A caminhada do turista pode ser enunciada num meio desordenado formado por N pontos espalhados aleatoriamente num hipercubo de d dimensoes. Um caminhante, partindo de um ponto qualquer desse meio, se desloca seguindo a regra determinista de dirigir-se sempre ao ponto mais proximo que nao tenha sido visitado nos ultimos µ pas- sos. Esta dinamica de movimentacao leva a trajetorias formadas por uma parte inicial transiente de t pontos, e uma parte final c?clica de p pontos. As trajetorias obtidas sao altamente dependentes da configuracao do meio. Este cenario sugere que este modelo possa ser usado como uma ferramenta de reconhecimento de padroes em conjuntos de dados. O objetivo desta tese e mostrar que as propriedades da caminhada do turista permitem a sua utilizacao na caracterizacao e exploracao de diversos tipos de sistemas. Aplicamos o modelo descrito em dois tipos distintos de sistemas, sistemas cont´?nuos e redes regulares, estudando suas ropriedades em funcao de parametros como tamanho do sistema, valor de memoria (µ), condicoes de contorno e regras de movimentacao. Finalmente, propomos e exploramos duas novas metodologias de reconhecimento de padroes baseadas nesta caminhada. A primeira consiste de um algoritmo de an´alise de imagens para caracterizar texturas que utiliza os resultados da matriz conjunta S(t, p) que carrega as informacoes sobre todas as trajetorias obtidas, reduzindo sua dimensionalidade e permitindo a classificacao eficiente de diferentes classes de imagens por um algoritmo de analise discriminante. O diferencial desta metodologia esta em sua capacidade de extrair da imagem as informacoes presentes em diversas escalas simultaneamente. A segunda metodologia e um algoritmo de agrupamento de dados n~ao supervisionado que considera cada atrator formado num dado valor de µ como um agrupamento natural e tem como resultado final uma arvore hierarquica geral, onde os grupos se conectam conforme se aumenta o valor de µ. Os resultados desta metodologia comparam-se em eficiencia aos resultados obtidos pela metodologia adicional para os dados testados e, entre as vanta- gens obtidas, podemos citar (i) independencia de uma metrica relacionando os elementos do conjunto, ja que trabalha apenas com uma matriz de vizinhancas, (ii) respeito a estrutura natural embutida no conjunto de dados, gerando uma arvore geral ao inves de uma arvore binaria e (iii) a representacao de maneira identica de conjuntos que sofreram transformacao de escala devido a independencia de uma metrica. / The tourist walk is defined in a disordered environment characterized by N points randomly distributed in a d-dimensional hypercube. Leaving from a given point, a wal- ker moves according to the deterministic rule of going to next point not visited in the last µ time steps. This dynamics leads to trajectories consisting in a transient part of t points e a final cyclic part of p points. The obtained trajectories are strongly dependent on the configuration of points. This described scenario suggests that the model can be treated as a tool for pattern recognition. The aim of this thesis is to demonstrate that the tourist walk\'s properties allow for its use in the characterization and exploration of various kinds of systems. We have applied the model in two distinct kinds of systems - continuous systems and regular networks and studied its properties as a function of the following parameters: system size, memory (µ), boundary conditions and movimentation rule. Eventually we have proposed and explored two new pattern recognition methodolo- gies based on this deterministic walk. The first one consists of an image analysis algorithm to characterize textures that makes use of the joint matrix S(t, p) which carries the data about all trajectories obtained, reducing its dimensionality and allowing an efficient clas- sification of different classes of images by a discriminant analysis algorithm. Its distinctive feature is its ability to extract informations in all scales from an image simultaneously. The second methodology proposed is a non-supervised clustering algorithm that considers each attractor in a given µ as a natural cluster. Its final result is a general hierarchical tree where groups coalesce as µ is increased. The results obtained with this methodology are comparable in efficiency with the results obtained with the tradicional method for the datasets tested. Among the advantages presented we can cite (i) independence from a metrics relating the elements since it works only with a neighborhood ranking table, (ii) respect for the natural structure hidden in the dataset, generating a general tree instead of a binary one and (iii) the representation of two sets transformed by scale in an identic manner due to the independence from a metrics.

