FERREIRA, Rogelma Maria da Silva. Teoria de escala para processos assintóticos em difusão anômala. 2012. 73 f. Tese (Doutorado em Física) - Programa de Pós-Graduação em Física, Departamento de Física, Centro de Ciências, Universidade Federal do Ceará, Fortaleza, 2012. / Submitted by Edvander Pires (edvanderpires@gmail.com) on 2015-06-09T18:49:19Z No. of bitstreams: 1 2012_tese_rmsferreira.pdf: 1421232 bytes, checksum: 1a44a40cc55bd5a026c80ba12c2936d2 (MD5) / Approved for entry into archive by Edvander Pires(edvanderpires@gmail.com) on 2015-06-11T17:51:04Z (GMT) No. of bitstreams: 1 2012_tese_rmsferreira.pdf: 1421232 bytes, checksum: 1a44a40cc55bd5a026c80ba12c2936d2 (MD5) / Made available in DSpace on 2015-06-11T17:51:04Z (GMT). No. of bitstreams: 1 2012_tese_rmsferreira.pdf: 1421232 bytes, checksum: 1a44a40cc55bd5a026c80ba12c2936d2 (MD5) Previous issue date: 2012 / Neste trabalho estudamos processos assintóticos em difusão anômala utilizando o formalismo de Mori e generalizamos o conceito de expoente de difusão. Propomos um método para obter o coeficiente de difusão analiticamente através da introdução do fator de escala λ(t). Obtemos uma expressão exata para λ(t) para todos os tipos de difusão. Além disso, mostramos que no limite assintótico λ(t) é um parâmetro universal determinado pelo expoente de difusão. Os resultados foram comparados com cálculos numéricos e apresentaram boa concordância. O método é geral e pode ser aplicado em diversos tipos de fenômenos estocásticos.

Made available in DSpace on 2014-06-12T18:06:27Z (GMT). No. of bitstreams: 2 arquivo7738_1.pdf: 1254298 bytes, checksum: 9d688e6cc529684dc105fff0e374570e (MD5) license.txt: 1748 bytes, checksum: 8a4605be74aa9ea9d79846c1fba20a33 (MD5) Previous issue date: 2006 / Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico / Sólidos consolidados são largamente utilizados na indústria, onde o transporte de água e/ou outros líquidos têm um papel importante na eficiência de muitos dos processos industriais. Alguns exemplos desses materiais sólidos são caulim, alumina e zeólita. Em particular, as zeólitas têm muitas aplicações na indústria petroquímica. Devido a sua porosidade em várias escalas de comprimento ela é utilizada como suporte em reações catalíticas e como peneiras moleculares. A maioria dos estudos de transporte de água em zeólitas é conduzida em meios saturados com vapor. Diferentemente, nesta investigação estamos interessados em estudar o transporte de água líquida, no regime difusivo, em sólidos consolidados de zeólita em pó. A difusão da água, nestes sistemas, pode ser medida de forma direta ou indireta, e tem várias escalas de comprimento, usando-se técnicas de ressonância magnética nuclear (RMN). Neste estudo conduzimos vários experimentos onde amostras de zeólitas foram colocadas diretamente em contato com um reservatório de água. O ingresso da água nas amostras foi acompanhado através da obtenção de imagens por ressonância magnética nuclear (IRM). A análise de perfis de concentração de água em função do comprimento de penetração no sólido, em vários instantes de tempo, indica que o ingresso da água é um processo subdifusivo, a chamada difusão anômala, com vários graus de subdifusão, aparentemente, dependente do protocolo de secagem de amostras reutilizadas. Numa análise baseada em um modelo de difusão com derivada temporal fracionária, discutiremos os possíveis mecanismos que conduzem à subdifusão da água nestes sistemas

Métodos de suavização através de processos de difusão é frequentemente utilizado como etapa prévia em diferentes procedimentos em imagens. Apesar da difusão anômala ser um processo físico conhecido, ainda não é aplicada à suavização de imagens como a difusão clássica. Esta dissertação propõe e relata a implementação e avaliação de filtros de difusão anômala, tanto isotrópico quanto anisotrópico, como um método de melhoramento em imagens ponderadas em difusão (DWI) e imagens de tensor de difusão (DTI) dentro do imageamento por ressonãncia magnética (MRI). Aqui propõe-se generalizar a difusão anisotrópica e isotrópica com o conceito de difusão anômala em processamento de imagens. Como metodologia implementou-se computacionalmente as equações de difusão bidimensional e aplicou às imagens MRI para avaliar o seu potencial como filtro de melhoramento. Foram utilizadas imagens de ressonância magnética de aquisição DTI em voluntários saudáveis. Os resultados obtidos neste estudo foram a verificação que métodos baseados em difusão anômala melhoram a qualidade em processamento das imagens DTI e DWI quando observadas medidas de qualidade como a relação sinal ruído (SNR) e índice de similaridade estrutural (SSIM), e assim determinou-se parâmetros ótimos para as diferentes imagens e situações que foram avaliadas em função dos seus parâmetros de controle, em especial o parâmetro anômalo, chamado de q. Os resultados apresentados aqui permitem prever não apenas uma melhora na qualidade das imagens DTI e DWI resultantes do processamento proposto, como também possível redução de repetições na sequência de aquisição de MRI para um SNR predeterminado. / Smoothing methods through diffusion processes is often used as a preliminary step in different procedures in images. Although the anomalous diffusion is a known physical