Soit G un groupe de Lie résoluble connexe et H un de ses sous-groupes fermés connexes d'algèbres de Lie g et h respectivement. On note g* (resp. h*) le dual linéaire de g (resp. h) ). Le sujet de ma thèse consiste à étudier la restriction d'une série discrète π de G, associée à une orbite coadjointe Ω C g*, à H. Si la restriction de π à H se décompose en somme directe de représentations de H avec multiplicités finies, on dit que π est H-admissible. Notons Pg,n : Ω → h* l'application restriction. Il s'agit de démontrer la conjecture suivante due à Michel Duflo : 1. La représentation π est H-admissible si et seulement si l'application moment Pg,n est propre sur l'image. 2. Si π est H-admissible, et si T est une série discrète de H alors sa multiplicité dans la restriction de π à H doit pouvoir se calculer en « quantifiant » l'espace réduit correspondant (qui est compact dans ce cas). Dans cette thèse, nous apportons une réponse positive à cette conjecture dans deux situations, à savoir :(i) Le groupe G est résoluble exponentiel. (ii) Le groupe G est le produit semi direct d'un tore compact par le groupe de Heisenberg et H est un sous-groupe algébrique connexe. / Let G be a connected solvable Lie group and H a closed connected subgroup with Lie algebra g and h respectively. We denote g* (resp. h*) the dual of g (resp. h). The aim of my thesis is to study the restriction of a discrete series π of G, associated with a coadjoint orbit Ω C g* to H. If the restriction of π to H can be decomposed in to a direct sum of representations of H with finite multiplicities, we say that π is H-admissible. Let Pg,n : Ω → h* denote the restriction map. My objective is to show the following conjecture due to Michel Duflo : 1. The representation π i s H-admissible if and only if the moment application Pg,n is proper on the image. 2. If π is H-admissible, and if T is a discrete series of H then it s multiplicity in the restriction of π to H must be calculated by « quantifying » the corresponding reduced space (that is compact in this case). In this thesis, we provide a positive response to this conjecture in two situations, namely when: (i) G is exponential solvable Lie group. (ii) G is the semi direct product of a compact torus and the Heisenberg group and H is a connected algebraic subgroup.

Soit K/F une extension quadratique modérément ramifiée de corps locaux non archimédiens. Soit GLm (D) une forme intérieure de GLn (F) et GLμ (∆) = (Mm (D) ⊗ K)× . Alors GLμ (∆) est une forme intérieure de GLn (K), les quotients GLμ (∆)/GLm (D) et GLn (K)/GLn (F) sont des espaces symétriques. En utilisant la paramétrisation de Silberger et Zink, nous déterminons des critères de GLm (D)-distinction pour les cuspidales de niveau 0 de GLμ (∆), puis nous prouvons qu’une cuspidale de niveau 0 de GLn (K) est GLn (F)-distinguée si et seulement si son image par la correspondance de Jacquet-Langlands est GLm (D)-distinguée. Puis, dans le cas particulier où μ = 2 et m = 1, nous regardons le cas des séries discrètes de niveau 0 non cuspidales, en utilisant le système de coefficients sur l’immeuble associé à la représentation, donné par Schneider et Stuhler. / Let K/F be a tamely ramified quadratic extension of non-archimedean locally compact fields. Let GLm (D) be an inner form of GLn (F) and GLμ (∆) = (Mm (D)⊗K)× . Then GLμ (∆) is an inner form of GLn (K), the quotients GLμ (∆)/GLm (D) and GLn (K)/GLn (F) are symmetric spaces. Using the parametrization of Silberger and Zink, we determine conditions of GLm (D)-distinction for level zero cuspidal representations of GLμ (∆). We also show that a level zero cuspidal representation of GLn (K) is GLn (F)-distinguished if and only if its image by the Jacquet-Langlands correspondence is GLm (D)-distinguished. Then, we treat the case of level zero non supercuspidal representations when μ = 2 and m = 1 using the coefficient system of the Bruhat-Tits building associated to the representation by Schneider and Stuhler.