Considere um meio desordenado formado por $N$ pontos cujas coordenadas são geradas aleatoriamente com probabilidade uniforme ao longo das arestas unitárias de um hipercubo de $d$ dimensões. Um caminhante, partindo de um ponto qualquer desse meio, se desloca seguindo a regra determinista de dirigir-se sempre ao ponto mais próximo que não tenha sido visitado nos últimos $\\mu$ passos. Esta dinâmica de movimentação, denominada caminhada determinista do turista, leva a trajetórias formadas por uma parte inicial transiente de $t$ pontos, e uma parte final cíclica de $p$ pontos. A exploração do meio se limita aos $t+p$ pontos percorridos na trajetória. O sucesso da exploração depende do valor da memória $\\mu$ do viajante. Para valores pequenos de $\\mu$ a exploração é altamente localizada e o sistema não é satisfatoriamente explorado. Já para $\\mu$ da ordem de $N$, aparecem ciclos longos, permitindo a exploração global do meio. O objetivo deste estudo é determinar o valor de memória $\\mu_1$ para o qual ocorre uma transição abrupta no comportamento exploratório do turista em meios unidimensionais. Procuramos também entender a distribuição da posição final do turista após atingir um estado estacionário que é atingido quando o turista fica aprisionado nos ciclos. Os resultados obtidos por simulações numéricas e por um tratamento analítico mostram que $\\mu_1 = \\log_2 N$. O estudo também mostrou a existência de uma região de transição com largura $\\varepsilon = e/ \\ln 2$ constante, caracterizando uma transição aguda de fase no comportamento exploratório do turista em uma dimensão. A análise do estado estacionário da caminhada em função da memória mostrou que, para $\\mu$ distante de $\\mu_1$, a dinâmica de exploração ocorre como um processo difusivo tradicional (distribuição gaussiana). Já para $\\mu$ próximo de $\\mu_1$ (região de transição), essa dinâmica segue um processo superdifusivo não-linear, caracterizado por distribuições $q$-gaussianas e distribuições $\\alpha$-estáveis de Lévy. Neste processo, o parâmetro $q$ funciona como parâmetro de ordem da transição. / Consider a disordered medium formed by $N$ point whose coordinates are randomly generated with uniform probability along the unitary edges of a $d$-dimensional hypercube. A walker, starting to walk from any point of that medium, moves following the deterministic rule of always going to the nearest point that has not been visited in the last $\\mu$ steps. This dynamic of moving, called deterministic tourist walk, leads to trajectories formed by a initial transient part of $t$ points and a final cycle of $p$ points. The exploration of the medium is limited to the $t+p$ points covered. The success of the exploration depends on the traveler\'s memory value $\\mu$. For small values of $\\mu$, the exploration is highly localized and the whole system remains unexplored. For values of $\\mu$ of the order of $N$, however, long cycles appear, allowing global exploration of the medium. The objective of this study is to determine the memory value $\\mu_1$ for which a sharp transition in the exploratory behavior of the tourist in one-dimensional media occurs. We also want to understand the distribution of the final position of the tourist after reaches a steady state in exploring the medium. That steady state is reached when the tourist is trapped in cycles. The results achieved by numerical simulations and analytical treatment has shown that $\\mu_1 = \\log_2 N$. The study has also shown the existence of a transition region, with a constant width of $\\varepsilon = e/ \\ln 2$, characterizing a phase transition in the exploratory behavior of the tourist in one dimension. The analysis of the walk steady state as a function of the memory has shown that for $\\mu$ far from $\\mu_1$, the exploratory dynamic follows a traditional diffusion process (with gaussian distribution). In the other hand, for $\\mu$ near $\\mu_1$ (transition region), the dynamic follows a non-linear superdiffusion process, characterized by $q$-gaussian distributions and Lèvy $\\alpha$-stable distributions. In this process, the parameter $q$ plays the role of a transition order parameter.

