Soit G un groupe de Lie résoluble connexe et H un de ses sous-groupes fermés connexes d'algèbres de Lie g et h respectivement. On note g* (resp. h*) le dual linéaire de g (resp. h) ). Le sujet de ma thèse consiste à étudier la restriction d'une série discrète π de G, associée à une orbite coadjointe Ω C g*, à H. Si la restriction de π à H se décompose en somme directe de représentations de H avec multiplicités finies, on dit que π est H-admissible. Notons Pg,n : Ω → h* l'application restriction. Il s'agit de démontrer la conjecture suivante due à Michel Duflo : 1. La représentation π est H-admissible si et seulement si l'application moment Pg,n est propre sur l'image. 2. Si π est H-admissible, et si T est une série discrète de H alors sa multiplicité dans la restriction de π à H doit pouvoir se calculer en « quantifiant » l'espace réduit correspondant (qui est compact dans ce cas). Dans cette thèse, nous apportons une réponse positive à cette conjecture dans deux situations, à savoir :(i) Le groupe G est résoluble exponentiel. (ii) Le groupe G est le produit semi direct d'un tore compact par le groupe de Heisenberg et H est un sous-groupe algébrique connexe. / Let G be a connected solvable Lie group and H a closed connected subgroup with Lie algebra g and h respectively. We denote g* (resp. h*) the dual of g (resp. h). The aim of my thesis is to study the restriction of a discrete series π of G, associated with a coadjoint orbit Ω C g* to H. If the restriction of π to H can be decomposed in to a direct sum of representations of H with finite multiplicities, we say that π is H-admissible. Let Pg,n : Ω → h* denote the restriction map. My objective is to show the following conjecture due to Michel Duflo : 1. The representation π i s H-admissible if and only if the moment application Pg,n is proper on the image. 2. If π is H-admissible, and if T is a discrete series of H then it s multiplicity in the restriction of π to H must be calculated by « quantifying » the corresponding reduced space (that is compact in this case). In this thesis, we provide a positive response to this conjecture in two situations, namely when: (i) G is exponential solvable Lie group. (ii) G is the semi direct product of a compact torus and the Heisenberg group and H is a connected algebraic subgroup.

Soit K/F une extension quadratique modérément ramifiée de corps locaux non archimédiens. Soit GLm (D) une forme intérieure de GLn (F) et GLμ (∆) = (Mm (D) ⊗ K)× . Alors GLμ (∆) est une forme intérieure de GLn (K), les quotients GLμ (∆)/GLm (D) et GLn (K)/GLn (F) sont des espaces symétriques. En utilisant la paramétrisation de Silberger et Zink, nous déterminons des critères de GLm (D)-distinction pour les cuspidales de niveau 0 de GLμ (∆), puis nous prouvons qu’une cuspidale de niveau 0 de GLn (K) est GLn (F)-distinguée si et seulement si son image par la correspondance de Jacquet-Langlands est GLm (D)-distinguée. Puis, dans le cas particulier où μ = 2 et m = 1, nous regardons le cas des séries discrètes de niveau 0 non cuspidales, en utilisant le système de coefficients sur l’immeuble associé à la représentation, donné par Schneider et Stuhler. / Let K/F be a tamely ramified quadratic extension of non-archimedean locally compact fields. Let GLm (D) be an inner form of GLn (F) and GLμ (∆) = (Mm (D)⊗K)× . Then GLμ (∆) is an inner form of GLn (K), the quotients GLμ (∆)/GLm (D) and GLn (K)/GLn (F) are symmetric spaces. Using the parametrization of Silberger and Zink, we determine conditions of GLm (D)-distinction for level zero cuspidal representations of GLμ (∆). We also show that a level zero cuspidal representation of GLn (K) is GLn (F)-distinguished if and only if its image by the Jacquet-Langlands correspondence is GLm (D)-distinguished. Then, we treat the case of level zero non supercuspidal representations when μ = 2 and m = 1 using the coefficient system of the Bruhat-Tits building associated to the representation by Schneider and Stuhler.

Ce mémoire présente un point de vue basé sur la théorie des algèbres de Jordan pour faire une étude analytique, géométrique et topologique de certains espaces homogènes : espaces hermitiens symétriques, leurs frontières de Shilov et espaces symétriques causaux de type Cayley. <br />En particulier, nous passons en revue des résultats sur l'indice de Maslov, de Souriau et d'Arnold-Leray. Nous étudions aussi certaines propriétés de contractions et de compressions de ces espaces.<br />Le prolongement de la série discrète holomorphe est une partie importante du programme de Gelfand-Gindikin. Dans ce contexte, nous étudions les espaces de Hardy des fonctions holomorphes sur certains domaines Stein. Nous donnons en particulier le lien qui existe entre ces espaces de Hardy et les espaces de Hardy classiques des fonctions holomorphes sur les espaces hermitiens symétriques.<br />En dernier lieu, nous étudions la conjecture de Helgason pour la frontière de Shilov des espaces hermitiens symétriques. Plus précisément, nous caractérisons l'image par de la transformation de Poisson des hyperfonctions et des fonctions $L^p$ sur la frontière de Shilov.