process, it is not applied to image smoothing as the classical diffusion. This paper proposes and describes implementation and evaluation of anomalous diffusion filters, both isotropic and anisotropic, as a method of improving on diffusion-weighted images (DWI) and diffusion tensor images (DTI) within the magnetic resonance imaging (MRI). Hereby is proposed to generalize the isotropic and anisotropic diffusion with the concept of anomalous diffusion in image processing. The methodology is implemented computationally as bidimensional diffusion equations and applied to MRI images to evaluate its potential as a filter for quality improvement. We used DTI and DWI imaging to acquire from healthy volunteers as image set. The results of this study verified that methods based on anomalous diffusion improved DWI and DTI image processing when observed quality measures such as signal to noise ratio (SNR) and structural similarity index (SSIM), and determined filter optimal parameters for different images and situations evaluated in terms of their control parameters, particularly the anomalous parameter, called q. The results presented here can predict not only an improvement in the quality of DWI and DTI images resulting from the proposed method, and additionally the possible reduction of repetitions following acquisition of MRI for a predetermined SNR.

Submitted by Reginaldo Soares de Freitas (reginaldo.freitas@ufv.br) on 2017-08-21T13:15:00Z No. of bitstreams: 1 texto completo.pdf: 3928860 bytes, checksum: 8dedb83b8bd341b4e04fc3b3fb3dabcf (MD5) / Made available in DSpace on 2017-08-21T13:15:00Z (GMT). No. of bitstreams: 1 texto completo.pdf: 3928860 bytes, checksum: 8dedb83b8bd341b4e04fc3b3fb3dabcf (MD5) Previous issue date: 2017-03-03 / Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior / O estudo da matéria ativa tem atraído grande interesse na atualidade. Em especial, a chamada matéria “ativa viva” vem sendo largamente estudada em razão dos padrões e/ou interações que são responsáveis por orientar e coordenar diversos processos, tais como, a cicatrização de feridas, a formação de tumores, a aglomeração de bactérias/células, entre outros. Todos estes esforços visam compreender tais fenômenos emergentes e auto-organizados que poderão ser usados na prevenção e no combate de diversos males, no desenvolvimento de novos materiais, processos de produção de energia e transporte de ma- téria.O presente projeto de pesquisa teve como objetivo caracterizar quantitativamente a migração coletiva de células MDCK in vitro. Ele foi dividido em duas frentes de trabalho: a primeira consistiu em produzir e estudar amostras de células MDCK cultivadas com diversas densidades. A segunda frente de trabalho consistiu em simular alguns modelos teóricos, como o proposto por Vicsek et al. [1] e algumas de suas variações, afim de com- preender alguns dos resultados obtidos experimentalmente. A partir deste trabalho foi possível mostrar que células MDCK em cultura podem exibir uma caminhada anômala, levando a um regime de difusão que passa por estágio subdifusivos e superdifusivos, em alguns casos esta mudança ocorria em mais de uma vez. Além disso, podemos observar que em algumas densidades as velocidades das células só se correlacionam para pequenas distâncias, uma vez que elas tendem a formar aglomerados com poucas células, em sua grande maioria duas células. A partir de modelos simples foi possível obter alguns resultados semelhantes aos experimentais, como por exemplo, uma distribuição de velocidade tipo q-weibull, com correlação de velocidade somente entre vizinhos próximos. / The study of active matter has attracted great interest in the present time. In particular, the so-called “living active” matter has been widely studied because of the patterns and/or interactions that are responsible for guiding and coordinating various processes, such as wound healing, tumor formation and aggregation of bacteria/cells, among others. All these efforts are aimed at understanding such emerging and self-organized phenomena that can be used in the prevention and combat of various pathologies, in the development of new materials or processes of energy production and transport of matter.The present research project aimed to quantitatively characterize the collective migration of in vitro MDCK cells. It was divided into two work fronts: the first consisted of producing and studying samples of MDCK cells cultured at various densities. The second work front was to simulate some theoretical models, such as that proposed by Vicsek et al. [1], and some of its variations, to understand part of the results obtained experimentally.From this work was possible to show that MDCK cells in culture can exhibit an anomalous motility, leading to a diffusion regime that undergoes subdifusive and superdiffusive stages and that in some cases, inter changed between then more than once. Furthermore, we can observe that in some densities the cell velocities only correlate to small distances, since they tend to form agglomerates with few cells, mostly two cells. From simple models it was possible to obtain some results similar to the experimental ones. For example, q-Weibull speed distributions, with velocity correlations only between close neighbors were generated.

