométriques occupent une position charnière entre le « sensible » et le « formel ». Nous avons alors arrêté l'objet précis de notre étude : l'apprentissage de la preuve, tel que véhiculé par les problèmes de géométrie synthétique, dans une collection du secondaire. Dans le but d'élaborer une grille d'analyse, nous avons dégagé la notion de « schéma de bipolarisation » des réflexions sur la preuve d'É. Barbin, de G. Hanna, G. Brousseau, N. Balacheff et N. Rouche. À partir des schémas de bipolarisation suggérés par leurs travaux, nous avons édifié notre propre typologie des preuves et par suite, notre grille d'analyse des problèmes. Après une classification des problèmes de la collection à l'étude selon cette grille, nous avons interprété et analysé cette classification, pour conclure sur les aspects de l'apprentissage de la preuve que nous évaluons comme mal « gérés » dans la collection : transition non suffisamment graduelle du sensible au formel (très peu de problèmes qui sollicitent une validation hybride, niveau de formalisation trop longtemps stationnaire, rôle ambigu de la géométrie des transformations dans le processus de formalisation, etc.), prépondérance des applications directes et des déductions locales sur les séquences déductives, intérêt et mode de présentation des résultats qui ne favorisent pas une « attitude de preuve », etc.

Mémoire numérisé par la Direction des bibliothèques de l'Université de Montréal.

Thèse numérisée par la Direction des bibliothèques de l'Université de Montréal.

Dans notre recherche nous nous intéressons à la gestion de l’hétérogénéité des apprentissages des élèves d’une même classe ainsi que sur la différenciation dans l’enseignement dans le domaine du calcul algébrique, en fin de scolarité obligatoire en France. Ces questions ont fait l’objet de plusieurs recherches notamment dans le domaine de la sociologie (Bourdieu, 1966), les sciences de l’éducation (Perrenoud, 1989, 1991 ; Przesmycki, 1991 ; Caron, 2003 ; Sarrazy, 2007) ainsi que dans le domaine de la didactique des mathématiques (Charnay, 1995 ; Grugeon, 1997 ; Castela, 2007 ; Pilet, 2012). Ils constituent depuis quelques années deux thèmes d’actualité dans l’enseignement secondaire français. Les différentes recherches soulignent le fait que les enseignants se trouvent démunis face à leur difficulté à faire progresser les élèves. Deux raisons nous amènent à nous intéresser à ces thèmes. D’une part, le constat du désarroi des enseignants dans la gestion des difficultés croissantes des élèves (dont nous même, en tant qu’enseignante dans un collège classé REP, sommes confrontée) et, d’autre part, les résultats du système scolaire français en termes de connaissances et compétences des élèves aux évaluations nationales et internationales, notamment dans le domaine mathématique. L’enjeu de notre recherche est d’étudier les évolutions des pratiques de différenciation dans l’enseignement en calcul algébrique, à l’aide de ressources dont la pertinence cognitive et épistémologique a été soulignée dans les recherches de Pilet (2012) et d’un travail collaboratif entre enseignants et chercheurs dans le cadre d’un groupe IREM intitulé « Différenciation dans l’enseignement de l’algèbre ». / In our research, we are interesting in the management of the heterogeneity of students learning of the same class, and in the differentiation of teaching in the field of algebraic calculations,in the end of compulsory schooling in France. These questions have been the subject of several studies especially in the field of sociology (Bourdieu 1966), Science Education (Perrenoud, 1989, 1991; Przesmycki, 1991; Caron, 2003; Sarrazy, 2007) and in the field of mathematics education (Charnay, 1995; Grugeon, 1997; Castela , 2007; Pilet, 2012). Since recent years, they constitute two news topics in French secondary education. The different research highlights the fact that teachers are in difficulty to advance students. Two reasons lead us to focus on these themes. On one hand, the finding of confusion for teachers in managing the growing difficulties of students, and, on the other hand, the results of the French school system in terms of knowledge of students in national and international evaluations, particularly in the mathematical field. The aim of our research is to study the evolution of differentiation practices in teaching algebra, using resources whose cognitive and epistemological relevance has been highlighted in Pilet’s researches (2012) and a collaborative work between teachers and researchers as part of IREM group entitled « Differentiation in teaching algebra »

Notre étude consiste à modéliser les connaissances des élèves de collège émanant d'activités de transformations d'expressions algébriques. Elle se base sur les traces des actions des élèves recueillies dans l'environnement informatique Aplusix. L'élève-utilisateur transforme librement des expressions algébriques, selon une consigne, en autant de pas de calcul qu'il le souhaite. La mise en place d'une bibliothèque de règles algébriques, correctes ou erronées, et d'un algorithme de diagnostic, utilisant une heuristique qui prend en compte la syntaxe et la sémantique des expressions transformées et dont la pertinence est validée, permet d'associer aux activités d'un élève une liste de ces règles, pondérées d'un coefficient d'utilisation, constituant une représentation du travail effectué. Le modèle de praxéologie-en-acte proposé pour décrire les connaissances met l'accent sur le décalage qui existe entre les techniques-en-acte utilisées par les élèves et celles préconisées et attendues par l'institution scolaire. Ce modèle permet aussi de décrire la stabilité et la persistance éventuelle de l'utilisation de ces techniques face à des expressions algébriques similaires, aussi bien dans un groupe d'élèves que chez un même élève. L'étude automatisée de milliers de pas de calcul provenant de pays différents sur trois niveaux scolaires, diagnostique la présence importante de praxis-en-acte inter-élèves, justifiées par la mobilisation de technologies-en-acte, et d'une faible proportion de praxis-en-acte intra-élève.