A caminhada do turista pode ser enunciada num meio desordenado formado por N pontos espalhados aleatoriamente num hipercubo de d dimensoes. Um caminhante, partindo de um ponto qualquer desse meio, se desloca seguindo a regra determinista de dirigir-se sempre ao ponto mais proximo que nao tenha sido visitado nos ultimos µ pas- sos. Esta dinamica de movimentacao leva a trajetorias formadas por uma parte inicial transiente de t pontos, e uma parte final c?clica de p pontos. As trajetorias obtidas sao altamente dependentes da configuracao do meio. Este cenario sugere que este modelo possa ser usado como uma ferramenta de reconhecimento de padroes em conjuntos de dados. O objetivo desta tese e mostrar que as propriedades da caminhada do turista permitem a sua utilizacao na caracterizacao e exploracao de diversos tipos de sistemas. Aplicamos o modelo descrito em dois tipos distintos de sistemas, sistemas cont´?nuos e redes regulares, estudando suas ropriedades em funcao de parametros como tamanho do sistema, valor de memoria (µ), condicoes de contorno e regras de movimentacao. Finalmente, propomos e exploramos duas novas metodologias de reconhecimento de padroes baseadas nesta caminhada. A primeira consiste de um algoritmo de an´alise de imagens para caracterizar texturas que utiliza os resultados da matriz conjunta S(t, p) que carrega as informacoes sobre todas as trajetorias obtidas, reduzindo sua dimensionalidade e permitindo a classificacao eficiente de diferentes classes de imagens por um algoritmo de analise discriminante. O diferencial desta metodologia esta em sua capacidade de extrair da imagem as informacoes presentes em diversas escalas simultaneamente. A segunda metodologia e um algoritmo de agrupamento de dados n~ao supervisionado que considera cada atrator formado num dado valor de µ como um agrupamento natural e tem como resultado final uma arvore hierarquica geral, onde os grupos se conectam conforme se aumenta o valor de µ. Os resultados desta metodologia comparam-se em eficiencia aos resultados obtidos pela metodologia adicional para os dados testados e, entre as vanta- gens obtidas, podemos citar (i) independencia de uma metrica relacionando os elementos do conjunto, ja que trabalha apenas com uma matriz de vizinhancas, (ii) respeito a estrutura natural embutida no conjunto de dados, gerando uma arvore geral ao inves de uma arvore binaria e (iii) a representacao de maneira identica de conjuntos que sofreram transformacao de escala devido a independencia de uma metrica. / The tourist walk is defined in a disordered environment characterized by N points randomly distributed in a d-dimensional hypercube. Leaving from a given point, a wal- ker moves according to the deterministic rule of going to next point not visited in the last µ time steps. This dynamics leads to trajectories consisting in a transient part of t points e a final cyclic part of p points. The obtained trajectories are strongly dependent on the configuration of points. This described scenario suggests that the model can be treated as a tool for pattern recognition. The aim of this thesis is to demonstrate that the tourist walk\'s properties allow for its use in the characterization and exploration of various kinds of systems. We have applied the model in two distinct kinds of systems - continuous systems and regular networks and studied its properties as a function of the following parameters: system size, memory (µ), boundary conditions and movimentation rule. Eventually we have proposed and explored two new pattern recognition methodolo- gies based on this deterministic walk. The first one consists of an image analysis algorithm to characterize textures that makes use of the joint matrix S(t, p) which carries the data about all trajectories obtained, reducing its dimensionality and allowing an efficient clas- sification of different classes of images by a discriminant analysis algorithm. Its distinctive feature is its ability to extract informations in all scales from an image simultaneously. The second methodology proposed is a non-supervised clustering algorithm that considers each attractor in a given µ as a natural cluster. Its final result is a general hierarchical tree where groups coalesce as µ is increased. The results obtained with this methodology are comparable in efficiency with the results obtained with the tradicional method for the datasets tested. Among the advantages presented we can cite (i) independence from a metrics relating the elements since it works only with a neighborhood ranking table, (ii) respect for the natural structure hidden in the dataset, generating a general tree instead of a binary one and (iii) the representation of two sets transformed by scale in an identic manner due to the independence from a metrics.