Métodos de suavização através de processos de difusão é frequentemente utilizado como etapa prévia em diferentes procedimentos em imagens. Apesar da difusão anômala ser um processo físico conhecido, ainda não é aplicada à suavização de imagens como a difusão clássica. Esta dissertação propõe e relata a implementação e avaliação de filtros de difusão anômala, tanto isotrópico quanto anisotrópico, como um método de melhoramento em imagens ponderadas em difusão (DWI) e imagens de tensor de difusão (DTI) dentro do imageamento por ressonãncia magnética (MRI). Aqui propõe-se generalizar a difusão anisotrópica e isotrópica com o conceito de difusão anômala em processamento de imagens. Como metodologia implementou-se computacionalmente as equações de difusão bidimensional e aplicou às imagens MRI para avaliar o seu potencial como filtro de melhoramento. Foram utilizadas imagens de ressonância magnética de aquisição DTI em voluntários saudáveis. Os resultados obtidos neste estudo foram a verificação que métodos baseados em difusão anômala melhoram a qualidade em processamento das imagens DTI e DWI quando observadas medidas de qualidade como a relação sinal ruído (SNR) e índice de similaridade estrutural (SSIM), e assim determinou-se parâmetros ótimos para as diferentes imagens e situações que foram avaliadas em função dos seus parâmetros de controle, em especial o parâmetro anômalo, chamado de q. Os resultados apresentados aqui permitem prever não apenas uma melhora na qualidade das imagens DTI e DWI resultantes do processamento proposto, como também possível redução de repetições na sequência de aquisição de MRI para um SNR predeterminado. / Smoothing methods through diffusion processes is often used as a preliminary step in different procedures in images. Although the anomalous diffusion is a known physical process, it is not applied to image smoothing as the classical diffusion. This paper proposes and describes implementation and evaluation of anomalous diffusion filters, both isotropic and anisotropic, as a method of improving on diffusion-weighted images (DWI) and diffusion tensor images (DTI) within the magnetic resonance imaging (MRI). Hereby is proposed to generalize the isotropic and anisotropic diffusion with the concept of anomalous diffusion in image processing. The methodology is implemented computationally as bidimensional diffusion equations and applied to MRI images to evaluate its potential as a filter for quality improvement. We used DTI and DWI imaging to acquire from healthy volunteers as image set. The results of this study verified that methods based on anomalous diffusion improved DWI and DTI image processing when observed quality measures such as signal to noise ratio (SNR) and structural similarity index (SSIM), and determined filter optimal parameters for different images and situations evaluated in terms of their control parameters, particularly the anomalous parameter, called q. The results presented here can predict not only an improvement in the quality of DWI and DTI images resulting from the proposed method, and additionally the possible reduction of repetitions following acquisition of MRI for a predetermined SNR.

