La théorie de l'information quantique s'est développée à une vitesse fulgurante au cours des vingt dernières années, avec des analogues et extensions des théorèmes de codage de source et de codage sur canal bruité pour la communication unidirectionnelle. Pour la communication interactive, un analogue quantique de la complexité de la communication a été développé, pour lequel les protocoles quantiques peuvent performer exponentiellement mieux que les meilleurs protocoles classiques pour certaines tâches classiques. Cependant, l'information quantique est beaucoup plus sensible au bruit que l'information classique. Il est donc impératif d'utiliser les ressources quantiques à leur plein potentiel. Dans cette thèse, nous étudions les protocoles quantiques interactifs du point de vue de la théorie de l'information et étudions les analogues du codage de source et du codage sur canal bruité. Le cadre considéré est celui de la complexité de la communication: Alice et Bob veulent faire un calcul quantique biparti tout en minimisant la quantité de communication échangée, sans égard au coût des calculs locaux. Nos résultats sont séparés en trois chapitres distincts, qui sont organisés de sorte à ce que chacun puisse être lu indépendamment. Étant donné le rôle central qu'elle occupe dans le contexte de la compression interactive, un chapitre est dédié à l'étude de la tâche de la redistribution d'état quantique. Nous prouvons des bornes inférieures sur les coûts de communication nécessaires dans un contexte interactif. Nous prouvons également des bornes atteignables avec un seul message, dans un contexte d'usage unique. Dans un chapitre subséquent, nous définissons une nouvelle notion de complexité de l'information quantique. Celle-ci caractérise la quantité d'information, plutôt que de communication, qu'Alice et Bob doivent échanger pour calculer une tâche bipartie. Nous prouvons beaucoup de propriétés structurelles pour cette quantité, et nous lui donnons une interprétation opérationnelle en tant que complexité de la communication quantique amortie. Dans le cas particulier d'entrées classiques, nous donnons une autre caractérisation permettant de quantifier le coût encouru par un protocole quantique qui oublie de l'information classique. Deux applications sont présentées: le premier résultat général de somme directe pour la complexité de la communication quantique à plus d'une ronde, ainsi qu'une borne optimale, à un terme polylogarithmique près, pour la complexité de la communication quantique avec un nombre de rondes limité pour la fonction « ensembles disjoints ». Dans un chapitre final, nous initions l'étude de la capacité interactive quantique pour les canaux bruités. Étant donné que les techniques pour distribuer de l'intrication sont bien étudiées, nous nous concentrons sur un modèle avec intrication préalable parfaite et communication classique bruitée. Nous démontrons que dans le cadre plus ardu des erreurs adversarielles, nous pouvons tolérer un taux d'erreur maximal de une demie moins epsilon, avec epsilon plus grand que zéro arbitrairement petit, et ce avec un taux de communication positif. Il s'ensuit que les canaux avec bruit aléatoire ayant une capacité positive pour la transmission unidirectionnelle ont une capacité positive pour la communication interactive quantique. Nous concluons avec une discussion de nos résultats et des directions futures pour ce programme de recherche sur une théorie de l'information quantique interactive. / Quantum information theory has developed tremendously over the past two decades, with analogues and extensions of the source coding and channel coding theorems for unidirectional communication. Meanwhile, for interactive communication, a quantum analogue of communication complexity has been developed, for which quantum protocols can provide exponential savings over the best possible classical protocols for some classical tasks. However, quantum information is much more sensitive to noise than classical information. It is therefore essential to make the best use possible of quantum resources. In this thesis, we take an information-theoretic point of view on interactive quantum protocols and study the interactive analogues of source compression and noisy channel coding. The setting we consider is that of quantum communication complexity: Alice and Bob want to perform some joint quantum computation while minimizing the required amount of communication. Local computation is deemed free. Our results are split into three distinct chapters, and