Considere um meio desordenado formado por $N$ pontos cujas coordenadas são geradas aleatoriamente com probabilidade uniforme ao longo das arestas unitárias de um hipercubo de $d$ dimensões. Um caminhante, partindo de um ponto qualquer desse meio, se desloca seguindo a regra determinista de dirigir-se sempre ao ponto mais próximo que não tenha sido visitado nos últimos $\\mu$ passos. Esta dinâmica de movimentação, denominada caminhada determinista do turista, leva a trajetórias formadas por uma parte inicial transiente de $t$ pontos, e uma parte final cíclica de $p$ pontos. A exploração do meio se limita aos $t+p$ pontos percorridos na trajetória. O sucesso da exploração depende do valor da memória $\\mu$ do viajante. Para valores pequenos de $\\mu$ a exploração é altamente localizada e o sistema não é satisfatoriamente explorado. Já para $\\mu$ da ordem de $N$, aparecem ciclos longos, permitindo a exploração global do meio. O objetivo deste estudo é determinar o valor de memória $\\mu_1$ para o qual ocorre uma transição abrupta no comportamento exploratório do turista em meios unidimensionais. Procuramos também entender a distribuição da posição final do turista após atingir um estado estacionário que é atingido quando o turista fica aprisionado nos ciclos. Os resultados obtidos por simulações numéricas e por um tratamento analítico mostram que $\\mu_1 = \\log_2 N$. O estudo também mostrou a existência de uma região de transição com largura $\\varepsilon = e/ \\ln 2$ constante, caracterizando uma transição aguda de fase no comportamento exploratório do turista em uma dimensão. A análise do estado estacionário da caminhada em função da memória mostrou que, para $\\mu$ distante de $\\mu_1$, a dinâmica de exploração ocorre como um processo difusivo tradicional (distribuição gaussiana). Já para $\\mu$ próximo de $\\mu_1$ (região de transição), essa dinâmica segue um processo superdifusivo não-linear, caracterizado por distribuições $q$-gaussianas e distribuições $\\alpha$-estáveis de Lévy. Neste processo, o parâmetro $q$ funciona como parâmetro de ordem da transição. / Consider a disordered medium formed by $N$ point whose coordinates are randomly generated with uniform probability along the unitary edges of a $d$-dimensional hypercube. A walker, starting to walk from any point of that medium, moves following the deterministic rule of always going to the nearest point that has not been visited in the last $\\mu$ steps. This dynamic of moving, called deterministic tourist walk, leads to trajectories formed by a initial transient part of $t$ points and a final cycle of $p$ points. The exploration of the medium is limited to the $t+p$ points covered. The success of the exploration depends on the traveler\'s memory value $\\mu$. For small values of $\\mu$, the exploration is highly localized and the whole system remains unexplored. For values of $\\mu$ of the order of $N$, however, long cycles appear, allowing global exploration of the medium. The objective of this study is to determine the memory value $\\mu_1$ for which a sharp transition in the exploratory behavior of the tourist in one-dimensional media occurs. We also want to understand the distribution of the final position of the tourist after reaches a steady state in exploring the medium. That steady state is reached when the tourist is trapped in cycles. The results achieved by numerical simulations and analytical treatment has shown that $\\mu_1 = \\log_2 N$. The study has also shown the existence of a transition region, with a constant width of $\\varepsilon = e/ \\ln 2$, characterizing a phase transition in the exploratory behavior of the tourist in one dimension. The analysis of the walk steady state as a function of the memory has shown that for $\\mu$ far from $\\mu_1$, the exploratory dynamic follows a traditional diffusion process (with gaussian distribution). In the other hand, for $\\mu$ near $\\mu_1$ (transition region), the dynamic follows a non-linear superdiffusion process, characterized by $q$-gaussian distributions and Lèvy $\\alpha$-stable distributions. In this process, the parameter $q$ plays the role of a transition order parameter.