Passeio aleatório é uma classe de modelos matemáticos que têm por objetivo descrever processos estocásticos cujo resultado observável é dado por uma soma de variáveis aleatórias. O termo foi cunhado em 1905 pelo estatístico inglês Karl Pearson, estando na época interessado na modelagem da migração de insetos, e hoje possui uma ampla gama de aplicações, indo desde a biologia, passando pela física e química, e chegando na economia. Tendo sido estudado por inúmeros cientistas, muitas variações surgiram, chegando aos passeios aleatórios correlacionados, processos estocásticos não-Markovianos nos quais as variáveis aleatórias que se somam, chamadas de passos, possuem dependências umas com as outras, com correlações de caudas longas. Em 2004, surge na literatura o passeio aleatório do elefante, um passeio aleatório correlacionado com um mecanismo microscópico de memória de longo alcance muito bem definido e com soluções analíticas. Além desses dois fatos, também despertou o interesse da comunidade científica por exibir superdifusão. Muitas variações desse modelo foram propostas e vários resultados foram obtidos nos anos que se seguiram. A presente dissertação contem uma compilação dos principais modelos e resultados da área, tentando ser um texto introdutório ao assunto, focando sempre no que diz respeito à difusão. No caso unidimensional, propomos uma generalização desse tipo de passeio aleatório, o qual envolve decisões probabilísticas com respeito a passos lembrados do passado. Já no caso multi-muldimensional, apresentamos o conceito de acoplamento de memória e o modelo de Vaca e Boi, introduzidos pelo autor deste trabalho em 2018, como uma maneira de incluir interações entre elefantes. Também obtivemos um limite do contínuo para esse último processo, permitindo calcular os regimes de difusão para o Boi e construir um diagrama de fases para o mesmo. Esses últimos pontos constituem as principais contribuições do presente trabalho. / Random walk is a class of mathematical models which has the objective of describing a stochastic process whose observable result is given by a sum of aleatory variables. The term was coined in 1905 by the english statistician Karl Pearson while he was interested in the insects migration modeling, but today it has a myriad of applications, from biology to stock markets, passing through physics and chemestry. It has been studied by an uncountable number of scientists and a lot of variations have appeared, including those called correlated random walks, which are stochastic non-Markovian process in which those random variables that are summed, called steps, depends one of each other with fat tails correlations. In 2004, the elephant random walk appeared in the literature. It is a correlated random walk with a microscopic well defined memory mechanism and that has analitical solutions. Besides these facts, it also arouse the interest of scientific community because it exhibits superdifusion behaviour. In the one-dimensional case, we propose a generalization of this kind of random walk, which involves probabilistic decisions with respect to remembered steps given in the past. In the multi-dimensional case, we present the concept of memory coupling and the Cow and Ox model, which were introduced by the author of this work in 2018 as a manner of including interactions among elephants. We have also obtained a continuum limit of this process, allowing us to calculate the Ox diffusion regimes and to build its phase diagram. These last points constitute the main contributions of the present work.

Submitted by Viviane Lima da Cunha (viviane@biblioteca.ufpb.br) on 2017-04-20T10:31:04Z No. of bitstreams: 1 arquivototal.pdf: 26930982 bytes, checksum: ae6837214d99c5f461c95a6f7825e116 (MD5) / Made available in DSpace on 2017-04-20T10:31:04Z (GMT). No. of bitstreams: 1 arquivototal.pdf: 26930982 bytes, checksum: ae6837214d99c5f461c95a6f7825e116 (MD5) Previous issue date: 2016-11-28 / Conselho Nacional de Pesquisa e Desenvolvimento Científico e Tecnológico - CNPq / Presented in this dissertation, a new formulation and general diffusion model with retention, recently introduced by Bevilacqua et al., where the resulting equation is a fourth order partial differential equation (PDE-partial differential equation). Besides, in this model the retention term is associated with higher-order term of the PDE, and can be interpreted as a small perturbation of a pure diffusion phe¬nomenon, taking into account the different orders of magnitude in their parameters, as is generally observed in experimental data. This approach allowed the proposal of an asymptotic expansion for the fourth-order PDE, where we obtain three terms coupled (pure diffusion) plus a small remaining term, which may be despised, allowing closer to the numerical solution of the anomalous diffusion for a space of fundamental solutions of the type method Kansa (KMFS), considering the funda¬mental solution of the diffusion operator. In particular, this work will be presented some numerical results of application of MFS in diffusion problems with retention where we will perform a sensitivity analysis of its parameters, which will aid in the discussion of the feasibility of proposed methodology. / Apresenta-se, nesta dissertação, uma formulação nova e geral para um modelo de difusão com retenção, recentemente introduzida por Bevilacqua et al., onde a equação resultante é uma equação diferencial parcial (PDE - partial differenüal equaüon) de quarta ordem. Além disso, nesse modelo o termo de retenção está associado ao termo de ordem superior da PDE, podendo ser interpretado como uma pequena perturbação singular de um fenômeno de difusão pura, levando-se em conta as diferentes ordens de grandeza nos respectivos parâmetros, como geralmente é observado nos dados experimentais. Esta abordagem possibilitou a proposta de uma expansão assintótica para a PDE de quarta ordem, onde obtemos três termos acoplados (de difusão pura) mais um pequeno termo remanescente, que pode ser desprezado, per¬mitindo aproximar a solução numérica da difusão anômala espacial por um método de soluções fundamentais do tipo Kansa (KMFS), considerando-se a solução fundamental do operador de difusão. Em particular, neste trabalho serão apresentados alguns resultados numéricos da aplicação do MFS em problemas de difusão com retenção onde realizaremos uma análise de sensibilidade de seus parâmetros, o que nos auxiliará na discussão da viabilidade da metodologia ora proposta.