these are organized in such a way that each can be read independently. Given its central role in the context of interactive compression, we devote a chapter to the task of quantum state redistribution. In particular, we prove lower bounds on its communication cost that are robust in the context of interactive communication. We also prove one-shot, one-message achievability bounds. In a subsequent chapter, we define a new, fully quantum notion of information cost for interactive protocols and a corresponding notion of information complexity for bipartite tasks. It characterizes how much quantum information, rather than quantum communication, Alice and Bob must exchange in order to implement a given bipartite task. We prove many structural properties for these quantities, and provide an operational interpretation for quantum information complexity as the amortized quantum communication complexity. In the special case of classical inputs, we provide an alternate characterization of information cost that provides an answer to the following question about quantum protocols: what is the cost of forgetting classical information? Two applications are presented: the first general multi-round direct-sum theorem for quantum protocols, and a tight lower bound, up to polylogarithmic terms, for the bounded-round quantum communication complexity of the disjointness function. In a final chapter, we initiate the study of the interactive quantum capacity of noisy channels. Since techniques to distribute entanglement are well-studied, we focus on a model with perfect pre-shared entanglement and noisy classical communication. We show that even in the harder setting of adversarial errors, we can tolerate a provably maximal error rate of one half minus epsilon, for an arbitrarily small epsilon greater than zero, at positive communication rates. It then follows that random noise channels with positive capacity for unidirectional transmission also have positive interactive quantum capacity. We conclude with a discussion of our results and further research directions in interactive quantum information theory.

Banachverbände spielen sowohl in der Theorie als auch in der Anwendung von geordneten normierten Räume eine bedeutende Rolle. Einerseits erweisen sich viele in der Praxis relevanten Räume als Banachverbände, andererseits ermöglichen die Vektorverbandsstruktur und die enge Beziehung zwischen Ordnung und Norm ein tiefes Verständnis solcher normierter Räume. An dieser Stelle setzen folgende Überlegungen an: - Die genaue Untersuchung einiger Resultate der reichhaltigen Banachverbandstheorie ließ (zu Recht) vermuten, dass in manchen Fällen die Verbandsnormeigenschaft keine notwendige Voraussetzung ist. In der Literatur gibt es bereits einige interessante Untersuchungen allgemeiner geordneter normierter Räume mit qualifizierten positiven Kegeln und in dem Zusammenhang eine Reihe wertvoller Dualitätsaussagen. An dieser Stelle sind die Eigenschaften der Normalität, der Nichtabgeflachtheit und der Regularität eines Kegels erwähnt, welche selbst im Falle eines mit einer Norm versehenen Vektorverbandes eine schwächere Relation zwischen Ordnung und Norm ergeben als die Verbandsnormeigenschaft. - In einer neueren Arbeit wurde der aus der Theorie der Vektorverbände gut bekannte Begriff der Disjunktheit bereits auf beliebige geordnete Räume verallgemeinert, wobei viele Eigenschaften disjunkter Vektoren, des disjunkten Komplements einer Menge usw., welche aus der Verbandstheorie bekannt sind, erhalten bleiben. Auf entsprechende Weise, d.h. durch das Ersetzen exakter Infima und Suprema durch Mengen unterer bzw. oberer Schranken, können der Modul eines Vektors sowie der Begriff der Solidität einer Menge für geordnete (normierte) Räume eingeführt werden. An solchen Überlegungen knüpft die vorliegende Arbeit an. Im Kapitel m-Normen ======== werden verallgemeinerte Formen der M-Norm Eigenschaft eingeführt und untersucht. AM-Räume und (approximative) Ordnungseinheit-Räume sind Beispiele für geordnete normierte Räume mit m-Norm. Die Schwerpunkte dieses Kapitels sind zum Einen Kegel- und Normeigenschaften dieser Räume und deren Charakterisierung mit Hilfe solcher Eigenschaften und zum Anderen Dualitätsaussagen, wie sie zum Teil bereits aus der Theorie der AM- und AL-Räume bekannt sind. Minimal totale Mengen ===================== Ziel dieses Kapitels ist es, den oben erwähnten verallgemeinerten Disjunktheitsbegiff für geordnete normierte Räume zu untersuchen. Eine zentrale Rolle spielen dabei totale Mengen