Considere um meio caracterizado por $N$ pontos cujas coordenadas são geradas aleatoriamente de maneira uniforme nas arestas unitárias de um hipercubo $d$-dimensional. Um caminhante parte de cada ponto deste meio desordenado e se movimenta obedecendo à regra determinista de ir para o ponto mais próximo que não tenha sido visitado nos últimos $mu$ passos. Este processo foi denominado de caminhada determinista do turista. Cada trajetória gerada por esta dinâmica possui uma parte inicial não-periódica de $t$ passos (transiente) e uma parte final periódica de $p$ passos (atrator). As probabilidades de vizinhança são expressas através da fórmula de Cox, que é parametrizada pela função beta incompleta normalizada $I_d = I_{1/4}[1/2,(d+1)/2]$. Enfati-zamos aqui que a distribuição relevante é $S_{mu,d}^{(N)}(t,p)$, a distribuição conjunta de $t$ e $p$, que tem como casos particulares as distribuições marginais, previamente estudadas. O objetivo deste estudo é obter analiticamente estas distribuições para a caminhada determinista do turista sem memória no espaço euclideano, no modelo de distâncias aleatórias (que corresponde ao limite $d ightarrow infty$) e no modelo de mapeamento aleatório (que é um caso limite das redes de Kauffman). As distribuições analíticas obtidas foram validadas através de experimentos numéricos. A distribuição conjunta de tempos de transiente e período de atratores, no limite termodinâmico para uma dimensionalidade arbitrária vale: $S_{1,d}^{(infty)}(t,p) = [Gamma(1+I_d^{-1}) cdot (t+I_d^{-1})/Gamma(t+p+I_d^{-1})] cdot delta_{p,2}$, onde $t=0,1,2,ldots,infty$; $Gamma(z)$ é a função gama e $delta_{i,j}$ é o delta de Kronecker. A caminhada determinista do turista sem memória no modelo de mapeamento aleatório produz uma distribuição de períodos não-trivial ($S_{0,rm}^{(N)}(p) propto p^{-1}$), que é obtida de $S_{0,rm}^{(N)}(t,p) = Gamma(N)/{Gamma[N+1-(t+p)]N^{t+p}}$, onde enfatizamos que o número de pontos explorados $n_e=t+p$ é a grandeza fundamental nos problemas considerados. / Consider a medium characterized by $N$ points whose coordinates are randomly generated by a uniform distribution along the unitary edges of a $d$-dimensional hypercube. A walker leaves from each point of this disordered medium and moves according to the deterministic rule to go the nearest point which has not been visited in the preceding $mu$ steps. This process has been called the deterministic tourist walk. Each trajectory generated by this dynamics has an initial non-periodic part of $t$ steps (transient) and a final periodic part of $p$ steps (attractor). The neighborhood probabilities are given by the Cox formula, which is parameterized by the normalized incomplete beta function $I_d = I_{1/4}[1/2,(d+1)/2]$. Here we stress that the relevant distribution is the joint $t$ and $p$ distribution $S_{mu,d}^{(N)}(t,p)$, which has as particular cases, the marginal distributions previously studied. The objective of this study is to obtain analytically these distributions for the memoryless deterministic tourist walk in the euclidean space, random link model (which corresponds to $d ightarrow infty$ limit) and random map model (which is a limiting case of the Kauffman model). The obtained distributions have been validated by numerical experiments. The joint transient time and attractor period distribution in the thermodynamic limit for an arbitrary dimensionality is: $S_{1,d}^{(infty)}(t,p) = [Gamma(1+I_d^{-1}) cdot (t+I_d^{-1})/Gamma(t+p+I_d^{-1})] cdot delta_{p,2}$, where $t=0,1,2,ldots,infty$; $Gamma(z)$ is the gamma function and $delta_{i,j}$ is the Kronecker's delta. The memoryless deterministic tourist walk in the random map leads to a non-trivial cycle distribution ($S_{0,rm}^{(N)}(p) propto p^{-1}$), which is obtained from $S_{0,rm}^{(N)}(t,p) = Gamma(N)/{Gamma[N+1-(t+p)]N^{t+p}}$, where we stress that the number of explored points $n_e=t+p$ is the fundamental quantity in the considered problems.