Considere um meio desordenado formado por $N$ pontos cujas coordenadas são geradas aleatoriamente com probabilidade uniforme ao longo das arestas unitárias de um hipercubo de $d$ dimensões. Um caminhante, partindo de um ponto qualquer desse meio, se desloca seguindo a regra determinista de dirigir-se sempre ao ponto mais próximo que não tenha sido visitado nos últimos $\\mu$ passos. Esta dinâmica de movimentação, denominada caminhada determinista do turista, leva a trajetórias formadas por uma parte inicial transiente de $t$ pontos, e uma parte final cíclica de $p$ pontos. A exploração do meio se limita aos $t+p$ pontos percorridos na trajetória. O sucesso da exploração depende do valor da memória $\\mu$ do viajante. Para valores pequenos de $\\mu$ a exploração é altamente localizada e o sistema não é satisfatoriamente explorado. Já para $\\mu$ da ordem de $N$, aparecem ciclos longos, permitindo a exploração global do meio. O objetivo deste estudo é determinar o valor de memória $\\mu_1$ para o qual ocorre uma transição abrupta no comportamento exploratório do turista em meios unidimensionais. Procuramos também entender a distribuição da posição final do turista após atingir um estado estacionário que é atingido quando o turista fica aprisionado nos ciclos. Os resultados obtidos por simulações numéricas e por um tratamento analítico mostram que $\\mu_1 = \\log_2 N$. O estudo também mostrou a existência de uma região de transição com largura $\\varepsilon = e/ \\ln 2$ constante, caracterizando uma transição aguda de fase no comportamento exploratório do turista em uma dimensão. A análise do estado estacionário da caminhada em função da memória mostrou que, para $\\mu$ distante de $\\mu_1$, a dinâmica de exploração ocorre como um processo difusivo tradicional (distribuição gaussiana). Já para $\\mu$ próximo de $\\mu_1$ (região de transição), essa dinâmica segue um processo superdifusivo não-linear, caracterizado por distribuições $q$-gaussianas e distribuições $\\alpha$-estáveis de Lévy. Neste processo, o parâmetro $q$ funciona como parâmetro de ordem da transição. / Consider a disordered medium formed by $N$ point whose coordinates are randomly generated with uniform probability along the unitary edges of a $d$-dimensional hypercube. A walker, starting to walk from any point of that medium, moves following the deterministic rule of always going to the nearest point that has not been visited in the last $\\mu$ steps. This dynamic of moving, called deterministic tourist walk, leads to trajectories formed by a initial transient part of $t$ points and a final cycle of $p$ points. The exploration of the medium is limited to the $t+p$ points covered. The success of the exploration depends on the traveler\'s memory value $\\mu$. For small values of $\\mu$, the exploration is highly localized and the whole system remains unexplored. For values of $\\mu$ of the order of $N$, however, long cycles appear, allowing global exploration of the medium. The objective of this study is to determine the memory value $\\mu_1$ for which a sharp transition in the exploratory behavior of the tourist in one-dimensional media occurs. We also want to understand the distribution of the final position of the tourist after reaches a steady state in exploring the medium. That steady state is reached when the tourist is trapped in cycles. The results achieved by numerical simulations and analytical treatment has shown that $\\mu_1 = \\log_2 N$. The study has also shown the existence of a transition region, with a constant width of $\\varepsilon = e/ \\ln 2$, characterizing a phase transition in the exploratory behavior of the tourist in one dimension. The analysis of the walk steady state as a function of the memory has shown that for $\\mu$ far from $\\mu_1$, the exploratory dynamic follows a traditional diffusion process (with gaussian distribution). In the other hand, for $\\mu$ near $\\mu_1$ (transition region), the dynamic follows a non-linear superdiffusion process, characterized by $q$-gaussian distributions and Lèvy $\\alpha$-stable distributions. In this process, the parameter $q$ plays the role of a transition order parameter.

