Thèse numérisée par la Direction des bibliothèques de l'Université de Montréal.

L'enseignement des équations différentielles privilégie l'approche algébrique, malgré l'existence des approches numérique et qualitative. Dans l'approche algébrique le lien entre les registres symbolique et graphique est quasi inexistant, et il passe éventuellement par l'expression symbolique des solutions. En revanche, l'approche qualitative requiert d'une interaction forte entre ces registres, ce qui demande la mobilisation de connaissances de divers cadres : fonctions, géométrie analytique, analyse, etc. Cette interaction nécessite des raisonnements sur des fonctions dont on ne connaît pas l'expression symbolique. Les efforts actuels pour changer le paradigme algébrique dominant font appel aux outils informatiques. Or, des logiciels comme Cabri Géomètre permettent de créer des contextes d'exploration de phénomènes graphiques liés aux équations différentielles. Notre étude porte sur les difficultés des étudiants de CAPES à construire des liens entre les registres graphique et symbolique, ainsi que les apports du logiciel pour développer ces liens. Au chapitre 1, nous passons en revue quelques travaux de référence. A l'aide de certains outils théoriques, nous clarifions la problématique pour articuler ces registres. Puis, nous étudions les potentialités du logiciel pour l'étude des équations différentielles. Au chapitre 2, nous présentons le dispositif expérimental conçu pour vérifier nos hypothèses. Nous consacrons ensuite deux chapitres à l'étude des expériences réalisées. Au chapitre 5, nous tirons un bilan de ces expériences et nous exposons les difficultés rencontrées par les étudiants, ainsi que les apports du logiciel. Enfin, nous concluons en revenant sur les questions initiales, et sur les éléments de réponse, avant de proposer les perspectives de notre travail.

Notre étude s'est construite à partir du constat que la multiplication est un objet mathématique complexe dans ses dimensions épistémologique et cognitive. Le fait que les représentations géométriques puissent favoriser la mise en évidence de significations d'un objet mathématique nous a conduits à la recherche d'une géométrisation de la multiplication pour différents ensembles de nombres. Pour étudier le rapport entre cet objet mathématique complexe -- la multiplication -- et la construction de son sens par les élèves, nous avons conçu des séances expérimentales menées dans des collèges et lycées français. Cette étude expérimentale nous a permis d'analyser en profondeur la maîtrise que les élèves manifestent ou, au contraire, les obstacles qu'ils rencontrent dans un travail mathématique qui nécessite, notamment des changements de cadres et de registres de représentation sémiotique. Les données issues de nos séances expérimentales ont été analysées à l'aide d'une articulation entre différentes approches théoriques. La notion d'Espace de Travail Mathématique et ses genèses permet de rendre compte de la complexité du travail mathématique des élèves. Pour étudier le travail collaboratif entre élèves et le rôle de l'enseignant dans le processus de médiation culturelle, nous avons intégré la médiation sémiotique et la construction sociale des connaissances. L'articulation théorique produite nous a permis de décrire plus finement les relations entre les plans épistémologique et cognitif de l'ETM. Nous arrivons finalement à l'identification et l'analyse de parcours d'individus résultant des interactions produites à l'intérieur d'un Espace de Travail Mathématique.

Au niveau postsecondaire, les concepts mathématiques avancés seraient des concepts difficiles à appréhender pour beaucoup d’étudiants. Le concept de série fait partie de ces concepts avancés que les étudiants rencontrent pour la première fois de façon formelle dans leurs études postsecondaires (au niveau collégial, Cégep, dans le contexte québécois). Ce concept a un très grand nombre d’applications et ce, aussi bien en mathématiques que dans le domaine scientifique. Cependant, sa complexité propre et sa nature contre-intuitive font qu’il est très difficile à appréhender par certains étudiants. Parmi les difficultés d’appréhension, dans un grand nombre de cas, on peut trouver la conception que la somme d’une infinitude de termes donnera une quantité qui ne peut être qu’infiniment grande. Étant donné l’importance et la complexité de ce concept, on pourrait s’attendre à ce qu’il soit pris en compte avec une grande attention par la recherche. Cependant, notre recension d’écrits montre qu’il y a très peu d’études centrées sur le concept de somme infinie. Dans ce mémoire, nous allons présenter des résultats d’une analyse effectuée sur dix-sept manuels utilisés dans les Cégeps du Québec. Les résultats de cette analyse nous ont permis de prendre conscience que les manuels utilisés par l’enseignement actuel font rarement usage du registre graphique et que le registre algébrique est souvent privilégié. Ainsi, la plupart des manuels utilisés dans les Cégeps utilisent rarement les représentations visuelles qui pourraient être un outil important pouvant contribuer dans une appréhension complète du concept de série et les graphiques sont pratiquement absents dans tous les exercices et problèmes que ces manuels proposent. Par ailleurs, les résultats de notre recherche montre que les applications mathématiques et extramathématiques sont rares, et ce, bien que les sommes infinies soient un concept essentiel dans l’introduction d’autres concepts mathématiques et qu’elles permettent de modéliser plusieurs phénomènes. De plus, parmi le peu d’applications extramathématiques qui apparaissent dans les dix-sept manuels, beaucoup sont peu utiles à l’appréhension du concept en question étant donné que celles-ci sont artificielles (applications difficiles à réaliser dans la vie quotidienne). Enfin, nos résultats de recherche nous révèlent que le contenu des manuels en lien avec le concept de série mériterait d’être réajusté afin de permettre aux étudiants une meilleure appréhension de ce concept. / At the post high school level, advanced mathematical concepts are difficult to grasp for many students. The series concept is one such advanced concept that students meet for the first time formally in their postsecondary studies (Cégep in the Québec context). This concept has a very large number of applications both in mathematics and in science. However, its own complexity and nature against-intuitive make it very difficult to understand by some students. Among the difficulties to apprehend it, in many cases, we can find the idea that the sum of an infinite number of terms will give a quantity which will necessarily be infinitely large. Given the importance and complexity of this concept, one might expect it to be considered with great attention by the research. However, our literature review shows that there are very few studies focusing on the concept of infinite sum. In this Masters thesis, we will present the results of an analysis carried out on seventeen textbooks used in Cégeps in Quebec. The results of this analysis have allowed us to realize that the textbooks used by the current education rarely make use of the graphic register and that the algebraic register is often favored. Thus, most of the textbooks used in Cégeps rarely use visual representations that could be an important tool that can contribute to a comprehensive understanding of the concept of series and graphics are virtually absent in all the exercises and problems that these books offer. Furthermore, the results of our research show that mathematical and extramathematical applications are scarce, although infinite sums are a key concept in the introduction of other mathematical concepts and they allow modeling several phenomena. Moreover, among the few extramathematical applications that appear in the seventeen textbooks, many are of little use to the understanding of the concept in question since they are artificial (difficult applications to perform in daily life). Finally, our research results reveal that the content of textbooks in connection with the concept of series deserves to be readjusted to allow students a better understanding of this concept.