im Dualraum und insbesondere minimal totale Mengen sowie deren Zusammenhang mit der Disjunktheit von Elementen des Ausgangsraumes. Normierte pre-Riesz Räume ========================= Wie bereits bekannt, lässt sich jeder pre-Riesz Raum ordnungsdicht in einen (bis auf Isomorphie) eindeutigen minimalen Vektorverband einbetten, die so genannte Riesz Vervollständigung. Ist der pre-Riesz Raum normiert und sein positiver Kegel abgeschlossen, dann kann eine Verbandsnorm auf der Riesz Vervollständigung eingeführt werden, welche sich in vielen Fällen als äquivalent zur Ausgangsnorm auf dem pre-Riesz Raum erweist. Es ist allgemein bekannt, dass sich dann auch stetige lineare Funktionale fortsetzen lassen. In diesem Kapitel wird nun untersucht, inwiefern sich Ordnungsrelationen auf einer Menge stetiger linearer Funktionale beim Übergang zur Menge der Fortsetzungen erhalten lassen. Die gewonnenen Erkenntnisse kommen anschließend bei Untersuchungen zur schwachen bzw. schwach*-Topologie auf geordneten normierten Räumen zur Anwendung. Hierbei werden zwei Fragestellungen behandelt. Zum Einen gilt das Augenmerk disjunkten Folgen in geordneten normierten Räumen. Als Beispiel seien ordnungsbeschränkte disjunkte Folgen in geordneten normierten Räumen mit halbmonotoner mNorm genannt, welche stets schwach gegen Null konvergieren. Zum Anderen werden monoton fallende Folgen und Netze bzw. disjunkte Folgen von stetigen linearen Funktionalen auf einem geordneten normierten Raum betrachtet. / Banach lattices play an important role in the theory of ordered normed spaces. One reason is, that many ordered normed vector spaces, that are important in practice, turn out to be Banach lattices, on the other hand, the lattice structure and strong relations between order and norm allow a deep understanding of such ordered normed spaces. At this point the following is to be considered. - The analysis of some results in the rich Banach lattice theory leads to the conjecture, that sometimes the lattice norm property is no necessary supposition. General ordered normed spaces with a convenient positive cone were already examined, where some valuable duality properties could be achieved. We point out the properties of normality, non-flatness and regularity of a cone, which are a weaker relation between order and norm than the lattice norm property in normed vector lattices. - The notion of disjointness in vector lattices has already been generalized to arbitrary ordered vector spaces. Many properties of disjoint elements, the disjoint complement of a set etc., well known from the vector lattice theory, are preserved. The modulus of a vector as well as the concept of the solidness of a set can be introduced in a similar way, namely by replacing suprema and infima by sets of upper and lower bounds, respectively. We take such ideas up in the present thesis. A generalized version of the M-norm property is introduced and examined in section m-norms. ======= AM-spaces and approximate order unit spaces are examples of ordered normed spaces with m-norm. The main points of this section are the special properties of the positive cone and the norm of such spaces and the duality properties of spaces with m-norm. Minimal total sets ================== In this section we examine the mentioned generalized disjointness in ordered normed spaces. Total sets as well as minimal total sets and their relation to disjoint elements play an inportant at this. Normed pre-Riesz spaces ======================= As already known, every pre-Riesz space can be order densely embedded into an (up to isomorphism) unique vector lattice, the so called Riesz completion. If, in addition, the pre-Riesz space is normed and its positive cone is closed, then a lattice norm can be introduced on the Riesz completion, that turns out to be equivalent to the primary norm on the pre-Riesz space in many cases. Positive linear continuous functionals on the pre-Riesz space are extendable to positive linear continuous functionals in this setting. Here we investigate, how some order relations on a set of continuous functionals can be preserved to the set of the extension. In the last paragraph of this section the obtained results are applied for investigations of some questions concerning the weak and the weak* topology on ordered normed vector spaces. On the one hand, we focus on disjoint sequences in ordered normed spaces. On the other hand, we deal with decreasing sequences and nets and disjoint sequences of linear continuous functionals on ordered normed spaces.