Considere um meio desordenado constituído por $N$ pontos cujas coordenadas são geradas aleatoriamente de maneira uniforme e independente nas arestas unitárias de um hipercubo $d$-dimensional. As probabilidades de vizinhança entre os pares de pontos deste meio são expressas através da fórmula de Cox. Um caminhante parte de um dado ponto deste meio desordenado e se movimenta obedecendo à regra determinista de ir para o ponto mais próximo que não tenha sido visitado nos últimos $\\mu$ passos. Este processo foi denominado de caminhada determinista do turista. Cada trajetória gerada por esta dinâmica possui uma parte inicial não-periódica de $t$ passos (transiente) e uma parte final periódica de $p$ passos (atrator). Neste trabalho, obtemos analiticamente algumas distribuições estatísticas para a caminhada determinista do turista com memória $\\mu$ arbitrária em sistemas unidimensionais e com memória $\\mu=2$ no modelo Random Link (que corresponde ao limite $d ightarrow 1$). Estes resultados nos permitiram compreender o papel da memória no comportamento exploratório do turista e explicar a equivalência não-trivial entre o modelo Random Link e o modelo Random Map (que é um caso limite das redes de Kauffman). Enfatizamos que o número de pontos explorados pelo turista é a grandeza fundamental nos problemas considerados. As distribuições analíticas obtidas foram validadas através de experimentos numéricos. Também obtivemos uma dedução alternativa para a fórmula de Cox, apresentando os resultados finais em termos de distribuições estatísticas elementares. / Consider a medium characterized by $N$ points whose coordinates are randomly and independently generated by a uniform distribution along the unitary edges of a $d$-dimensional hypercube. The neighborhood probabilities between any pair of points in this medium are given by the Cox formula. A walker leaves from each point of this disordered medium and moves according to the deterministic rule to go the nearest point which has not been visited in the preceding $\\mu$ steps. This process has been called the deterministic tourist walk. Each trajectory generated by this dynamics has an initial non-periodic part of $t$ steps (transient) and a final periodic part of $p$ steps (attractor). In this work, we obtain analytically some statistical distributions for the deterministic tourist walk with arbitrary memory $\\mu$ in one-dimensional systems and with memory $\\mu=2$ in the random link model (which corresponds to $d ightarrow 1$ limit). These results enable us to understand the main role played by the memory on the tourist\'s exploratory behavior and explain the non-trivial equivalence between the random link model and the random map model (which is a limiting case of the Kauffman model). We stress that the number of explored points is the fundamental quantity in the considered problems. The obtained distributions have been validated by numerical experiments. We also obtain an alternative derivation for the Cox formula, writing the final results in terms of known statistical distributions.

Considere um meio caracterizado por $N$ pontos cujas coordenadas são geradas aleatoriamente de maneira uniforme nas arestas unitárias de um hipercubo $d$-dimensional. Um caminhante parte de cada ponto deste meio desordenado e se movimenta obedecendo à regra determinista de ir para o ponto mais próximo que não tenha sido visitado nos últimos $mu$ passos. Este processo foi denominado de caminhada determinista do turista. Cada trajetória gerada por esta dinâmica possui uma parte inicial não-periódica de $t$ passos (transiente) e uma parte final periódica de $p$ passos (atrator). As probabilidades de vizinhança são expressas através da fórmula de Cox, que é parametrizada pela função beta incompleta normalizada $I_d = I_{1/4}[1/2,(d+1)/2]$. Enfati-zamos aqui que a distribuição relevante é $S_{mu,d}^{(N)}(t,p)$, a distribuição conjunta de $t$ e $p$, que tem como casos particulares as distribuições marginais, previamente estudadas. O objetivo deste estudo é obter analiticamente estas distribuições para a caminhada determinista do turista sem memória no espaço euclideano, no modelo de distâncias aleatórias (que corresponde ao limite $d ightarrow infty$) e no modelo de mapeamento aleatório (que é um caso limite das redes de Kauffman). As distribuições analíticas obtidas foram validadas através de experimentos numéricos. A distribuição conjunta de tempos de transiente e período de atratores, no limite termodinâmico para uma dimensionalidade arbitrária vale: $S_{1,d}^{(infty)}(t,p) = [Gamma(1+I_d^{-1}) cdot (t+I_d^{-1})/Gamma(t+p+I_d^{-1})] cdot delta_{p,2}$, onde $t=0,1,2,ldots,infty$; $Gamma(z)$ é a função gama e $delta_{i,j}$ é o delta de Kronecker. A caminhada determinista do turista sem memória no modelo de mapeamento aleatório produz uma distribuição de períodos não-trivial ($S_{0,rm}^{(N)}(p) propto p^{-1}$), que é obtida de $S_{0,rm}^{(N)}(t,p) = Gamma(N)/{Gamma[N+1-(t+p)]N^{t+p}}$, onde enfatizamos que o número de pontos explorados $n_e=t+p$ é a