Nowadays there is an ever increasing demand to obtain more accurate numericalsimulation results while at the same time using fewer computations. One area withsuch a demand is oil reservoir simulations, which builds upon Poisson's equation withvariable coefficients (PEWVC). This thesis focuses on applying and testing a high ordernumerical scheme to solve the PEWVC, namely Summation By Parts - SimultaneousApproximation Term (SBP-SAT). The thesis opens with proving that the method isconvergent at arbitrary high orders given sufficiently smooth coefficients. Theconvergence is furthermore verified in practice by test cases on the Poisson'sequation with smoothly variable permeability coefficients. To balance observed lowerboundary flux convergence, the SBP-SAT method was modified with additionalpenalty terms that were subsequently shown to work as expected. Finally theSBP-SAT method was tested on a semi-realistic model of an oil reservoir withdiscontinuous permeability. The correctness of the resulting pressure distributionvaried and it was shown that flux leakage was the probable cause. Hence theproposed SBP-SAT method performs, as expected, very well in continuous settingsbut typically allows undesirable leakage in discontinuous settings. There are possiblefixes, but these are outside the scope of this thesis.

On s'intéresse dans ce mémoire aux équations de la magnétohydrodynamique (MHD) dans des milieux hétérogènes, i.e. dans des milieux pouvant présenter des variations (éventuellement brutales) de propriétés physiques. En particulier, on met ici l'accent sur la résolution des équations de Maxwell dans des milieux avec des propriétés magnétiques inhomogènes. On présentera une méthode non standard pour résoudre ce problème à l'aide d'éléments finis de Lagrange. On évoquera ensuite l'implémentation dans le code SFEMaNS, développé depuis 2002 par J.-L. Guermond, C. Nore, J. Léorat, R. Laguerre et A. Ribeiro, ainsi que les premiers résultats obtenus dans les simulations de dynamo. Nous nous intéresserons par exemple au cas de la dynamo dite de Von Kármán, afin de comprendre l'expérience VKS2. En outre, nous aborderons des cas de dynamo en précession, ou encore le problème de la dynamo au sein d'un écoulement de Taylor-Couette. / We focus on the magnetohydrodynamics (MHD) equations in hetereogeneous media, i.e. media with (possibly brutal) variations on the physical properties. In particular, we are interested in solving the Maxwell equations with discontinuous magnetic properties. We introduce a method that is, to the best of our knowledge, new to solve this problem using only Lagrange Finite Elements. We then discuss its implementation in SFEMaNS, a numerical code developped since 2002 by J.-L. Guermond, C. Nore, J. Léorat, R. Laguerre and A. Ribeiro. We show the results of the first dynamo simulations we have been able to make with this solver. For instance, we present a kinematic dynamo in a VKS setup, as well as some results about dynamo action induced either by a Taylor-Couette flow, or by a precessionnally driven flow.

In this thesis we will investigate how the SBP-SAT finite difference method behave with and without an interface. As model problem, we consider the heat equation with piecewise constant coefficients. The thesis is split in two main parts. In the first part we look at the heat equation in one-dimension, and in the second part we expand the problem to a two-dimensional domain. We show how the SAT-parameters are chosen such that the scheme is dual consistent and stable. Then, we perform numerical experiments, now looking at the static case. In the one-dimensional case we see that the second order SBP-SAT method with an interface converge with an order of two, while the second order SBP-SAT method without an interface converge with an order of one.

Cette thèse, comporte deux parties distinctes.Dans la première partie, on étudie l'existence et l'inexistence d'une inégalité qu'on a appelée l'inégalité de Hopf Uniforme (IHU), pour une équation linéaire de la forme Lv = f à coefficients bornés mesurables et sous les conditions de Dirichlet homogènes. L'IHU est une variante du principe de maximum, on l'a appliquée dans la preuve de la régularité W1;p 0 pour un problème semi-linéaire singulier : Lu = F(u) où les coefficients de L sont dans l'espace vmor (fonctions à oscillation moyenne évanescente) et F(u) est singulier en u = 0 F(0) = +∞. De plus, si les coefficients sont lipschitziens, on prouve que la régularité optimale du gradient de la solution u est bmor (fonctions à oscillation moyenne bornée i.e Grad u dans bmor).Dans la seconde partie, on s'intéresse à la régularité du système d'élasticité (équations stationnaires des ondes élastiques) avec une fonction source singulière au sens qu'elle n’est qu'intégrable par rapport à la fonction distance au bord du domaine. Via la dualité, nous montrons, selon ~f , que le problème admet une solution dite très faible dont le gradient n'est pas nécessairement intégrable sur tout le domaine mais uniquement localement. Nous déterminons aussi les fonctions vectorielles ~f pour lesquelles, ~u a son gradient intégrable sur tout l'espace de travail. / We discuss the existence and non existence of the so called Hopf uniform Inequality (variant of a maximum principle) for the linear equation Lv = f with measurable coefficients and under the homogeneous Dirichlet Boundary condition. Then we apply such inequality to prove the W1;p 0 -regularity of a semi linear problem Lu = F(u), singular at u = 0, with the coefficients of the main operator of L in the space of vanishing mean oscillation. Moreover, when those coefficients are Lipschitz, we show that the gradient of the solution is at most in the space of bounded mean oscillation : bmor. In the last part of this thesis, we are concerned with the linear easticity system (Stationnary equation of the waves elasticity). But, here the second terms varies with respect to the distance function until the boundary.Using the duality method, we study the regularity of the solution of the elasticity system for the data belonging to various weighted spaces.