Considere um meio desordenado formado por $N$ pontos cujas coordenadas são geradas aleatoriamente com probabilidade uniforme ao longo das arestas unitárias de um hipercubo de $d$ dimensões. Um caminhante, partindo de um ponto qualquer desse meio, se desloca seguindo a regra determinista de dirigir-se sempre ao ponto mais próximo que não tenha sido visitado nos últimos $\\mu$ passos. Esta dinâmica de movimentação, denominada caminhada determinista do turista, leva a trajetórias formadas por uma parte inicial transiente de $t$ pontos, e uma parte final cíclica de $p$ pontos. A exploração do meio se limita aos $t+p$ pontos percorridos na trajetória. O sucesso da exploração depende do valor da memória $\\mu$ do viajante. Para valores pequenos de $\\mu$ a exploração é altamente localizada e o sistema não é satisfatoriamente explorado. Já para $\\mu$ da ordem de $N$, aparecem ciclos longos, permitindo a exploração global do meio. O objetivo deste estudo é determinar o valor de memória $\\mu_1$ para o qual ocorre uma transição abrupta no comportamento exploratório do turista em meios unidimensionais. Procuramos também entender a distribuição da posição final do turista após atingir um estado estacionário que é atingido quando o turista fica aprisionado nos ciclos. Os resultados obtidos por simulações numéricas e por um tratamento analítico mostram que $\\mu_1 = \\log_2 N$. O estudo também mostrou a existência de uma região de transição com largura $\\varepsilon = e/ \\ln 2$ constante, caracterizando uma transição aguda de fase no comportamento exploratório do turista em uma dimensão. A análise do estado estacionário da caminhada em função da memória mostrou que, para $\\mu$ distante de $\\mu_1$, a dinâmica de exploração ocorre como um processo difusivo tradicional (distribuição gaussiana). Já para $\\mu$ próximo de $\\mu_1$ (região de transição), essa dinâmica segue um processo superdifusivo não-linear, caracterizado por distribuições $q$-gaussianas e distribuições $\\alpha$-estáveis de Lévy. Neste processo, o parâmetro $q$ funciona como parâmetro de ordem da transição. / Consider a disordered medium formed by $N$ point whose coordinates are randomly generated with uniform probability along the unitary edges of a $d$-dimensional hypercube. A walker, starting to walk from any point of that medium, moves following the deterministic rule of always going to the nearest point that has not been visited in the last $\\mu$ steps. This dynamic of moving, called deterministic tourist walk, leads to trajectories formed by a initial transient part of $t$ points and a final cycle of $p$ points. The exploration of the medium is limited to the $t+p$ points covered. The success of the exploration depends on the traveler\'s memory value $\\mu$. For small values of $\\mu$, the exploration is highly localized and the whole system remains unexplored. For values of $\\mu$ of the order of $N$, however, long cycles appear, allowing global exploration of the medium. The objective of this study is to determine the memory value $\\mu_1$ for which a sharp transition in the exploratory behavior of the tourist in one-dimensional media occurs. We also want to understand the distribution of the final position of the tourist after reaches a steady state in exploring the medium. That steady state is reached when the tourist is trapped in cycles. The results achieved by numerical simulations and analytical treatment has shown that $\\mu_1 = \\log_2 N$. The study has also shown the existence of a transition region, with a constant width of $\\varepsilon = e/ \\ln 2$, characterizing a phase transition in the exploratory behavior of the tourist in one dimension. The analysis of the walk steady state as a function of the memory has shown that for $\\mu$ far from $\\mu_1$, the exploratory dynamic follows a traditional diffusion process (with gaussian distribution). In the other hand, for $\\mu$ near $\\mu_1$ (transition region), the dynamic follows a non-linear superdiffusion process, characterized by $q$-gaussian distributions and Lèvy $\\alpha$-stable distributions. In this process, the parameter $q$ plays the role of a transition order parameter.