grandeza fundamental nos problemas considerados. / Consider a medium characterized by $N$ points whose coordinates are randomly generated by a uniform distribution along the unitary edges of a $d$-dimensional hypercube. A walker leaves from each point of this disordered medium and moves according to the deterministic rule to go the nearest point which has not been visited in the preceding $mu$ steps. This process has been called the deterministic tourist walk. Each trajectory generated by this dynamics has an initial non-periodic part of $t$ steps (transient) and a final periodic part of $p$ steps (attractor). The neighborhood probabilities are given by the Cox formula, which is parameterized by the normalized incomplete beta function $I_d = I_{1/4}[1/2,(d+1)/2]$. Here we stress that the relevant distribution is the joint $t$ and $p$ distribution $S_{mu,d}^{(N)}(t,p)$, which has as particular cases, the marginal distributions previously studied. The objective of this study is to obtain analytically these distributions for the memoryless deterministic tourist walk in the euclidean space, random link model (which corresponds to $d ightarrow infty$ limit) and random map model (which is a limiting case of the Kauffman model). The obtained distributions have been validated by numerical experiments. The joint transient time and attractor period distribution in the thermodynamic limit for an arbitrary dimensionality is: $S_{1,d}^{(infty)}(t,p) = [Gamma(1+I_d^{-1}) cdot (t+I_d^{-1})/Gamma(t+p+I_d^{-1})] cdot delta_{p,2}$, where $t=0,1,2,ldots,infty$; $Gamma(z)$ is the gamma function and $delta_{i,j}$ is the Kronecker's delta. The memoryless deterministic tourist walk in the random map leads to a non-trivial cycle distribution ($S_{0,rm}^{(N)}(p) propto p^{-1}$), which is obtained from $S_{0,rm}^{(N)}(t,p) = Gamma(N)/{Gamma[N+1-(t+p)]N^{t+p}}$, where we stress that the number of explored points $n_e=t+p$ is the fundamental quantity in the considered problems.

Considere um meio desordenado constituído por $N$ pontos cujas coordenadas são geradas aleatoriamente de maneira uniforme e independente nas arestas unitárias de um hipercubo $d$-dimensional. As probabilidades de vizinhança entre os pares de pontos deste meio são expressas através da fórmula de Cox. Um caminhante parte de um dado ponto deste meio desordenado e se movimenta obedecendo à regra determinista de ir para o ponto mais próximo que não tenha sido visitado nos últimos $\\mu$ passos. Este processo foi denominado de caminhada determinista do turista. Cada trajetória gerada por esta dinâmica possui uma parte inicial não-periódica de $t$ passos (transiente) e uma parte final periódica de $p$ passos (atrator). Neste trabalho, obtemos analiticamente algumas distribuições estatísticas para a caminhada determinista do turista com memória $\\mu$ arbitrária em sistemas unidimensionais e com memória $\\mu=2$ no modelo Random Link (que corresponde ao limite $d ightarrow 1$). Estes resultados nos permitiram compreender o papel da memória no comportamento exploratório do turista e explicar a equivalência não-trivial entre o modelo Random Link e o modelo Random Map (que é um caso limite das redes de Kauffman). Enfatizamos que o número de pontos explorados pelo turista é a grandeza fundamental nos problemas considerados. As distribuições analíticas obtidas foram validadas através de experimentos numéricos. Também obtivemos uma dedução alternativa para a fórmula de Cox, apresentando os resultados finais em termos de distribuições estatísticas elementares. / Consider a medium characterized by $N$ points whose coordinates are randomly and independently generated by a uniform distribution along the unitary edges of a $d$-dimensional hypercube. The neighborhood probabilities between any pair of points in this medium are given by the Cox formula. A walker leaves from each point of this disordered medium and moves according to the deterministic rule to go the nearest point which has not been visited in the preceding $\\mu$ steps. This process has been called the deterministic tourist walk. Each trajectory generated by this dynamics has an initial non-periodic part of $t$ steps (transient) and a final periodic part of $p$ steps (attractor). In this work, we obtain analytically some statistical distributions for the deterministic tourist walk with arbitrary memory $\\mu$ in one-dimensional systems and with memory $\\mu=2$ in the random link model (which corresponds to $d ightarrow 1$ limit). These results enable us to understand the main role played by the memory on the tourist\'s exploratory behavior and explain the non-trivial equivalence between the random link model and the random map model (which is a limiting case of the Kauffman model). We stress that the number of explored points is the fundamental quantity in the considered problems. The obtained distributions have been validated by numerical experiments. We also obtain an alternative derivation for the Cox formula, writing the final results in terms of known statistical distributions.